山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第4章斯特瓦尔特定理及应用

第四章 特瓦尔特定理及应用 【基础知识】 斯特瓦尔特定理 设 为 的 边上任一点（ ， ），则有 ① 或 ． ② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设 ，则由余弦定理，有 ， ． 对上述两式分别乘以 ， 后相加整理，得①式或②式． 斯特瓦尔特定理的逆定理 设 ， ， 依次分别为从 点引出的三条射线 ， ， 上的点，若 ， 或 ， 则 ， ， 三点共线． 证明 令 ， ，对 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 分别应用余弦定理，有 ， ． 将上述两式分别乘以 ， 后相加，再与已知条件式相比较得 ，由此推出 ，即证． 斯特瓦尔特定理的推广 （1）设 为 的 边延长线上任一点，则 ． ③ （2）设 为 的 边反向延长线上任一点，则 ． ④ 注 若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的． 推论1 设 为等腰 的底边 上任一点，则 ． 注 此推论也可视为以 为圆心， 为半径的圆中的圆幂定理． 推论2 设 为 的 边上的中线，则 ． 推论3 设 为 的 的内角平分线，则 ． 推论4 设 为 的 的外角平分线，则 ． 推论5 在 中，若 分线段 满足 ，则 ． 注 若 ，则 ． 【典型例题与基本方法】 1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键． 例1 如图4-2，凸四边形 中， ， ， ， ，对角线 ， 交于点 ．求 ． （1996年北京中学生竞赛题） 解 延长 ， 相交于 ，设 ，则 ， ，对 EMBED Equation.DSMT4 及 边上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，有 ． 由 ，有 ，即 ，求得 ． 于是， ．又在 中， ，从而 ． 而 ， 故 ，即 为所求． 例2 如图4-3，在 中， ， ，点 是外心，两条高 ， 交于 点，点 ， 分别在线段 ， 上，且满足 ，求 的值． （2002年全国高中联赛题） 解 延长 交 于 ，由三角形垂心性质，知 为 关于 的对称点，则 ． 设 的半径为 ， ， ， ，由 ，知 ．延长 两端交 于 ， ，如图4-3，由相交弦寇理有 ，即 ，即 ． 在 EMBED Equation.DSMT4 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到 ，可得 ， 即 ， 亦即 ． 于是，有 ． 亦即 ，即 ． 而当 时， ， 故 为所求． 2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 例3 如图4-4，自 外一点引圆的两条切线 ， ， ， 为切点，过 点任意引圆的割线交 于 ， ，交 于 ．证明： ． （2001年湖南中学生夏令营试题） 证明 由相交弦定理，有 ． 由于 ，对等腰 EMBED Equation.DSMT4 及底边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有 ，即有 ． 而 ，从而 ． 故 ． 注 此例结论表示线段 是线段 ， 的调和平均．这个结论亦即为点 、 调和分割弦 ． 例4 如图4-5，设在 中， ， 平分 ，且交 于 ，在 上有一点 ，使 ．求证： ． （1979年江苏省竞赛题） 证明 对 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理，有 ． 由 平分 ，对 及边 上的点 ，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有 ，从而 ． ① 因 ，有 ，即 ． 由角平分线的性质，有 ， 即 ． 从而，由①式，有 ． 例5 凸多边形 外切于 ，两组对边所在的直线分别交于点 、 ，对角线交于点 ．求证： ． （《中等数学》奥林匹克题高中251题） 证明 如图4-6，设 与边 、 、 、 分别切于点 、 、 、 ，则由牛顿定理知， 、 、 、 四线共点于 ．由切线长定理，知 ． 由推论1，有 ． ① 同理， ． ② 联结 、 、 ，令 的半径为 ，则 ． ③ 又由相交弦定理，有 ． ④ 于是，由①、②、③、④有 ． 由定差幂线定理，知 ． 注 （1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点． （2）定差幂线定理 设 、 是两条线段，则 的充要条件为 ． 此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下： 由 ． 知 ． 故 ． 例6 已知 、 分剔是 的边 、 的中点， 、 是边 、 上的高，联结 、 交于点 ．又设 、 分别是 的外心、垂心，联结 、 ．求证： ． （2005年国家队集训题） 证明 如图4-7，联结 、 ．设 、 分别为 、 的中点，则 ， ，即知点 在线段 的中重线上，应用推论1，有 ． 注意到 为 中位线， 在 的中垂线上，由此知 也在 的中垂线上，应用推论1，有 ． 再注意到 ，知 、 、 、 四点共圆，并由直角三角形性质，