第十一章 不等式与不等式组 暑假巩固左右02 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用渐进，适配暑假巩固需求，培养数学抽象、运算推理与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|不等式解法、符号表示|直接考查解不等式（如选择1）、文字转不等式（填空11），夯实概念| |能力提升|不等式组、数形结合|结合数轴分析（选择4）、含参数不等式组（填空15），发展推理意识| |综合应用|跨知识整合、实际建模|方程组与不等式结合（解答19）、无人机配送方案优化（解答24），强化应用意识|

第十一章 不等式与不等式组（暑假巩固作业02） 一、选择题 1．不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 2．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 3．图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（     ） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 5．在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．若不等式组无解，则“……”代表的不等式可能是（    ） A． B． C． D． 8．数轴上四个点的位置如图所示，点表示的数分别是．与算式的结果对应的点最接近的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．“的4倍减去8的差是一个负数”用不等式表示为________． 12．不等式组的解集是_______． 13．成都“机场直通道”设置在天府机场高速成都至机场方向左侧第一车道，起于龙泉山隧道入口处，止于天府机场，站分流匝道处．请根据图中所示限速牌用数学符号表示该公路段汽车行驶速度v的范围是______．（单位：） 14．若关于，的方程组的解满足，则的取值范围为________． 15．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 16．定义运算：表示求不超过的最大整数．如，，，，若，则的取值范围是________． 三、解答题 17．按要求完成下列各题： (1)解二元一次方程组：； (2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．解不等式组结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________． (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 19．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 20．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，． (1)若，求x的取值范围； (2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解． 21．对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式“关联”，例如不等式和不等式是“关联”的． (1)请判断不等式和是否是“关联”的，并说明理由； (2)若和是“关联”的，求a的最小整数值； (3)若不等式和是“关联”的，直接写出b的值． 22．“一笔一世界，一划一时光．”为鼓励学生练好中国字，某校购买甲、乙两种钢笔进行奖励．已知1支甲种钢笔和2支乙种钢笔共需26元，3支甲种钢笔和1支乙种钢笔共需28元． (1)求这两种钢笔的价格分别为多少元？ (2)若购进的甲、乙两种钢笔共50支，且总费用不超过400元，则甲种钢笔至少购进多少支？ 23．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第77页的部分内容． 已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． (1)请写出这道题完整的解题过程； (2)【拓展】若关于、的方程组的解满足，求的取值范围． 24．根据以下素材，探究并完成任务． 背景 目前，无人机外卖已在深圳、北京、上海、广州、香港实现常态化运营，其中深圳覆盖范围最广． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 (1)任务1：该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？ (2)任务2：某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买件（），①若使用无人机配送商品，则共需要 元；②若不使用无人机配送商品，则共需要 元．（结果用含的代数式表示，要求化简） (3)任务3：请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第十一章 不等式与不等式组（暑假巩固作业02） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C B D B D D C 1．A 【分析】利用不等式的基本性质移项计算即可得到解集． 【详解】解：由题意得， 解得． 2．C 【详解】解：∵最大关节扭矩可达 ∴此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为． 3．D 【分析】本题考查一元一次不等式性质的应用，结合图形进行分析，找到不等式关系是解题的关键； 【详解】 解：∵ ∴当两边同时加时，则， 故选：D. 4．C 【分析】根据数轴上点的位置关系得出 ，从而判断 的符号，再利用数轴上两点间的距离公式及图形的几何特征确定 的位置． 【详解】解：由数轴可知，点对应的数分别为，且从左到右排列 ， 即对应的点在点的右边 又点到点的距离为，点到点的距离为 点到点的距离等于点到点的距离 由图可知，线段的长度明显小于线段的长度 点到点的距离小于点到点的距离 点位于点与点之间． 5．B 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 6．D 【分析】先求解集合中的整数元素，再根据交集的定义找出同时属于集合和的元素． 【详解】解：集合满足， ∴得， 又∵， ∴，即， ∵集合， ∴是同时属于和的元素，即． 7．B 【分析】先求解第一个不等式得到解集，再根据不等式组无解即两个解集无公共部分，判断符合条件的选项． 【详解】解： 解得：． ∵不等式组无解， ∴另一个不等式的解集与没有公共部分． A选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． B选项，没有数同时满足和，不等式组无解，符合要求． C选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． D选项，公共部分为，不等式组有解，不符合要求． 8．D 【分析】由数轴上四个点的位置，由不等式性质及有理数乘法运算法则估算的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，则， 结合图中数轴上四个点的位置可知与算式的结果对应的点最接近的是点． 9．D 【分析】将方程组的两个方程相加，整理出的表达式，再代入不等式，解关于的一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解： 由，得， 整理得， ， ， 不等式两边同乘，得， 移项得， 系数化为，得． 10．C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 11． 【详解】解：根据题意可得，的倍为，的倍减去的差为，负数是小于的数，因此列不等式为． 12． 【详解】不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是． 13． 【详解】解：由图可知，． 14． 【分析】将方程组的两个方程相加，整理得到与的关系式，再根据列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， ，得， 整理得， 两边同除以，得， ， ， 解得． 15． 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定方法得到关于的不等式，即可求解，掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键． 【详解】解： 由①得 ， 解得． 由②得，． 不等式组的解集为， ∴根据“同小取小”可得 ． 16． 【分析】根据新定义的取整规则，先求出的值，代入等式得到的值，再根据取整运算的定义列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：根据定义，不超过的最大整数是，可得， 代入等式得， ， 根据取整运算的定义，可得，即， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是． 17．(1)； (2)，把解集在数轴上表示如图： 【详解】（1）解： 得，解得， 将代入①，得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示：略 18．(1) (2) (3)图见解析 (4) 【分析】（1）先去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （3）把两个不等式的解集在数轴上表示即可； （4）利用数轴确定不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 故不等式①的结果为． （2）解：解不等式②：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 故不等式②的结果为． （3）解：数轴上表示如下： （4）解：不等式组的解集是不等式①和②的解集的公共部分， 故不等式组的解集为． 19． 【分析】先解关于，的二元一次方程组，用表示，，再由列不等式求解即可． 【详解】解：解关于，的二元一次方程组 得 ∵，即 ∴的取值范围是． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据运算规则列出关于x的不等式，再求解即可； （2）先解一元一次方程得到x的值，再代入列出关于a的不等式，求出a的范围后找出最小整数解即可． 【详解】（1） 解 ：∵， ∴ 解得； （2）解： 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 ∵ 将代入得 整理得 解得 ∴的最小整数解为． 21．(1) 解：是，理由如下： 解不等式，得； 解不等式，得； ∴同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有1个整数， ∴不等式和是“关联”的； (2) (3) 【分析】（1）求得这两个不等式的解集，然后按照定义判断即可； （2）先求得这两个不等式的公共解集，然后根据定义可知公共解集有且仅有3个整数，得到关于的不等式组，即可解答； （3）先求得这两个不等式的解集，再根据这两个不等式的解集有公共部分得到的取值范围，然后根据为整数，分别代入计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：解不等式，得， ∵和是“关联”的， ∴满足这两个不等式的x的值中，有且仅有3个整数，分别为、、， ∴，解得：， ∴a的最小整数值为； （3）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式和是“关联”的，即这两个不等式的解集有公共部分， ∴，解得， ∴，且为整数， 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，符合题意； ∴的值为3． 22．(1)甲种钢笔价格为6元/支，乙种钢笔价格为10元/支； (2)甲种钢笔至少购进25支． 【分析】（1）根据“1支甲种钢笔和2支乙种钢笔共需26元，3支甲种钢笔和1支乙种钢笔共需28元．”列出二元一次方程组并接方程组即可； （2）根据“总费用不超过400元”列出一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种钢笔价格为x元/支，乙种钢笔价格为y元/支， 根据题意，得， 解得， 答：甲种钢笔价格为6元/支，乙种钢笔价格为10元/支； （2）解：设甲种钢笔购进a支，则乙种钢笔购进支， 根据题意，得， 解得， 答：甲种钢笔至少购进25支． 23．(1)解： 移项得 解得 ∵方程的解是非负数 ∴ 解得； (2) 【分析】（1）先解出方程，用含的代数式表示，根据解是非负数列出不等式，求解得到的范围； （2）通过方程组变形得到的表达式，根据已知不等关系列出一元一次不等式，求解得到的范围． 【详解】（1）略 （2） ①②得： 整理得 ∵ ∴ 移项得 两边同除以，不等号方向改变，得． 24．(1)该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元 (2)， (3)当时，使用无人机配送商品更合算 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示； （3）根据使用无人机配送更合算，建立一元一次不等式，求解不等式并结合a的范围，确定购买A商品数量的范围． 【详解】（1）解：设该商店在无促销活动时，商品的销售单价是元，商品的销售单价是元， 由题意得，， 解得：． 答：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元． （2）解：由题意得，A商品购买件，B商品购买件， ①若使用无人机配送商品，共需要（元）； ②若不使用无人机配送商品，共需要（元）． （3）解：由题意得：， 解得：， ， ． 答：当时，使用无人机配送商品更合算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $