山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第5章张角定理及应用

第5章 张角定理及应用 【基础知识】 张角定理 设 ， ， 顺次分别是平面内一点 所引三条射线 ， ， 上的点，线段 ， 对点 的张角分别为 ， ，且 ，则 ， ， 三点共线的充要条件是： ． 证明 如图5-1， ， ， 三点共线 ． 推论 在定理的条件下，且 ，即 平分 ，则 ， ， 三点共线的充要条件是： ． 注 若规定角的绕向，逆时针方向为正，否则为负，则上述定理、推论中的点 可表示在 的延长线上的情形． 上述定理把平面几何和三角函数紧密相联，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式．用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以简捷地解决． 【典型例题与基本方法】 1．恰当地选择共一端点的两线段对同一视点的两张角，是应用张角定理的关键 例1 如图5-2，已知 为四边形，两组对边延长后得交点 ， ，对角线 ， 的延长线交 于 ．求证： ． （1978年全国竞赛题） 证明 以 为视点，令 ， ，分别对 ， ， ； ， ， 及 ， ， 应用张角定理，得 ， ① ， ② ． ③ 又由 ，有 ，在 EMBED Equation.DSMT4 中应用正弦定理，有 ． 由① ② ③ ④，得 ， ，即 ． 例2 已知 的顶点 ， ， 对应的三边长分别为 ， ， ， 为其内切圆圆心， 交 于 ．求证： ． （1979年广东省竞赛题） 证明 如图5-3，连 并延长交 于 ，令 ，由于 为内心，则 ．以 为视点，分别对 ， ， 及 ， ， 应用张角定理的推论，得 ， ． 上述两式相除，得 ， 而 ， 从而 ． ① 又 平分 ，则 ，即 ． 于是，由上式代入①式，得 ，故 ． 例3 如图5-4，在四边形 中，对角线 平分 ．在 上取一点 ， 与 相交于 ，延长 交 于 ．求证： ． （1999年全国高中联赛题） 证明 作 ，交 于 ．只须证 ， ， 三点共线，设 ， ． 以 为视点，分别对 ， ， ； ， ， ； ， ， 应用张角定理，有 ， ① ， ② ， ③ 由① ② ③式，得 ． 又以 为视点，对 ， ， 应用张角定理，知 ， ， 三点共线． 由此，知 与 重合，故 ． 例4 如图5-5，已知 是 的边 上的中线，任作一直线顺次交 ， ， 于 ， ， ．求证： ， ， 成等差数列． （1979年辽宁省竞赛题） 证明 令 ， ， ．以 为视点，分别对 ， ， 及 ， ， 应用张角定理，有 ， ① ． ② 又在 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 中，由正弦定理，有 ， ． 注意到 ，上述两式相除得 ． 于是②式变为 ． 由①式除以上式，得 ． 故 ， ， 成等差数列． 2．找准视点，寻找到与题设条件或结论有关的线段所在的三角形，是灵活应用张角定理的前提． 例5 如图5-6，圆的割线 通过圆心 ，自 作圆的任一割线 交圆于 ， ．又在圆上取一点 ，使 ，连 交 于 ．求证： ． 证明 连 ， ，令 ， ， ， ， ， ． 由 ，有 ． 连 ，由 ，有 ． 以 为视点，考察线段 ， ， 所在的三角形 和 EMBED Equation.DSMT4 ，分别应用张角定理，有 ， ． 即 ， ． 由此，知 ． 在 EMBED Equation.DSMT4 中，由余弦定理，得 ． 因 ，则 ，即 ． 于是， ． 同理，在 中，有 ． 又在 EMBED Equation.DSMT4 中， ， 故 ． 注 此例结论表示 是 与 的调和平均，亦表示 调和分割弦 ． 例6 （第一章例12）任意四边形 的一组对边 与 交于 ，过 作割线交另一组对边所在直线于 、 ，交对角线所在直线于 、 ．求证： ． 证明 如图5-7， ， ， ， 由张角定理得： ， ① ， ② ， ③ ． ④ 由① ④ ② ③得 ， 故 ． 注 此例也可运用线段的调和分割来证明，可参见第十一章例9．对于第十一章的例10，也可运用张角定理来证．请看下例： 例7 圆内接四边形 一组对边 、 延长线交 点，过 点任作直线 分别交圆于 、 ，交 、 所在直线于 、 ，求证： ． 证明 设 ， ，并分别取 、 、 中点 、 、 ，如图5-8，显然 、 、 、 和圆心 五点共圆，由托勒密定理可知： ．对 EMBED Equation.DSMT4 三边用正弦定理代入得： ，两边乘2，即 ．又 ，则 ．由张角定理： ， ，因此 ． 当 与 、 的延长线相交同时与圆相交（或相切），如图5-9，例7仍然成立，证法相同． 当 与 ， 相交或与它们的延长线相交，同时也与圆相交（或相切），例题