山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第1章梅涅劳斯定理及应用

第一章涅劳斯定理及应用 【基础知识】 梅涅劳斯定理 设 ， ， 分别是 的三边 ， ， 或其延长线上的点，若 ， ， 三点共线，则 ． ① 证明 如图 ，过 作直线 交 的延长线于 ，则 ， ，故 ． 注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法． 正弦定理证法 设 ， ， ，在 中，有 ，同理， ， ，此三式相乘即证． 面积证法 由 ， ， ，此三式相乘即证． 梅涅劳斯定理的逆定理 设 ， ， 分别是 的三边 ， ， 或其延长线上的点，若 ， ② 则 ， ， 三点共线． 证明 设直线 交 于 ，则由梅涅劳斯定理，得到 ． 由题设，有 ，即有 ． 又由合比定理，知 ，故有 ，从而 与 重合，即 ， ， 三点共线． 有时，也把上述两个定理合写为：设 ， ， 分别是 的三边 ， ， 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则 ， ， 三点共线的充要条件是 ． 上述①与②式是针对 而言的，如图 （整个图中有4个三角形），对于 、 、 也有下述形式的充要条件： ； ； ． ③ 第一角元形式的梅涅劳斯定理 设 ， ， 分别是 的三边 ， ， 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则 ， ， 共线的充分必要条件是 ． ④ 证明 如图 ，可得 ． 同理， ， ． 以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立． 第二角元形式的梅涅劳斯定理 设 ， ， 分别是 的三边 ， ， 所在直线上的点，点 不在 三边所在直线上，则 ， ， 三点共线的充要条件是 ． ⑤ 证明 如图 ，由 ，有 ． 同理， ， ． 于是 ． 故由梅涅劳斯定理知 ， ， 共线 ． 从而定理获证． 注 （1）对于④、⑤式也有类似③式（整个图中有4个三角形）的结论． （2）于在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式中的右端均为 ，③、④、⑤式中的角也可以按①或②式中的对应线段记忆．特别要注意的是三边所在直线上的点为一点或者三点在边的延长线上． 【典型例题与基本方法】 1．恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键 例1 如图 ，在四边形 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 的面积比是3∶4∶1，点 ， 分别在 ， 上，满足 ∶ ∶ ，并且 ， ， 共线．求证： 与 分别是 和 的中点． （1983年全国高中联赛题） 证明 设 （ ）， 交 于 ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ． ． 又因 ， ， 三点共线，可视 为 EMBED Equation.DSMT4 的截线，故由梅涅劳斯定理，得 ，即 ． 化简整理，得 ， 解得 ， （舍去）． 故 与 分别是 和 的中点． 例2 如图1-5，在四边形 中，对角线 平分 ，在 上取一点 ， 与 相交于 ，延长 交 于 ．求证： ．（1999年全国高中联赛题） 证明 记 ， ， ，直线 与 EMBED Equation.DSMT4 相截，由梅涅劳斯定理，有 ． 故 ． 即 ， 亦即 ，且 只可能为0，故 ． 例3 设 、 分别为四边形 的边 、 上的点， 与 交于点 ．若 ，则 ． 证明 如图1-6，只需证得当 关于 的等角线交 于 时， 、 、 共线即可． 事实上， 、 、 分别为 EMBED Equation.DSMT4 三边所在直线上的三点，且 不在其三边所在直线上． 又 ， ， ， 由第二角元形式的梅涅劳斯定理，有 ．故 、 、 三点共线． 注 当 平分 时，即为1999年全国高中联赛题． 2．梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法 例2另证 如图1-5，设 ， 关于 的对称点分别为 ， ，易知 ， ， 三点共线，连 ， ，只须证明 ， ， 三点共线． 设 ， ， ，则 ． 对 EMBED Equation.DSMT4 ，应用梅涅劳斯定理的逆定理，知 ， ， 三点共线．故 ． 注 在图1-5中，*式也可为 ，若 在 的延长上，则*式为 ． 例4 如图1-7， 与 和 EMBED Equation.DSMT4 的三边所在的3条直线都相切， ， ， ， 为切点，直线 与 交于点 ．求证： ． （1996年全国高中联赛题） 证法1 过 作 于 ，延长 交直线 于点 ．对 EMBED Equation.DSMT4 及截线 应用梅涅劳斯定理，有 ． 由 ，有 ． 显然 ， ， 三点共线，连 ， ， ， ，则由 ，有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，从而 ，即 ． 又 ，则 ． 对 EMBE