第二章 导数 第2节 利用导数研究函数的单调性-2026-2027学年度高三数学总复习

该高中数学讲义聚焦利用导数研究函数单调性这一高考核心考点，涵盖导数与函数图象关系、单调区间求解、含参单调性讨论、恒成立问题及大小比较等内容，按“知识梳理-典例精讲-分层练习-真题对接”逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破难点。 资料以高考真题为导向，如融入2021年甲卷、2023年甲卷等真题设计典例，采用分层训练模式，基础题巩固方法，综合题提升能力。教学中通过含参单调性分类讨论培养数学思维，比较大小问题引导构造函数发展数学语言表达，确保学生在有限时间内高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第二章 导数 第2节 利用导数研究函数的单调性 知识要点 时，恒成立在区间上为增函数；时，恒成立在区间上为减函数． 在区间上为增函数在上恒成立；在区间上为减函数在上恒成立． 注：只有孤立的的值，使，即不在任何一个连续的区间内恒为． 1．图象与图象的关系 【典例1】设函数在定义域内的导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是( ) A． B． C． D． 【解析】由的图象知，当时，递增，所以，A、C不合题意；当时，先递增，接着递减，最后递增，所以的值先为正，接着为负，最后为正，B不合题意，D符合题意．故选D． 【针对练习1-1】设是的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是( ) A． B． C． D． 【解析】由的图象知，当时，，单调递增，当时，先负后正，先减后增．故选C． 2.单调性的判断与单调区间的求解步骤 ①求； ②令，则为增函数，得增区间；令，则为减函数，得减区间． 【典例2】求函数的单调区间． 【解析】由，得，当时，，所以递减，当时，，所以递增，故减区间为，增区间为． 【针对练习2】求下列函数的单调区间： （1） （2） （3） （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【解析】（1），当时，，原函数递增；当时，，原函数递减；当时，，原函数递增．故函数的递增区间为和，递减区间为． （2），当时，，原函数递减；当时，，原函数递增；当时，，原函数递减．故函数 的递增区间为，递减区间为和． （3），令，则，所以故函数的递增区间为． （4），当时，，原函数递减；当时，，原函数递增，故函数的递减区间为，递增区间为． （5），当时，，原函数递减；当时，，原函数递增；当时，，原函数递减．故函数的递增区间为，递减区间为和． （6），当时，，原函数递减；当时，，原函数递增，故函数的递减区间为，递增区间为． （7），当时，，原函数递减；当时，，原函数递增，故函数的递减区间为，递增区间为． （8），当时，，原函数递减；当时，，原函数递增，故函数的递减区间为，递增区间为． （9）由知，当时， ，当且仅当即时，，所以的单调递减区间是． 【典例3】求函数的单调区间. 【解析】的定义域为.由，得. 当时，，为增函数，得增区间为； 当时，，为减函数，得减区间为. 综上知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【针对练习3-1】求函数的单调区间. 【解析】由得. 令，得，此时为增函数；令，得，此时为减函数； 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【针对练习3-2】求函数的单调区间. 【解析】由得. 令，得，此时为增函数； 令，得或，此时为减函数； 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为和. 【针对练习3-3】已知函数．求函数的单调区间． 【解析】，令，可得，令，可得，∴在上单调递减，在上单调递增．所以的减区间为，增区间为． 【针对练习3-4】（2021年高考甲卷理科数学第21题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间；（2）略． 【解析】（1）分析1：直接利用求导公式及分式求导法则求导，再分别令，，解不等式即可得的单调区间． 方法1（直接求导）：当时，由，得 ，令，得，此时递增；令，得，此时递减．故的单调递增区间为；递减区间为． 分析2：先在函数关系式两边同时取以为底的对数，利用复合函数求导法则求导，再分别令，，得单调区间． 方法2（取对数求导）：在两边同时取以为底的对数，得，对两边同时求导，得，因为，令，易得，此时递增；令，得，此时递减．故的单调递增区间为，递减区间为． 【针对练习3-5】已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【解析】，，则，，时有，由，解得或，所以的单调递增区间为和．故选C． 【针对练习3-6】设为函数的导函数，已知 ，且的图像经过点． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间． 【解析】（1），则，得．由题意，得曲线在点处的切线方程为，即． （2）由已知得．又由（1）知，所以．故．，由，得，或；由，得．故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为． 【针对练习3-7】（2023年全国甲卷文科）已知，． （1）当时，讨论的单调性；（2）略． 【解析】（1）因为，所以， 则，，所以在上单调递减． 【针对练习3-8】（2023年全国甲卷理科）已知，． （1）当时，讨论的单调性；（2）略． 【解析】（1）当时，． 令，得，所以，此时递增；令，得，此时递减．故在上递增，在上递减． 【典例4】已知函数，求的单调区间． 【解析】，当时，，为增函数；当时，，为减函数．故的增区间为，减区间为． 【针对练习4-1】已知函数，求的单调区间． 【解析】易得．当时，，为减函数；当时，，为增函数．故的增区间为，减区间为． 【针对练习4-2】（2018年新课标I卷）已知函数．设是的极值点，求，并求的单调区间． 【解析】，由题意，得，解得，所以．当时，，，所以，所以为减函数；当时，，，所以，所以为增函数． 综上，在上减函数，在上增函数． 【典例5】已知函数，讨论的单调区间. 【解析】. 当时，，则在上为增函数. 当时，令，得，所以，此时为增函数； 令，得，所以，此时为减函数. 综上知，当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 【针对练习5-1】设函数，求的单调区间． 【解析】的定义域为，．若，则，所以在上单调递增．若，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【针对练习5-2】已知函数，，求的单调区间. 【解析】. 当时，，所以在上为增函数. 当时，令，得，所以，故在上单调递增；令，得，所以，故在上单调递减. 综上，时，的增区间为；时，增区间为，减区间为. 【针对练习5-3】已知函数，，讨论的单调性. 【解析】. 当时，在上恒成立，所以在上为增函数. 当时，由，得，所以在上为增函数； 由，得，所以在上为减函数. 综上，时，在上为增函数； 时，在上为增函数，在上为减函数. 【针对练习5-4】已知函数，讨论的单调性. 【解析】. 当时，，所以在上为减函数. 当时，. 当时，，所以在上为减函数. 当时，，所以在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为增函数，在上为减函数. 【针对练习5-5】讨论函数的单调区间. 【解析】的定义域为. 当时，由，得或，此时为增函数；由，得，此时为减函数. 当时，恒成立，当且仅当时，，所以在上为增函数. 当时，由，得或，此时为增函数；由，得，此时为减函数. 综上，当时，的增区间为和，减区间为；当时，在上为增函数；当时，的增区间为和，减区间为. 【针对练习5-6】求函数的单调区间. 【解析】. 令，得，即时，为增函数； 令，得，即，或时，为减函数. 故的增区间为，减区间为和. 【针对练习5-7】求函数的单调区间. 【解析】. 令，得，所以，或，此时为增函数； 令，得，所以，此时为减函数. 故的增区间为和，减区间为. 【典例6】若函数在上递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由，得，由题意知，对恒成立，即对恒成立，令，显然在上递减，所以，所以．故选C． 【针对练习6-1】已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，所以即．故选A． 【针对练习6-2】函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知时，，时，．又，所以在上单调递增，因此时，恒成立，得，又，得，综上得的取值范围是．故选D． 【针对练习6-3】若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则在上单调递减，因为，由在上恒成立，若，则，所以；若，则，所以．设，则在上单调递减．由在上恒成立，所以，，所以，且． 综上可知．故选D． 【针对练习6-4】若在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【解析】由，得，因为在上为减函数，所以对 ，有，得，当时，对，恒成立，此时在上不为减函数，故实数的取值范围是． 【针对练习6-5】已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，当且仅当时等号成立，所以是上的增函数，又，所以不等式化为，所以，解得或．故选D． 【针对练习6-6】已知函数． （1）求的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），当时，，递增；当时，，原函数递减；当时，，原函数递减．故函数的递增区间为，递减区间为和． （2），令，易知，在上递增，所以，所以，即实数的取值范围是． 【针对练习6-7】已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【解析】，因为函数在区间上为减函数，所以对恒成立，所以，令，易知在上为减函数，则，所以，即实数的取值范围是． 【针对练习6-8】设函数． （1）若，求的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围． 【解析】（1），由，得，解得，所以，当时，，所以递增；当时，，所以递减；当时，，所以递增． （2）由题意，得对任意的，，即，令，则只需，由基本不等式，得，故，即实数的取值范围是． 【针对练习6-9】已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）求导得． ①时，令可得，由于知；令，得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增； ②时，令可得；令，得或，由于知或，∴函数在上单调递减，在，上单调递增； ③时，，函数在上单调递增； ④时，令，得；令，得或，由于知或，∴函数在上单调递减，在和上单调递增． （2）由（1）时，，（不符合，舍去）当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以对定义域内的任意恒成立时，只需要即可，∴．综上，实数的取值范围是． 【针对练习6-10】已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直． （1）求的解析式； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数的图象过点，所以， 又因为，且点处的切线恰好与直线垂直，所以，由解得所以． （2）由（1）知，令，即，解得或，令，即，解得，所以在单调递增，单调递减，单调递增，根据函数在区间上单调递增，则有或，解得或． 【典例7】已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由知，存在区间，使，所以，得，即实数的取值范围是． 【针对练习7-1】若函数在定义域内的某个区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由的符号知，在处有极小值，所以，解得．故选B． 【针对练习7-2】已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由． ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得．故答案为． 【典例8】已知为圆周率，…为自然对数的底数，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数在上递增知，．令，则，由的符号知，在上为减函数，所以，即，得．综上知，．故选A． 【针对练习8-1】比较下列各组数的大小． ①与；②与；③与；④与． 【解析】①由在上递增，得，所以，故． ②由在上递减，得，所以，故． ③方法1：由在上递减，得，所以，故． 方法2：因为的极值点左偏，令，且，所以，从而，即． ④方法1：由在上递减，． 方法2：因为，所以，即，所以． 【针对练习8-2】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， ．因为在上递增，所以，又在上递减，且，所以．故选C． 【典例9】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，，则 ，所以在上递减，所以 ，所以．故选A． 反思研究：当，且时，，两边取倒数，得． 记忆方法：①平方为大． ②当增大时，越接近，逐步变小；越接近，逐步变大． 【针对练习9-1】设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法1：由题意，得，，，易知，所以．故选D． 方法2：令，易知在上递减，所以，即． 【针对练习9-2】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1：由题意，得，，，易知，所以．故选A． 方法2：令，易知在上递减，所以，即，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $第二章导数 第2节利用导数研究函数的单调性 知识要点 x∈D时，f'()>0恒成立→)在区间D上为增函数：x∈D时，f八)<O恒 成立→几)在区间D上为减函数. 1)在区间D上为增函数→f(,≥0在D上恒成立：()在区间D上为减函数 →f(x)≤0在D上恒成立. 注：只有孤立的x的值，使八)=0，即f()不在任何一个连续的区间内恒为0. 1.几)图象与f()图象的关系 【典例1】设函数y=几在定义域内的导函数为y=f(),且八)的图象如图 人y 所示，则八)的图象可能是人 【针对练习1-1】设f（)是几)的导函数，f()的图象如图所示，则几的图象 可能是( B. 2.单调性的判断与单调区间的求解步骤 ①求f(): ②令f八>0，则)为增函数，得增区间：令八<0，则为减函数，得减区 间. 【典例2】求函数)=xe的单调区间. 【针对练习2】求下列函数的单调区间： 、y=3+5-2xy=+2+3x+1 (1) 3 (2) 3 (3)y=x3+x2+x 6上t2 2 (4)y=xe* e: y=二+lnx (6) (7)y=xlnx: y=Inx (8) (9)y=2x-e*+e-x x)=*-1-Ix 【典例3】求函数 的单调区间. 刘=e2-2nr 【针对练习3-1】求函数 2 的单调区间. 【针对练习3-2】求函数)=-x+3x+1-山x的单调区间 )=（r-e* 【针对练习3-3】已知函数 x2+1.求函数)的单调区间。 【针对练习3-4】(2021年高考甲卷理科数学第21题)已知>0且a≠1，函数 =x> a 0).当a=2时，求刘的单调区同。 【针对练习3-5】已知定义在区间0，)上的函数)=x+2cosx,则()的单 调递增区间为() 8(爱。低 3 【针对练习3-6】设/()为函数)的导函数，已知儿)=x+f八0)cos2x+a (a∈R),且)的图像经过点(0,2) (1)求曲线y=几)在点(0,0)处的切线方程： (2)求函数()在[0，刀上的单调区间. 对=am-snx0<x< 【针对练习3-7】(2023年全国甲卷文科)已知 cosx, 当a=1时，讨论)的单调性. x)=ax-sinxx 【针对练习3-8】(2023年全国甲卷理科)已知 cosx, 2 当a=8时，讨论几)的单调性. 【典例4】已知函数几=(e-)+x,求几x)的单调区间. 划=l血r+2x 【针对练习4-1】已知函数 x2+x,求几)的单调区间。 又 【针对练习4-2】(2018年新课标I卷)已知函数)=ae-hx-1.设x=2是 几)的极值点，求a,并求)的单调区间. 【典例5】已知函数人)=hx-2x+2a,讨论为的单调区间。 【针对练习5-1】设函数几)=e-ax-2,求八)的单调区间. 【针对练习5-2】已知函数 月对=nx+京，a∈R,求可的单调区间 【针对练习5-3】已知函数几)=X-al血x,a∈R,讨论几)的单调性 对=兰-2h(a≠0) 【针对练习5-4】已知函数 a ,讨论几)的单调性 5 =alnx+号x2-(a+i其中a>0) 【针对练习5-5】讨论函数 的单调区间。 )=4x9a≥0) 【针对练习5-6】求函数 x2 的单调区间。 【针对练习5-7】求函数八)=a2x-3ax2+a>0)的单调区间 【典例6】若函数 则实数a的取值范围是( A.[-1,0] B.[-l,+o∞) c.[3,+oo) D.[0,3] 【针对练习6-1】已知函数人)=x+x-ar+1在R上为单调递增函数，则实数Q 的取值范围为() a》eg。[F+ ax2+e',x≥0， x)=〈 【针对练习6-2】函数 八气x2-ar2+a,0在R上单调，则a的取值范围是( 6 A.(0,1 B.(0,] c.0,) D.l0,1 x+ar2-a-4,x≥0， F(x)= 【针对练习6-3】若函数 ax-sinx,x<0 在R上单调，则实数a的 取值范围为() A.（-∞，-1) B.（-∞，-1] c.[-4,- D.[-4,-1] )=a+1 【针对练习6-4】若 x-2在(-∞，2)上为减函数，则实数a的取值范围是 【针对练习6-5】已知函数)=3x-2x+e-e+1,若2a-3)+a2)≥2 ，则实数Q的取值范围为()‘ A.（-∞，] B.[-3,] c.（-∞，-U[3,+∞)D. (-∞，-3]U[1,+∞) )=e 【针对练习6-6】已知函数x-1。 (1)求)的单调区间： (2)若当>3时，f()≥叭)恒成立，求实数a的取值范围. 【针对练习6-7】已知函数几，=x+x°-4x+3在区间(1,2)上单调递减，求实数 a的取值范围. x)=ax-4-2Inx 【针对练习6-8】设函数 (1)若f(2)=0,求)的单调区间： (2)若)在定义域上是增函数，求实数口的取值范围。 Ax)=alnx+-x-(1+a)x 【针对练习6-9】已知函数 (1)求月的单调区间： (2)若八)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数的取值范围。 【针对练习6-10】已知函数)=ar+bxx∈R)的图象过点R-1,2),且在点P 处的切线恰好与直线-3y=0垂直. (1)求几)的解析式： (2)若)在区间m,m+】上单调递增，求实数m的取值范围. fx)=Inx-- ax2-2x 【典例7】己知函数 2 存在单调递减区间，则实数α的取值范围是 【针对练习7-1】若函数几，=2x-血x在定义域内的某个区间(k-1,k+)内不是 单调函数，则实数k的取值范围是() 【针对练习7-2】已知函数)=hx-x-2在区间1,2)上不单调，则实数a的取 值范围为 【典例8】己知兀为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数，则e3,e,3°的大 小关系为() A.3<e3<eB.e<3<e3c.e3<3<e D.3<e"<e3 【针对练习8-1】比较下列各组数的大小. In2 In3 ①2与2；②3与π：③2"与π2：④2与3. 1 g=- 【针对练习8-2】已知 2ve b=Inv2.c=in4 e2,则() A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.b<c<a 【典例9】已知a=log,3,b=l0g,4,c=log45,则() A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.b<c<a 【针对练习9-1】设a=1bg,6,b=1og,10,c=10g,14,则() A.c>ba B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【针对练习9-2】已知a=log,15,b=1og,20,c=log%30,则(） A:ab>c B.b>ae C.c=bza D.c>a>b 10