四川省南充市高坪中学2023-2024学年高三上学期12月检测数学（文）试题

南充市高坪中学高三12月月考 数学试题（文） 一、单选题（每小题5分，共60分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C. D． 2．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．或4 C． D．4 3．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．己知，，.则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（  ） A． B． C． D．3 7．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．192 D．128 8．函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．-1是函数的极小值点 B．-3是函数的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在处的切线斜率小于零 10．在中，A，B，C所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 11．已知数列满足，且对任意的正整数，，都有，若数列的前n项和为，则等于（    ） A． B． C． D． 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知满足，则的最大值是 . 14．已知向量的夹角为，则 . 15．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 . 16．已知定义在R上的函数满足，对任意的，当时，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为 . 三、解答题（共70分） 17．（12分）记等差数列的前项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列前项和． 18．（12分）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如图所示的频率分布直方图，且规定成绩不小于70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关； B学科良好 B学科不够良好 合计 A学科良好 A学科不够良好 合计 （2）为了进一步分析学生成绩，从A学科不够良好的学生中采用分层抽样的方法抽出6人，最后从这6人中随机选出2人进行访谈，求其中恰有1人为B学科良好的概率. 附：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（12分）已知函数. （1）若的图象上一个最高点到相邻最低点的距离为，求的单调递增区间； （2）若，且在区间上单调，求的值. 20．（12分）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角； （2）若，角的平分线为，D在边上，且，求的面积． 21．（12分）设． （1）求曲线在点(0,1)的切线方程。 （2）设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； （3）若正实数a，b满足：对于任意，都有，求的最大值 选做题（2选1，共10分） 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的普通方程； （2）直线与曲线交于两点，，求的值． 23．已知函数． （1）解不等式； （2）记函数的最小值为，求证：. ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高坪中学高三12月月考数学试题（文） 参考答案 选择题 1-6 DBDABC 7-12 CCCDCA 填空题 13.6 14.1 15. 16. 解答题 17．(1)；； (2)． 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， 所以 ． 18．(1)列联表见解析，有95%把握认为学科良好与学科良好有关 (2) 【详解】（1）解：由直方图可得学科良好的人数为（人）， 所以列联表如下： B学科良好 B学科不够良好 合计 A学科良好 40 30 70 A学科不够良好 10 20 30 合计 50 50 100 假设：学科良好与学科良好无关， 可得， 所以有95%把握认为学科良好与学科良好有关. （2）解：由题意知，学科不够良好的学生中，学科良好和不够良好的学生比为 所抽学科良好人数为2人，学科不够良好人数为4人， 记“其中恰有1人为学科良好”为事件， 设学科良好为，，学科不够良好分别为，，，， 则所有结果为：,共有15种， 事件包含的基本事件，共8种； 由古典概型的概率公式，可得概率为． 19．(1) (2)1 【详解】（1）设的最小正周期为，由已知得， 解得，所以，所以， 由，解得， 故的单调递增区间是. （2）由，知函数的图象关于点对称， 所以，得. 当时，， 又在区间上单调，所以，解得， 当时，，满足条件，所以， 则 20．(1) (2) 【详解】解：（1）因为， 所以， 整理得， 即． 又，所以，因为，所以． （2）因为为角的平分线，所以． 由， 得， 即，解得． 所以． 21．(1) (2) (3) 【详解】（1）略 （2）根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近， 设切线方程为， 由（1）可知，当切线斜率为时，切点坐标为，此时切线方程为， 此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值， 即， 所以的最小值为； （3）若对于任意，都有，即可得恒成立， 令，则， 当时，恒成立，即在上单调递增， 显然当趋近于时，不等式并不恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以在处取得最小值， 即满足即可， 即， 由可得， 设，则， 令可得， 即时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 即 所以的最大值为. 22.(1) (2) 【详解】（1）由题意知曲线的参数方程为（为参数）， 故， 即曲线的普通方程为； （2）直线的极坐标方程为，即， 即，则直线的直角坐标方程为， 显然点在直线l上，则l的参数方程为（t为参数）， 将（t为参数）代入到中， 得，显然有， 设对应的参数为，则，则异号， 故. 23．(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，解得，故； 当时，，解得，故； 当时，，解得，无解； 综上所述：，即 （2）， 当时等号成立，，故， . 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$