2027届高考高三数学一轮复习第五讲 含参不等式

该高中数学高考复习学案系统梳理了含参不等式专题，将一元二次不等式解法、二次函数与方程不等式的关系、分类讨论依据等核心考点按逻辑关联构建知识网络，通过知识点梳理、解题方法总结和必考题型归纳，引导学生自主推导分类讨论逻辑，形成完整的不等式求解认知框架。 亮点在于诊断性题型设计与分层学习路径，如开篇设置基础题自测诊断薄弱环节，分类讨论题配有步骤引导卡培养数学思维，各题型后附反思总结表帮助学生用数学语言规范表达。教师可通过学生错题分布精准指导，助力学生自主提升，实现因材施教。

高三数学一轮复习 第五讲 含参不等式 【学习目标】会解含参不等式. 【学习重点】解含参的一元二次不等式． 【学习难点】分类讨论的依据的选择. 必掌握知识点 1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 三、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论 常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 【解题方法总结】 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 必考题型全归纳 题型一：一元二次不等式基础 1．设，则关于的不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把不等式转化为，再根据，即可求解. 【详解】由题意，不等式，等价于， 因为，则，故原不等式的解集是， 故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为，故选：B. 3（多选）．若关于的不等式的解集为，则能使不等式成立的可以为（    ） A． B． C． D．或 【答案】BC 【分析】根据不等式的解集求出，，再把的关系代入不等式即得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根，且， 所以. 则. 由，得， 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为或.故选：BC 4（多选）．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】当同号时，，即，亦即，此时解集相同； 当异号时，，即，亦即，显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误. 若，即的解集为， 则是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是3，故B正确. 若，即的解集为， 则是方程的两个根， 所以，所以， 则关于x的不等式，即， 两边同时除以负数a得，即，其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知，令，则，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 5（多选）．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，由不等式的解集为，得是方程的两个根，且，A错误； 对于B，，则， 不等式，即，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式，即，整理得，解得或，D错误.故选：BC 题型二.含参一元二次不等式分类讨论 讨论维度：二次项系数、判别式 Δ、两根大小 6．（1）解下列关于的不等式： （i）    （ii）解关于的不等式. （2）关于的不等式的解集为，且，求值 【答案】（1）（i）；（ii）答案见解析；（2）. 【分析】（1）（i）将分式不等式转化为一元二次不等式求解；（ii）解含参的一元二次不等式. （2）利用给定的解集，结合韦达定理即可求出所求值. 【详解】（1）（i）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （ii）不等式， 当时，解得或；当时，；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 （2）由不等式的解集为，得， 且是方程的两个实根，则， 由，得，因此，整理得， 所以. 7．解下列关于的不等式 (1) (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用不含参一元二次不等式的解法即可得到答案； （2）利用含参一元二次不等式的解法即可得到答案. 【详解】（1）由， 所以， 故不等式的解集为：. （2）不等式， 化为， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 综上：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得. 题型三.一元二次不等式恒成立问题 1 解集为全体实数 R：开口向上且 Δ<0 ② 区间内恒成立：分离参数、最值法 8．定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义将题干表达式转化成一元二次不等式在上恒成立的问题. 【详解】由题意可变形为，即，化简可得恒成立， 所以恒成立， 化简可得，解得， 所以实数的取值范围为.故选：B. 9．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】关于的不等式的解集为. ①当时，即当时，则有恒成立，合乎题意； ②当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是.故选：A. 题型四.不等式有解（存在性）问题 转化为函数最大值 、最小值 10．已知关于的不等式，其中. (1)解上述不等式； (2)当时，不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见详解； (2)或 【分析】（1）由得，讨论参数的范围即可求解； （2）假设当时，不等式恒成立，则时，成立，求出参数范围即可求出原问题的结果． 【详解】（1）由得 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； （2）设 假设当时，不等式恒成立， 则时，成立 由得， 所以 当，即时，则在上单调递减， 所以，解得，又因为，所以无解； 当，即时，则在上单调递增， 所以，解得，又因为，所以； 所以当时，不等式有解，得或． 题型五：参数范围限定综合模型 双二次函数约束：任意 x，两个二次函数至少一个函数值为正 11．已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 12．已知函数，若对于任意实数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：当时，当x接近＋∞时，函数均为负值，显然不成立 当时，因当即时结论显然成立； 当时，只要即 则实数的取值范围是 13．若关于的不等式的解集为，且只有二个子集，则实数的值为_____． 【答案】 【分析】由题得集合A里只有一个元素.所以只有一个解，令得到，再检验得解. 【详解】因为集合只有二个子集， 所以集合A里只有一个元素. 由题得只有一个解， 令， 令. 当时，不等式（1）的解为，不等式（2）解为，不等式组的解集为，不满足题意； 当时，不等式（1）的解为，不等式（2）解为，不等式组的解集为，不满足题意； 当时，不等式（1）的解集为R，不等式（2）的解为，不等式组的解集为，满足题意； 当时，不等式（1）的解集为R，不等式（2）的解为，不等式组的解集为，满足题意. 故答案为. 【点睛】本题主要考查集合的子集的个数，考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14．已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数解析式，分析可知关于的方程、共有个不同的实数解，利用代数法可知方程有两个根，分析可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为， 由可得， 所以，关于的方程、共有个不同的实数解. ①先讨论方程的解的个数. 当时，由，可得， 当时，由，可得， 当时，由，可得， 所以，方程只有两解和； ②下面讨论方程的解的个数. 当时，由可得，可得或， 当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意， 当时，由可得， 因为，由题意可得或或， 解得或.因此，实数的取值范围是.故选：B. 15．已知函数在时有最大值和最小值，设. (1)求实数，的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据题意得，再根据二次函数单调性列方程求解即可； （2）由题知在上恒成立，设，进而得，在上恒成立，再求最值即可得答案； （3）用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围. 【详解】（1）解：， 因为，当时，，为常函数，不满足题意； 所以，，在上单调递增， 因为函数在时有最大值和最小值， 所以，解得，所以，. （2）解：由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立，设，则， 所以，，在上恒成立， 所以，在上恒成立，因为，所以， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 所以， ，在上恒成立，则，所以的取值范围是. （3）解：方程等价于， 即，， 令，则方程化为，， 因为方程有三个不同的实数解，所以，画出的图像如下图所示， 所以，，有两个根､，且或，. 记， 所以，，即，此时 或得，此时无解， 综上， ，即实数的取值范围 【点睛】本题第三问解题的关键在于令，进而结合题意，数形结合得，，有两个根､，且或，，再根据零点存在性定理求解即可. 题型六：基本不等式融合考点 由不等式解集得到两根关系，构造代数式，利用基本不等式求最值 对应题目：单选 3、多选 13B/D 16．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－2 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2.故选：C. 题型七：各类初等函数单调性解不等式 分段函数不等式：分段去外壳，分段解不等式组 17．设函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知函数在其定义域上单调递增，将函数不等式转化为自变量的不等式． 【详解】函数是定义在上的增函数，∵， ∴，解得，即故选 【点睛】本题考查函数单调性的应用，属于基础题． 18．已知，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析函数的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为，可得出，构造函数，分析函数的单调性，进行可解不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】， 构造函数，该函数的定义域为， ，函数为奇函数， ， 当且仅当时，等号成立，所以，函数为上的增函数， ，， 由可得， 所以，，所以，，即， 令，其中，，则函数为增函数， 因为，所以，， ，所以，. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 19．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质，求出的值，根据的定义域与单调性，再把不等式化为等价的不等式组，求出它的解集即可. 【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数， 所以，解得， 因为，所以或， 当时，，图象关于轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意， 不等式化为， ， 因为函数在上递减， 所以，解这个不等式，得，即实数的取值范围是，故选B . 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,意在考查对基础知识掌握的熟练程度，是基础题目. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习 第五讲 含参不等式 【学习目标】会解含参不等式. 【学习重点】解含参的一元二次不等式． 【学习难点】分类讨论的依据的选择. 必掌握知识点 1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 三、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论 常用的分类方法有以下三种： （1）按二次项系数的符号分类，即； （2）按判别式的符号分类，即； （3）按方程的根、的大小分类，即． 【解题方法总结】 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 必考题型全归纳 题型一：一元二次不等式基础 1．设，则关于的不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 3（多选）．若关于的不等式的解集为，则能使不等式成立的可以为（    ） A． B． C． D．或 4（多选）．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 5（多选）．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 题型二.含参一元二次不等式分类讨论 讨论维度：二次项系数、判别式 Δ、两根大小 6．（1）解下列关于的不等式： （i）    （ii）解关于的不等式. （2）关于的不等式的解集为，且，求值 7．解下列关于的不等式 (1) (2)． 题型三.一元二次不等式恒成立问题 1 解集为全体实数 R：开口向上且 Δ<0 ② 区间内恒成立：分离参数、最值法 8．定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四.不等式有解（存在性）问题 转化为函数最大值 、最小值 10．已知关于的不等式，其中. (1)解上述不等式； (2)当时，不等式有解，求的取值范围. 题型五：参数范围限定综合模型 双二次函数约束：任意 x，两个二次函数至少一个函数值为正 11．已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，若对于任意实数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是____________． 13．若关于的不等式的解集为，且只有二个子集，则实数的值为_____． 14．已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数在时有最大值和最小值，设. (1)求实数，的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 题型六：基本不等式融合考点 由不等式解集得到两根关系，构造代数式，利用基本不等式求最值 对应题目：单选 3、多选 13B/D 16．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．－2 B．1 C．2 D．8 题型七：各类初等函数单调性解不等式 分段函数不等式：分段去外壳，分段解不等式组 17．设函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $