荆山公学2025-2026学年高二下学期学业水平考试模拟卷数学（2026年06月26日）

**基本信息** 荆山公学高二数学学业水平模拟卷以基础巩固与能力提升为核心，覆盖统计、函数、几何等模块，通过概率游戏分析、立体几何动态问题等设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配学业水平考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|分位数、集合、函数定义域、向量|第6题结合正弦定理考查充分必要条件，体现逻辑推理| |多选题|3/18|不等式性质、正方体线面关系|第14题多角度考查空间角与距离，强化空间观念| |填空题|3/9|圆柱动态面积范围|第18题通过动点轨迹分析面积取值，培养几何直观| |解答题|3/37|概率应用、立体几何二面角、函数方程|第19题以游戏公平性为情境，第21题结合函数奇偶性探究方程根问题，突出数学建模与运算能力|

荆山公学高二学业水平考试模拟卷 数 学 (考试时间:2026年06月26日 满分：100分) 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.小胡同学测得连续天的最低气温分别为，，，，，，，，，单位：，则这组数据的分位数为(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.若函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 4. 已知，则(    ) A. B. C. D. 5.已知平面向量，，若，则实数(    ) A. B. C. D. 6.已知两内角，的对边边长分别为，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则(    ) A. B. C. D. 8.已知定义在上的奇函数，则的解集为(    ) A. B. C. D. 9.已知是函数的零点，则的值 (    ) A. 为正数 B. 为负数 C. 等于 D. 无法确定正负 10.已知圆台上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在四边形中，，的面积为，则长为(    ) A. B. C. D. 12.若定义在上的函数满足，是奇函数，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.下列说法中正确的有(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 直线与的夹角为 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 15.已知的内角，，的对边分别为，，，，且，则下列选项中正确的有(    ) A. B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 角的平分线交于点，则的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 16.          ． 17.设函数，若，则          ． 18.在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面的直径为，是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的取值范围为          ． 四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知是正六面体，是正四面体，且都质地均匀，两个多面体的各面分别标着数字，，，，，与，，，甲同学拿，乙同学拿，现两人各随机抛掷一次． Ⅰ求，着地数字之和为偶数的概率； Ⅱ现规定游戏规则，若的着地数字减去后仍大于的着地数字，则甲胜；若的着地数字不大于的着地数字，则乙胜请判断该游戏是否公平，并说明理由． 20.本小题分 如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱上一点，平面与棱交于点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求证：； Ⅲ若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值． 21.本小题分 已知关于的函数为上的偶函数，且在区间上的最大值为设． 求函数的解析式； 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 是否存在实数，使得关于的方程有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数的范围，如果不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 又，所以这组数据的分位数为．故选：． 2.【答案】  解：因为，，所以，故选C． 3.【答案】  解：因为函数的定义域为，所以在函数中， 应满足，解得，所以函数的定义域为．故选：． 4.【答案】  【解析】解：由题意知，， 所以．故选C． 5.【答案】  【解析】解：因为，所以． 因为，所以，所以．解得．故选：． 6.【答案】  解：中，由“”成立可得和同时成立，可得“”成立，故充分性成立，由“”成立，由正弦定理可得成立，即，故或，故A或即  ，故必要性不成立．故选A． 7.【答案】  【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，  所得的图象为， 因为所得的函数图象关于轴对称， ，， 解得：，， ， 取，得．故选： 8.【答案】  【解析】解：函数是奇函数，，即， ，即，为上单调递增的函数， ，则，解得．故选：． 9.【答案】  解：由题可知单调递增，且，， 则，所以．故选B． 10.【答案】  【解析】解：已知圆台上底面直径为，则上底面半径下底面直径为，则下底面半径． 圆台的母线长，圆台的高、母线与上下底面半径之差构成直角三角形， 根据勾股定理． 将，，代入可得：． 故选：． 11.【答案】  解：由， 则， 又由 ， 所以， 又由，可得， 在中，又由正弦定理得：，所以，可得， 由，可得， 又由的面积为 ，有，可得， 在中，由余弦定理有 ．故选：． 12.【答案】  解：定义在上的函数满足， ，两式相减可得： ，，的周期为， 是奇函数，， ，关于对称， ，又，， 令，可得，， 综合可得，，且的周期为，又， 令，可得，，， 又对，令，可得，， ，， ．故选：． 13.【答案】  解：对于选项A：若，，则，则，故，选项A正确； 对于选项B：若，则，又，所以， 选项B正确； 对于选项C，当，时，可得，所以，选项C错误； 选项D，若，，则，所以，选项D正确． 14.【答案】  解：因为所以为异面直线与所成的角， 因为为等边三角形，所以，故直线与的夹角为，故A正确； 在正方体中平面，平面，所以， 易证，且， ，平面 所以平面又平面，所以平面平面，故B正确； 由，而， 故点到平面的距离为，故C错误； 若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等， 即与平面所成角均相等，故平面与平面平行即可， 则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形，故D正确．故选ABD． 15.【答案】  【解析】解： ，，， ，， ，， ，， 设角的平分线长为，则， 由得：，， 由可知：，故选BCD． 16.【答案】  解： ．故答案为：． 17.【答案】  解：设，则，若，则，此时不成立， 若，由得，，即，解得或，即或， 若，则，此时不成立；或，即，解得． 若，由得，，此时无解；或，即，此时无解， 综上：，故答案为：． 18.【答案】  解： 如图，上底面圆心记为，下底面圆心记为，连结，过点作，垂足为点， 则，根据题意，为定值，所以的大小随着的长短变化而变化， 如图所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为； 如图所示，当点与点重合，取最小值，此时取得最小值为． 综上所述，的取值范围为．故答案为：． 19.【答案】解：两个多面体着地数字的不同情况有： 共计种不同的情况． 两数字之和为偶数的情况有，，，，，，，，，，，，共种，． Ⅱ两人获胜概率相同，所以游戏公平． 甲获胜的情况有，，，，，，，，，，共种，所以甲获胜的概率为 乙获胜的情况有，，，，，，，，，，共种，所以乙获胜的概率为．因为，所以该游戏是公平的．  【解析】本题考查古典概型的计算与应用，属于中档题； Ⅰ通过列举法，将所有基本事件数与所求事件所包含的基本事件列出，并利用古典概型概率公式解之； Ⅱ弄清实际问题的情形，利用古典概型概率公式求出两人获胜概率即可判断． 20.【答案】Ⅰ证明：因为，所以，． 因为，，平面，所以平面． Ⅱ证明：因为，，所以．因为，所以四边形是平行四边形． 所以．因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． Ⅲ解：因为，，，所以如图建立空间直角坐标系， 由，， 可知，，，，，， ，，设， 则 ， 设是平面的法向量， 则，即， 所以． 因为是平面的法向量，所以． 因为，解得．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，．  【解析】Ⅰ证明，然后推出平面． Ⅱ证明四边形是平行四边形．得到推出平面然后证明． Ⅲ建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数列；就求解二面角的平面角的余弦函数值，即可推出结果． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法与应用，是中档题． 21.【答案】解：函数为上的偶函数， 可得，即．则， 由在区间上的最大值为．即，可得．函数的解析式为； 由，不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 设，．则； ，即所求实数的取值范围为． 由方程，可得， 可化为：， 令，则，， 的图象如下： 方程有四个不相等的实数根， 则关于的方程必须有两个不相等的实数根和， 并且，， 记，，其对称轴，可得：， 即，解得：，故得存在实数的范围为  【解析】本题主要考查函数解析式的求解，函数恒成立以及函数与方程的应用，利用参数转化法是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 根据偶函数的图象关于轴对称，可得的值．在区间上的最大值为，即可求解，可得解析式； 利用换元法，分离参数即可求解实数的取值范围； 利用换元法，转化为函数图象交点的问题．根据函数与方程之间的关系，进行转化，利用参数分离法进行求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $