山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第2章塞瓦定理及应用

第二章 塞瓦定理及应用 【基础知识】 塞瓦定理 设 ， ， 分别是 EMBED Equation.DSMT4 的三边 ， ， 或其延长线上的点，若 ， ， 三线平行或共点，则 ． ① 证明 如图2-1（ ）、（ ），若 ， ， 交于一点 ，则过 作 的平行线，分别交 ， 的延长线于 ， ，得 ． 又由 ，有 ． 从而 ． 若 ， ， 三线平行，可类似证明（略）． 注 （1）对于图2-1（ ）、（ ）也有如下面积证法： 由： ，即证． （2）点 常称为塞瓦点． （3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证． 首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理． 如图2-1（ ）、（ ），分别对 EMBED Equation.DSMT4 及截线 ，对 EMBED Equation.DSMT4 及截线 应用梅涅劳斯定理有 ， ． 上述两式相乘，得 ． 其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理． 如图2-2，设 ， ， 分别为 EMBED Equation.DSMT4 的三边 ， ， 所在直线上的点，且 ， ， 三点共线．令直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ． 分别视点 ， ， ， ， ， 为塞瓦点，应用塞瓦定理，即 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 （直线 ， ， 的交点），有 ． 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 （直线 ， ， 的交点），有 ． 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 （直线 ， ， 的交点），有 ． 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 （直线 ， ， 的交点），有 ． 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 （直线 ， ， 的交点），有 ． 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 （直线 ， ， 的交点），有 ． 上述六式相乘，有 ． 故 ． 塞瓦定理的逆定理 设 ， ， 分别是 EMBED Equation.DSMT4 的三边 ， ， 或其延长线上的点，若 ， ② 则 ， ， 三直线共点或三直线互相平行． 证明若 与 交于点 ，设 与 的交点为 ，则由塞瓦定理，有 ，又已知有 ，由此得 ，即 ，亦即 ，故 与 重合，从而 ， ， 三线共点． 若 ，则 ．代入已知条件，有 ，由此知 ，故 ． 上述两定理可合写为：设 ， ， 分别是 EMBED Equation.DSMT4 的 ， ， 所在直线上的点，则三直线 ， ， 平行或共点的充要条件是 ． ③ 第一角元形式的塞瓦定理 设 ， ， 分别是 EMBED Equation.DSMT4 的三边 ， ， 所在直线上的点，则三直线 ， ， 平行或共点的充要条件是 ． ④ 证明 由 ， ， ，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立． 第二角元形的塞瓦定理 设 ， ， 分别 EMBED Equation.DSMT4 的三边 ， ， 所在直线上的点， 是不在 EMBED Equation.DSMT4 的三边所在直线上的点，则 ， ， 平行或共点的充要条件是 ． ⑤ 证明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有 ． 由此即证得结论． 注 在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1．特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上．④、⑤式中的角也可按①式的对应线段记忆． 推论 设 ， ， ，分别是 EMBED Equation.DSMT4 的外接圆三段弧 ， ， 上的点，则 ， ， 共点的充要条件是 ． 证明 如图2-3，设 EMBED Equation.DSMT4 的外接圆半径为 ， 交 于 ， 交 于 ， 交 于 ．由 ， ， ， ， ， 六点共圆及正弦定理，有 ． 同理， ， ． 三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证． 为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图2-4中的点 、 、 、 、 、 ，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子： 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ， 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ， 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ， 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ， 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ， 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ， 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ， 对 EMBED Equation.DSMT4 及点 有 ． 【典型例题与基本方法】 1．恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键 例