山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第6章西姆松定理及应用

第六章西姆松定理及应用 【基础知识】 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）． 证明如图6-1，设 为 的外接圆上任一点，从 向三边 ， ， 所在直线作垂线，垂足分别为 ， ， ．连 ， ，由 ， ， ， 四点共圆，有 ． 又 ， ， ， 四点共圆，有 ． 故 ，即 ， ， 三点共线． 注 此定理有许多证法．例如，如下证法： 如图6-1，连 ，令 ， ， ，则 ， ， ，且 ， ， ， ， ， ．对 ，有 ．故由梅涅劳斯定理之逆定理，知 ， ， 三点共线． 西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略）． 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上． 证明如图6-1，设点 在 的三边 ， ， 所在直线上的射影分别为 ， ， ，且此三点共线．由 于 ， 于 ， 于 ，知 ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，而 与 相交于 ，则 ，从而 ， ， ， 四点共圆，即点 在 的外接圆上． 【典型例题与基本方法】 1．找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键 例1如图6-2，过正 外接圆的 上点 作 直线 于 ，作 于 ，作 于 ．求证： ． 证明由 直线 于 ， 于 ， 于 ，知 ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，则 ， ． 由西姆松定理，知 ， ， 三点共线，从而以 为视点，对 应用张角定理， 有 ，即 ，故 ． 例2如图6-3，设 ， ， 为 的三条高线，自 点作 于 ， 于 ， 于 ， 于 ，连 ．求证： ， 在直线 上． 证明由于 的外接圆为 ，而 为该圆上一点，且 在 三边所在直线上的射影分别为 ， ， ，于是，由西姆松定理知 ， ， 三点共线． 同理，可证 ， ， 是 的西姆线上三点． 由于直线 与直线 有两个公共点 ， ，所以这两直线重合，故 ， 在直线 上． 例3如图 ，设 为 外接圆上一点，作 交圆周于 ，作 直线 交圆周于 ，作 交圆周于 ．求证： ． 证明设 于 ， 上直线 于 ， 于 ，则由西姆松定理知 ， ， 三点共线．注意到 ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，连 ，则 ，于是 ． 同样，注意到 ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，连 ，则 ，于是 ． 由 ， ， ， 四点共圆，知 ．注意到 ，则 ，于是 ，故 ． 例4如图6-5，设 为 外接圆上 内一点，过 作 EMBED Equation.DSMT4 于 ，作 直线 于 ，设 为 的垂心．延长 至 ，使 ．求证： ．（1979年山西省竞赛题改编） 证明连 并延长交 于 ，交圆于 ，则由 ，知 ． 又由已知 ，且 ，连 ，则知 与 关于 对称，从而 ． 由于从 点已向 的两边所在直线 ， 引了垂线 ， ，再过点 向边 所在直线作垂线 ，垂足为 ，则由西姆松定理，知 ， ， 三点共线，设西姆松线 与 交于 ．此时，又由 ， ， ， 四点共圆，有 ． 在 中， 与 互余；在 中， 与 互余．故 ，由此即知 ，故 ． 例5如图 ，设 为 外接圆上一点，过点 分别作 于 ，作 直线 于 ，直线 交 边上的高线于 ，设 为 的垂心．求证： ． 证明由于从 点引了 的边 ， 所在直线的垂线，再过 点作 于 ，则由西姆松定理，知 ， ， 三点共直线，即 ， ， ， 四点共线． 设 边上的高线为 ，延长 交圆于 ，连 交 于 ，交西姆松线 于 ，连 交西姆松线 于 ． 由 ， ， ， 四点共圆及 ， ， ， 共圆，连 ，则 ，从而 ，即 为 的斜边 的中点．连 ，由 ，知 ，有 ，从而 ，即 是 的中位线，亦即 ． 又 ，有 及 ，于是 ，即有 ，亦即四边形 为平行四边形，故 ． 注由此例可得，三角形外接圆周上一点 与垂心 的连线段 ，被关于 点的西姆松线所平分，这是西姆松线的一条重要性质． 2．注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理 例6如图 ，延长凸四边形 的边 ， 交于 ，延长 ， 交于 ．试证： ， ， ， 的四个外接圆共点． 证明设 与 的两个外接圆除交于点 外，另一交点为 ．设点 在直线 ， ， 上的射影分别为 ， ， ，则由西姆松定理，知 ， ， 三点共线． 同样， 点在直线 ， ， 上的射影 ， ， 也三点共线，故 ， ， ， 四点共线． 在 中， 在 上， 在 上， 在边 所在直线上，且 ， ， 三点共线，则由西姆松定理的逆定理，知 点在 的外接圆上． 在 中， 在直线 上， 在 上， 在 上，且 ， ， 三点共线，由西姆松定理的逆定理，知 点在 的外接圆上． 故 ， ， ， 的四个外接圆共点． 注此例题的结论实际为宪全四边形 的四个三角形 、