山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第3章托勒密定理及应用

第三章 托勒密定理及应用 习题A 1．由 和 ，有 ， ，对四边形 应用托勒密定理，有 ．令 ，得方程 ，求得 (舍去了负值)．于是 ．又 ，求得 ， 或 ， ，总之 为所求． 2．连 ， ，由 ， ，知 ，即 ．设其比值为 （ 为参数），则 ， ，对四边形 应用托勒密定理．有 ，即 注意到 ，消去 ，得 ． 3．连 ，在四边形 中应用托勒密定理，有 ． 4．连 ，设 ， ， 的半径为 ．由 为 上中线，可令 ．由正弦定理有 ， ．对四边形 应用托勒密定理，有 ，消去 ，两边同乘以 得 ，亦即 ，由此即证． 5．连 ，则 ， ．对四边形 应用托勒密定理，有 ，即 ，由此整理即证． 6．对四边形 应用托勒密定理，有 ，即 ，同理，对四边形 ， ， 分别应用托勒密定理，有 ， ， ．由此四式即证得结论． 7．设圆心 到 ， ， 的距离分别为 ， ， ，连接 并延长与 交于 ，连 ， ，则 ， ，对四边形 应用托勒密定理有 ．同理， ， ．加之 ， 但 ，以上两式相加得 ．但 ， ， ，由此即证． 8．作一直径 的圆，在 的两侧分别取 ， 二点，使 ， ，于是 ， ，对四边形 应用托勒密定理，有 ，将此式与原方程比较得 ．在 中，由余弦定理，有 ， 知 ，故 为所求． 9．作直径 的圆，并作弦 ， 的圆内接四边形 ，则 ， ．应用托勒密定理，有 ，即 ，由此得 ，即 也是圆的直径，故 ． 10．当 时， ，当 时，作代换 ， ， ，即 ，以 为直径作圆，作弦 ，作弦 ，则 ， ．由托勒密定理及 ，有 ，亦有 ，即 ，故 ． 11．连 ， ， ，对四边形 应用托勒密定理，有 ，而 ，有 ．同理， ，由此即证． 12．不失一般性，令 点位于 内部（其中 为 中心），作 于 ， 于 ， 于 ．由 ， ， ， 四点共圆，有 ，知 ， ， ， 四点共圆，即 ， ， ， ， 共圆，推知 是正三角形，在 中，有 ，即 ，故 ． 13．作 外接圆的直径 ，并设 ， ，则 ，直径 ．对四边形 应用托勒密定理，有 ．从而 ． 14．令 ，对四边形 应用托勒密定理，有 ， 即有 ．对四边形 应用托勒密定理，有 ，即 ． 15．对四边形 应用托勒密定理， ，即 ．又 及 ，有 ， ，于是 ，注意到 即证． 16．连 ， 和 ，对四边形 应用托勒密定理，有 ，又 ， ，则 ，有 ，令其比值为 ，则 ，消去 ，注意到 即证． 17．作 交 于 ，则 ， ．对四边形 应用托勒密定理， ． 由 平分 ，知 ，即 ，由此知 ，有 ．故 ． 同理，有 ． 此两式相减有 ，故 ． 18．在直径 的圆中，在两个半圆上分别取点 和 ，使 ， ，则 ， ．由托勒密定理，有 ，与原方程比较得 ．在 中，由余弦定理，有 ，则 ，故 ． 19．由 ，在直径 的圆中，在一半圆上取点 ，使 ， ；在另一半圆上取中点 ，则 ．连 ，知 ，由托勒密定理，有 ， 即 又在 中， （当 与 或 重合时，取等号)，故 ． 20．设 ，则 ． 当 时，命题显然成立，当 时，在直径 的一半圆上取点 ，使 ， ， 因 ，则可在另一半圆上取点 ，使 ， ，由托勒密定理，有 ，即 ， 但 ． 21．设点 在劣弧 上，连 ， ， ，分别交小圆于点 ， ， ．连 ， ， ，过点 作公切线 ．由 ，有 ，有 ．又 ， ，有 ，即 ．同理， ．对圆内接四边形 应用托勒密定理，有 ，而 ，则 ，故 ． 22．令 ， ， ．由 平分 ，有 ，亦有 ，即 ．同理， ．由 ，有 ，从而 ，注意到 ，有 ，即 ，即 ．在圆内接四边形 中，应用托勒密定理，有 ，故 ，因此， ． 23．由 ， ， ，又 ， 则 ，由托勒密定理之逆，知 有外接圆． 24．连 ， ，由 ，且 ，有 ，亦有 ， 即 ．在圆内接四边形 中，应用托勒密定理，有 ，于是 ．又 ， ，有 ，有 ．于是 ，故 ． 习题B 1．在弧 上取点 ，使 ，连 ， ，令 ， ， ，易证 ，即 ．对四边形 ， 分别应用托勒密定理，有 ， ．又在弧 上取点 ，使 ，由 ，有 对四边形 应用托勒密定理，有 ．又由 ，有 ． 于是 ， ，由此即求得 ， ． 2．作 的外接圆 ，分别截 ， EMBED Equation.DSMT4 于点 ， ， ．易证 ，即 ， ，即 ， ．对四边形 应用托勒密定理，有 ，故 ．（*） 同理，由托勒密定理，有 ． 于是 ， 即 从而 ． 由(*)式减去上式，有 ，即 ． 又 ， ， ，故 ，其中等号当且仅当 为 的中心时取得． 3．设四边形 内接于以 为圆心，半径为 的圆，设点 在弦 ， ， ， ， ，上的射影分别为点 ， ， ， ， ．记 ， ， 与 ， 为 与 的面积与半周长， ， 为它们的内切圆半径． 考虑含点 的三角形，不妨设 在