专题07正多边形与圆.扇形弧长及圆锥侧面积预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题07正多边形与圆.扇形弧长及圆锥侧面积预习讲义 · 概念层面：熟记正多边形中心、中心角、边心距、外接圆半径等概念；分清圆锥底面半径、高、母线，理清扇形、弧的基础定义。 · 计算层面：牢记弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积公式，可正向、逆向计算；借助直角三角形求解正多边形边长、边心距，理清圆锥展开扇形和立体图形各线段等量关系并完成换算。 · 作图层面：学会等分圆周画出圆内接正多边形，能画出扇形、圆锥侧面展开示意图。 · 思想方法：体会数形结合、立体转平面的转化思想，找准圆锥底面周长等于扇形弧长这一核心等量关系。 · 分层学习：基础学生熟记概念公式，完成基础代入计算；中等学生灵活逆向运算，解决常规计算题；优等生完成扇形围成圆锥综合变式题。 · 预习教学要求：预习区分易混公式与概念，标记立体图形转化难点；课堂纠正公式记混、线段对应关系错乱等易错点，掌握中考圆相关计算题型。 预习必备 知识梳理 1.正多边形与圆基础概念 2.正多边形的有关计算 3.正多边形的性质 4.弧长相关知识与公式推导 5.扇形与扇形的面积公式 6.圆锥的侧面积与全面积 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.正多边形和圆的综合 2.求正多边形的中心角 3.由正多边形的中心角求边数 4.尺规作图--正多边形 5.求弧长 6.求扇形半径 7.求圆心角 8.求某点弧形运动路径长度 9.求扇形面积 10.求图形旋转后扫过的面积 11.求弓形面积 12.求其他不规则图形的面积 13.求圆锥侧面积 14.求圆锥底面半径 15.求圆锥的高 16.求圆锥侧面展开图的圆心角 17.圆锥的实际问题 18.圆锥侧面上最短路径问题 强化题型 解答题10题 知识点01:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点02:正多边形的有关计算 知识点03:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点04:弧长相关知识与公式推导 1.基础逻辑：整个圆的周长C=2πR，对应圆心角360，因此1圆心角对应的弧长为=； 2.弧长通用公式：半径为R，圆心角度数为n，对应弧长 l=； 3.变形公式：已知弧长、半径，求圆心角 n=； 4.规律：同圆或等圆中，弧长之比等于对应圆心角度数之比。 知识点05:扇形及扇形的面积公式 1. 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2. 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，因为 360 的圆心角所对的扇形面积就是圆面积 S = πR2，所以圆心角是 1 的扇形面积是 。于是，圆心角为 n的扇形面积为： S扇形 = 还可以用弧长表示扇形面积： S扇形 = lR其中 l 为扇形的弧长。 知识点06:圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 2. 圆锥的高 连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。 3. 圆锥的基本特征 (1)圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面。 （2）圆锥的母线长都相等。 （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线 l、圆锥的高 h、圆锥的底面半径 r 恰好构成一个直角三角形，由勾股定理得： l2 = r2 + h2 4. 圆锥的侧面积和全面积 母线长为 l，底面圆的半径为 r 的圆锥的侧面积： S侧 = πrl 全面积是它的侧面积与它的底面积之和，即：S全 = πrl + πr2 知识点07:全板块高频易错点（课堂重点纠错，减少失分） 正多边形部分 ①混淆中心角和内角公式，代入数值计算出错； ②使用勾股时直接用完整边长，忘记取边长的一半； ③求面积忘记公式是二分之一周长乘边心距，直接边长 × 边心距； ④作图时分点顺序混乱，未顺次连接导致图形不是正多边形；分不清量角器等分与尺规精准作图的适用场景。 弧长、扇形部分 ①记混公式分母：弧长分母 180，扇形角度公式分母 360； ②弓形面积忽略加减三角形，直接等同于扇形面积； 圆锥部分 ①混淆母线l和底面半径r，套公式时代错数字； ②求全面积只算侧面积，遗漏底面圆形面积； ③求展开圆心角时等量关系写错，弧长与周长不相等。 题型1.正多边形和圆的综合 【典例】一个圆的内接正方形和外切正方形面积的比为______． 【跟踪专练1】如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的弦，若的半径是，弦是圆内接正多边形的一边．则该正多边形的面积是___________． 【跟踪专练3】如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型2.求正多边形的中心角 【典例】如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 【跟踪专练1】青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 【跟踪专练3】科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型3.由正多边形的中心角求边数 【典例】中心角为的正多边形边数为________． 【跟踪专练1】如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【跟踪专练2】如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【跟踪专练3】如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 题型4.尺规作图--正多边形 【典例】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【跟踪专练1】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【跟踪专练2】如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 题型5.求弧长 【典例】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 【跟踪专练1】如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则勒洛三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 【跟踪专练3】如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型6.求扇形半径 【典例】的圆心角所对的弧长是，则这条弧所在圆的半径是___________． 【跟踪专练1】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 【跟踪专练3】《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 题型7.求圆心角 【典例】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度． 【跟踪专练1】如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 【跟踪专练3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 题型8.求某点弧形运动路径长度 【典例】“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 【跟踪专练1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中，，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径弧的长为_______． 【跟踪专练3】如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点B从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 题型9.求扇形面积 【典例】如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 ___________ ． 【跟踪专练1】如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为______．（取） 【跟踪专练3】如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 题型10.求图形旋转后扫过的面积 【典例】如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 【跟踪专练1】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为_______． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 题型11.求弓形面积 【典例】如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留．    【跟踪专练1】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 【跟踪专练3】如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 题型12.求其他不规则图形的面积 【典例】如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 【跟踪专练3】如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型13.求圆锥侧面积 【典例】某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 【跟踪专练1】如图，是一个圆锥形的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为，母线长为，那么纸杯的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是________． 【跟踪专练3】如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型14.求圆锥底面半径 【典例】用半径为50的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面直径是____． 【跟踪专练1】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A．5 B． C． D．10 【跟踪专练2】圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）    【跟踪专练3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），已知该扇形纸片的面积为，母线长为，则围成的圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 题型15.求圆锥的高 【典例】在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____． 【跟踪专练1】如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是______． 【跟踪专练3】用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（     ） A． B．1 C． D． 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 【跟踪专练1】草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 【跟踪专练3】如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型17.圆锥的实际问题 【典例】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【跟踪专练1】如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 【跟踪专练3】如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（  ） 　 A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 【典例】如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） 【跟踪专练1】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是______m． 【跟踪专练3】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 解答题 1．作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 2．已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 3．如图，是学校操场上的铅球场地，形状呈扇形状．已知占地面积为，弧的长度为，求半径的长度． 4．如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在的延长线上，连接． (1)求的度数； (2)若，点M为的中点，求点M在旋转过程中所经过的路径长． 5．如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 6．如图，是的直径，与相切于点，是的弦，，延长、相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若恰好是的中点，，求阴影部分的面积．（结果保留） 7．如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． 8．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 9．小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 10．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07正多边形与圆.扇形弧长及圆锥侧面积预习讲义 · 概念层面：熟记正多边形中心、中心角、边心距、外接圆半径等概念；分清圆锥底面半径、高、母线，理清扇形、弧的基础定义。 · 计算层面：牢记弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积公式，可正向、逆向计算；借助直角三角形求解正多边形边长、边心距，理清圆锥展开扇形和立体图形各线段等量关系并完成换算。 · 作图层面：学会等分圆周画出圆内接正多边形，能画出扇形、圆锥侧面展开示意图。 · 思想方法：体会数形结合、立体转平面的转化思想，找准圆锥底面周长等于扇形弧长这一核心等量关系。 · 分层学习：基础学生熟记概念公式，完成基础代入计算；中等学生灵活逆向运算，解决常规计算题；优等生完成扇形围成圆锥综合变式题。 · 预习教学要求：预习区分易混公式与概念，标记立体图形转化难点；课堂纠正公式记混、线段对应关系错乱等易错点，掌握中考圆相关计算题型。 预习必备 知识梳理 1.正多边形与圆基础概念 2.正多边形的有关计算 3.正多边形的性质 4.弧长相关知识与公式推导 5.扇形与扇形的面积公式 6.圆锥的侧面积与全面积 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.正多边形和圆的综合 2.求正多边形的中心角 3.由正多边形的中心角求边数 4.尺规作图--正多边形 5.求弧长 6.求扇形半径 7.求圆心角 8.求某点弧形运动路径长度 9.求扇形面积 10.求图形旋转后扫过的面积 11.求弓形面积 12.求其他不规则图形的面积 13.求圆锥侧面积 14.求圆锥底面半径 15.求圆锥的高 16.求圆锥侧面展开图的圆心角 17.圆锥的实际问题 18.圆锥侧面上最短路径问题 强化题型 解答题10题 知识点01:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点02:正多边形的有关计算 知识点03:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点04:弧长相关知识与公式推导 1.基础逻辑：整个圆的周长C=2πR，对应圆心角360，因此1圆心角对应的弧长为=； 2.弧长通用公式：半径为R，圆心角度数为n，对应弧长 l=； 3.变形公式：已知弧长、半径，求圆心角 n=； 4.规律：同圆或等圆中，弧长之比等于对应圆心角度数之比。 知识点05:扇形及扇形的面积公式 1. 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 2. 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，因为 360 的圆心角所对的扇形面积就是圆面积 S = πR2，所以圆心角是 1 的扇形面积是 。于是，圆心角为 n的扇形面积为： S扇形 = 还可以用弧长表示扇形面积： S扇形 = lR其中 l 为扇形的弧长。 知识点06:圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 2. 圆锥的高 连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。 3. 圆锥的基本特征 (1)圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面。 （2）圆锥的母线长都相等。 （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线 l、圆锥的高 h、圆锥的底面半径 r 恰好构成一个直角三角形，由勾股定理得： l2 = r2 + h2 4. 圆锥的侧面积和全面积 母线长为 l，底面圆的半径为 r 的圆锥的侧面积： S侧 = πrl 全面积是它的侧面积与它的底面积之和，即：S全 = πrl + πr2 知识点07:全板块高频易错点（课堂重点纠错，减少失分） 正多边形部分 ①混淆中心角和内角公式，代入数值计算出错； ②使用勾股时直接用完整边长，忘记取边长的一半； ③求面积忘记公式是二分之一周长乘边心距，直接边长 × 边心距； ④作图时分点顺序混乱，未顺次连接导致图形不是正多边形；分不清量角器等分与尺规精准作图的适用场景。 弧长、扇形部分 ①记混公式分母：弧长分母 180，扇形角度公式分母 360； ②弓形面积忽略加减三角形，直接等同于扇形面积； 圆锥部分 ①混淆母线l和底面半径r，套公式时代错数字； ②求全面积只算侧面积，遗漏底面圆形面积； ③求展开圆心角时等量关系写错，弧长与周长不相等。 题型1.正多边形和圆的综合 【典例】一个圆的内接正方形和外切正方形面积的比为______． 【答案】 【分析】设出圆的半径，根据圆与内接正方形、外切正方形的位置关系，得到两个正方形边长与圆半径的关系，计算两个正方形的面积后求出面积比. 【详解】设该圆的半径为， 对于圆的外切正方形，其边长等于圆的直径，因此边长为， 可得外切正方形面积. 对于圆的内接正方形，其对角线长等于圆的直径，因此对角线长为， 设内接正方形的边长为，根据勾股定理可得， 整理得，即，因此内接正方形面积. 因此内接正方形与外切正方形的面积比为. 【跟踪专练1】如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图： ∵是正八边形的外接圆， ∴， 由圆周角定理得：． 【跟踪专练2】如图，是的弦，若的半径是，弦是圆内接正多边形的一边．则该正多边形的面积是___________． 【答案】 【分析】连接，，过点A作于点D，由圆周角定理得，即可求得的长和正多边形的边数，即可求得面积． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴为正八边形的边， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 【跟踪专练3】如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中， ， ， 故选：A． 题型2.求正多边形的中心角 【典例】如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 【答案】72 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据正多边形的中心角解题即可． 【详解】解：由题意知，． 故答案为：72 ． 【跟踪专练1】青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是记住中心角．求出正五边形的中心角即可． 【详解】解：正五边形的中心角． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 【答案】 【分析】根据中心角定义求出和的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，，， . ∵是正五边形的外接圆， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型3.由正多边形的中心角求边数 【典例】中心角为的正多边形边数为________． 【答案】5 【详解】解：， 这个正多边形的边数为． 【跟踪专练1】如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，圆周角定理，先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得边长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 题型4.尺规作图--正多边形 【典例】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【跟踪专练1】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 题型5.求弧长 【典例】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 【答案】/平方厘米 【详解】解：外侧两竹条，的夹角为，半径， ． 【跟踪专练1】如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为6，则勒洛三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，勒洛三角形的三条边长相等，为圆心角为60度，半径为6的弧长，根据弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：由题意，勒洛三角形的边长为， 故勒洛三角形的周长为． 【跟踪专练2】如图，为内接于的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ． 【答案】 【分析】如图，连接，求出圆心角，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是直径，， ， ， ， 的长． 【跟踪专练3】如图，，是的弦，延长，相交于点P．连接，，已知，，的半径为9，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，由三角形外角的定义及性质得出，结合圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理可得，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 题型6.求扇形半径 【典例】的圆心角所对的弧长是，则这条弧所在圆的半径是___________． 【答案】24 【分析】根据弧长公式，将已知的圆心角度数和弧长代入公式，求解半径． 【详解】解：设圆的半径为， 根据题意，得， 解得：； 故答案为：24． 【跟踪专练1】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 【跟踪专练2】如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了与圆有关的计算，等边三角形的性质，通过曲边三角形的周长求出对应扇形的半径是解题关键． 由题意可知曲边三角形的三边为以对应顶点为圆心的扇形的弧，圆心角为，求出对应的半径，即为正三角形的边长，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为： 9． 【跟踪专练3】《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径的计算以及弧长的计算． 设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为9尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为9尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺． 故选：A． 题型7.求圆心角 【典例】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了弧长公式．利用扇形的弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为 度．由弧长公式得： ， 解得：， 即此扇形的圆心角是． 故答案为∶． 【跟踪专练1】如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长度分别为半径，已知扇面宣传板的面积为，若，则扇面宣传板所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由扇形面积公式求角度，熟记扇形面积公式是解决问题的关键； 利用，再由扇形面积公式代值计算即可求解． 【详解】解：设扇面宣传板所对的圆心角为， 则，， ∵， ∴， 解得， 即扇面宣传板所对的圆心角为， 故选：C． 【跟踪专练2】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 【答案】72 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为， ∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 题型8.求某点弧形运动路径长度 【典例】“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的弧长，根据摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，可知扇形所对的圆心角度数为，根据扇形的弧长公式求出的长度即轿厢经过的路径长度． 【详解】解：摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点， ， ． 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变换—旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质，弧长公式是解决问题的关键．根据旋转的性质得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴点转过的路径长为． 故选：D． 【跟踪专练2】中，，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径弧的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求弧长，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 根据等腰三角形的性质求出，根据旋转可知，根据三角形外角的性质求出，根据弧长公式求出． 【详解】解：， ， 根据旋转可知：， ， 点为中点， ， 点经过的路径的长为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点B从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用含角的直角三角形的性质得，从而得出点B经过的路径是圆心角，半径为的弧，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∴， ∵绕点C顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴点B经过的路径是圆心角，半径为的弧， ∴点B从开始到结束经过的路径长为：． 题型9.求扇形面积 【典例】如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 ___________ ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式：计算即可，计算时注意求的是两个面的面积． 【详解】解：， ， ． 【跟踪专练1】如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正多边形的性质，扇形面积的计算，根据题意得到，则，再根据扇形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为______．（取） 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，根据扇形的面积公式可得：，根据三角形的面积公式可得，根据即可求出结果． 【详解】解：在中，， ， ，， ， ， 又， ． 【跟踪专练3】如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积为， 所以阴影部分的面积为 ． 题型10.求图形旋转后扫过的面积 【典例】如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积．求出分针的旋转度数，再根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：分针旋转了：， 所以该分针扫过的面积是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 【跟踪专练2】如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为_______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了旋转的性质、扇形的面积公式，由旋转可知，整个图形的面积为：，，根据即可求出结果． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， 整个图形的面积为：， 扫过的图形的面积为：， 由旋转可知， ， ． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 题型11.求弓形面积 【典例】如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留．    【答案】/ 【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点，     由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 【跟踪专练1】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，，是半径为的上的点，，是中点，连，，则阴影部分面积为_______（结果不要求近似值） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积． 先设线段与线段的交点为，通过是中点，证明和都是等边三角形，再证明四边形是菱形，利用勾股定理得出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，设线段与线段的交点为， ∵是中点，， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 题型12.求其他不规则图形的面积 【典例】如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 【跟踪专练2】如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 【答案】 【分析】连接，由等腰三角形的性质得到，即可求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，求出的面积，扇形的面积，然后根据阴影的面积求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ， ， ∵， ， ∵，， ， ， ∵， ， 的面积， ∵， 阴影的面积． 【跟踪专练3】如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据折叠可知，根据勾股定理可知的长度，即可求弧长和面积． 【详解】解：连接，且直线与交于点，如图所示， ∵扇形中，， ∴， ∵点与圆心重合， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则, ∵ ，， ∴． 题型13.求圆锥侧面积 【典例】某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 【答案】 【分析】已知圆锥的底面半径和母线长，直接利用圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：依题意知母线长 ，底面半径 ， 则由圆锥的侧面积公式得： . 【跟踪专练1】如图，是一个圆锥形的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为，母线长为，那么纸杯的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由扇形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：纸杯的侧面积为． 【跟踪专练2】已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得母线长，继而根据弧长公式求得弧长，根据圆锥的侧面展开图的面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为7，高为24， ∴圆锥的母线长， ∵圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）， ∴圆锥侧面展开图的面积． 【跟踪专练3】如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的主视图可得圆锥的底面直径和高，利用勾股定理求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式和底面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为，高为， ∴圆锥的底面半径， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积， ∴圆锥的表面积． 题型14.求圆锥底面半径 【典例】用半径为50的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面直径是____． 【答案】50 【分析】圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，先计算出半圆形铁皮的弧长，再利用圆的周长公式即可求出圆锥的底面直径． 【详解】解：由题意可得，半圆形铁皮的半径， 则半圆形的弧长为：， 因为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长， 所以该圆锥底面圆的周长为， 设圆锥底面直径为，根据圆的周长公式可得：， 解得， 即此圆锥的底面直径是． 【跟踪专练1】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥底面圆半径的计算，掌握圆锥底面圆的半径的计算方法是解题关键． 先计算圆锥侧面展开图对应扇形的弧长，该弧长即为底面圆周长，据此计算半径即可． 【详解】解：， 设底面圆的半径为r， 则， ∴， 故选： C． 【跟踪专练2】圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，牢记公式是解题的关键．根据底面周长求得底面半径，然后利用勾股定理求出母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：底面周长为， ，解得， 高度为， 母线长为， 此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），已知该扇形纸片的面积为，母线长为，则围成的圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，设该圆锥的底面半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据扇形的面积公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面半径为， 故选：C． 题型15.求圆锥的高 【典例】在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，同时考查了弧长公式和勾股定理．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用弧长求得弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式．先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理，即可求出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，由题意得 解得， ∴纸帽的高是， 故答案为：． 【跟踪专练3】用一个圆心角为，半径为3的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形弧长等于圆锥底面周长，先求出圆锥底面半径，再用勾股定理计算圆锥的高。 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，根据扇形弧长公式， ， 设圆锥底面半径为， 扇形弧长等于圆锥底面周长， ， 解得， 圆锥的母线长等于扇形半径，即母线长为， 由勾股定理得圆锥的高：. 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例】如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度 【答案】144 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数，圆锥的底面圆的周长等于其展开图的扇形的弧长，据此结合弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这张扇形纸板的圆心角应为n度， 由题意得，， 解得， ∴这张扇形纸板的圆心角应为144度， 故答案为：144． 【跟踪专练1】草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题关键是利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合勾股定理求出圆锥底面半径． 先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长为、高为，得底面半径为， 底面周长为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数为， 扇形弧长公式为， 化简得，解得， 即所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 故选：． 【跟踪专练2】如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 【答案】/180度 【分析】本题考查了弧长公式．利用“圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长”这一核心等量关系，先根据底面半径求出底面圆的周长，再设侧面展开图扇形的圆心角为，结合扇形弧长公式建立方程，最后求解方程得到圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为． ∵圆锥底面半径，圆锥母线长， ∴由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图，圆锥侧面展开后为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长为圆锥底面周长，由此列方程即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 故选：C． 题型17.圆锥的实际问题 【典例】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 【跟踪专练1】如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：依题意，的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 【跟踪专练2】某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为， 圆锥的底面周长为， 扇形木纸板的半径为， 扇形木纸板的面积为， 【跟踪专练3】如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（  ） 　 A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案． 【详解】扇形的弧长是：=， 圆的半径为r，则底面圆的周长是， ∵恰好围成如图所示的圆锥， ∴=， ∴R=4r， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 【典例】如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） 【答案】6 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n． ∴， 解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6， ∴AA′＝． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点． 【跟踪专练1】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． . ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 【跟踪专练2】如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是______m． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短的应用，圆锥的相关计算，弧长公式，勾股定理的应用，熟记弧长计算公式是解题的关键． 将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线，再由勾股定理即可求解最短的路程． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为， 则：，其中 ∴，如图所示： 由题意可知，，且点P为的中点， 在中，， ∴ (米)， 故小虫沿线段爬行，路程最短，最短的路程是米， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 解答题 1．作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 2．已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：过C作圆的直径，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直径， ∴是切线； (2) 【分析】（1）过C作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，推出，即可证明是切线； （2）由圆周角定理得到，求出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 3．如图，是学校操场上的铅球场地，形状呈扇形状．已知占地面积为，弧的长度为，求半径的长度． 【答案】 【分析】扇形的面积等于弧长与半径乘积的一半，所以依公式计算即可． 本题主要考查了扇形面积的计算方法，掌握面积公式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故答案为：． 4．如图，将绕点B顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在的延长线上，连接． (1)求的度数； (2)若，点M为的中点，求点M在旋转过程中所经过的路径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式，证明是等边三角形是解答的关键 （1）证明是等边三角形，即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：∵，点M为的中点， ∴，又， ∴点M在旋转过程中所经过的路径长为． 5．如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 6．如图，是的直径，与相切于点，是的弦，，延长、相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若恰好是的中点，，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据平行线的性质及等腰三角形的性质可得，即可证明，得出，即可得出是的切线； （2）根据直角三角形斜边的中线的性质得出，，可证明是等边三角形，得出，，根据即可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：由（1）可知，， ∵恰好是的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴． 7．如图，已知圆锥的底面半径，母线长 (1)圆锥的高 cm．侧面展开扇形的圆心角 ° (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用勾股定理求高；设侧面展开扇形的圆心角为，再根据扇形弧长等于底面周长列式求解； （2）分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ； 设侧面展开扇形的圆心角为，则， 又底面周长为， ，解得， 则侧面展开扇形的圆心角为； （2）解：圆锥底面积为， 圆锥的侧面积为， 所以圆锥的全面积为． 8．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 9．小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 10．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $