2025-2026学年度第二学期期末模拟测试一高二数学

**基本信息** 高二数学期末模拟卷，以集合、函数、概率统计等为核心，融入“温良恭俭让”文化、动物保护调查、人工智能竞赛等情境，通过多梯度问题考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|集合运算、充分必要条件、函数图像|第5题以传统文化设计排列组合，考查抽象能力| |填空题|6/30|函数单调性、二项式系数、条件概率|第13题结合运动计划情境，考查数据观念| |解答题|5/75|导数应用、独立性检验、概率分布列|第18题动物保护调查融合统计与概率，第20题导数证明体现逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年度第二学期 期末模拟测试一 高二数学 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1．已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【详解】因为全集，，， 所以，故. 2．已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当时，且，所以成立， 当时，得或，即不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】根据函数图像的对称性和特殊点的函数值判断. 【详解】因为,因此 是奇函数，图像关于原点对称， 排除选项 C（偶函数图像，关于 轴对称）； 当 时，分子 ，分母 ， 因此 ，选项 B 中 时函数值为负，矛盾，排除 B； 取 ，计算 的值接近 8，说明 附近函数值仍接近 8， 选项 A 中 的函数值和8相差比较大，排除 A； 因此，只有选项 D 符合所有特征. 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【详解】因为， 因为函数在上单调递增，所以，即. 又， 所以. 5．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 【答案】D 【知识点】排列组合综合、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 6．下列说法正确的是（ ） A．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 B．若随机变量，满足，则 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数r越接近于1 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】D 【知识点】决定系数的计算及分析、独立性检验解决实际问题、相关系数的意义及辨析、方差的性质 【详解】选项A：决定系数越大，模型拟合效果越好. ，因此模型甲的拟合效果更好，A错误； 选项B：根据方差性质，若，则，因此，B错误； 选项C：两个随机变量线性相关性越强，是相关系数的绝对值越接近1， 负相关时相关性越强越接近，C错误； 选项D：根据独立性检验规则，若，则判断与有关联，推断犯错误的概率不大于. 由于，符合规则，D正确. 7．某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【答案】C 【知识点】排列组合综合、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意可知限时秒杀类选品不需要考虑；因为新鲜助农水果、核心助农产品要相邻，所以将其捆绑考虑；先求出不限制非遗手工艺品上架顺序的排列种数，最后从总排列方式中减去非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式，即可得到符合条件的排列种数. 【详解】因为要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，所以只要考虑余下的5类选品即可； 因为新鲜助农水果和核心助农产品要作为相邻链接上架，所以将它们视为一个整体，其内部排列方式有（种）； 所以此整体与剩下的地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品3类选品的排列方式有（种）； 因此不考虑其他限制的排列方式有（种）； 当非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式有（种）； 所以新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架的上架顺序有（种）. 故选：C. 8．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【知识点】残差的计算、计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 9．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、求函数的单调区间、与二次函数相关的复合函数问题、求对数型复合函数的定义域 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 11．的展开式中，的系数为________． 【答案】9 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用通项公式求解. 【详解】 的通项公式为 ，, 第一部分 产生 ， 令 不是整数，此部分无项，系数为 0； 第二部分产生， ，令,解得 ，此部分系数为 ， 所以系数为0+9=9. 12．若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】将“函数在是增函数”转化为“在上恒成立”，分离参数，并利用基本不等式可得的取值范围. 【详解】函数的定义域为， . 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以 ，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即. 故的取值范围是. 13．小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______． 【答案】 / 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】用全概率公式进行求解. 【详解】设第一天选择室内健身为事件，第一天选择户外运动为事件，第二天选择室内健身为事件. 则由题意得：，，，， 由全概率公式得：， . 14．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 15．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为_________ 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答必须写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤） 16．已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． (1)求； (2)求展开式中第3项与第项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【详解】（1）由二项式系数的定义，第3项的二项式系数为，第2项的二项式系数为， 根据题意得， 即，化简得， 解得（不符合正整数要求，舍去）. （2）由（1）得，二项式的展开式通项为：， 第3项对应，系数为；第项对应，系数为， 由组合数性质，故展开式中第3项与第项的系数比值为. （3）令展开式通项中x的指数为0，即，解得， 代入通项得常数项为：. 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)两个零点 (3)3 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 18．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男性 30 70 100 女性 60 40 100 合计 90 110 200 (1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？ (2)将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能； (2)分布列见解析，数学期望为 【知识点】求离散型随机变量的均值、卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）将表格中的数据代入公式求出χ2的值，与临界值对比，即可求解. （2）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解． 【详解】（1）零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关， 由表中数据计算， 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.001. （2）从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为， X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望. 19．年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率； （2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解； （3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望． 【详解】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：． （2）小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：， 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ． （3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 期望为：． 20．设函数. (1)求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 【答案】(1)1 (2)（i）且； （ii）根据（i）可知时，存在两个极值点， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 为的零点，则，因为，所以， 则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点， 即，，， 所以， 故，，当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）直接求导，求出函数有唯一的极大值点，即为最大值点，求出最大值即可； （2）（i）由存在两个极值点，则存在个变号零点，令，求出零点即可求出的取值范围；（ii）先根据导数关系确定极大值点和极小值点，再分别求出极值，最后利用基本不等式得出证明结论. 【详解】（1）由题可知，定义域为，则， 当时，则，所以在上单调递增， 当时，则，所以在上单调递减， 故在处取极大值，即最大值，为． （2）（i）由题可得，，则， 因为函数存在两个极值点，则存在个变号零点，令， 则一个零点为，另一个零点为方程的非零实根， 当时，方程无解，则，所以，因此且； （ii）略 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 期末模拟测试一 高二数学 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1．已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 6．下列说法正确的是（ ） A．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 B．若随机变量，满足，则 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数r越接近于1 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 7．某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 8．已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（     ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为0.2 9．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．函数的单调递增区间是_____． 11．的展开式中，的系数为________． 12．若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 13．小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______． 14．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 15．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为_________ 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答必须写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤） 16．已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． (1)求； (2)求展开式中第3项与第项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项． 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 18．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男性 30 70 100 女性 60 40 100 合计 90 110 200 (1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？ (2)将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 20．设函数. (1)求的最大值； (2)若函数存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值点为，的零点为，求证：. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $