第三节 导数与函数的极值、最值讲义-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第三章　　一元函数的导数及其应用 第三节　导数与函数的极值、最值 一、考情探究 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第10题,6分 求已知函数的极值点 利用导数求函数的单调区间 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 极值与最值的综合应用 利用导数研究具体函数单调性 函数对称性的应用 利用导数研究函数的零点 判断零点所在的区间 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 根据极值求参数 求在曲线上一点处的切线方程 利用导数研究含参函数单调性 2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 函数的性质、奇偶性的定义与判断 2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参) 基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹 方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长 2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 根据二次函数零点的分布求参数的范围 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点 2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参) 锥体体积的有关计算球的体积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点 求在曲线上一点处的切线方程 (斜率） 利用导数研究函数的零点 2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 利用导数研究方程的根 2021年新I卷，第15题,5分 由导数求函的最值 (不含参) 无 二、课标要求 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 三、 命题规律及备考策略 本节是导数应用的第二课时，以考查导数的运算以及函数的单调性、极值、最值之间的关系为主，其中含有参数的函数的极值、最值问题是高考的热点，预计确定函数的极值、最值或已知函数的极值、最值求参数值(或范围)仍是高考考查的重点内容． 四、知识梳理 1．函数的极值 条件 设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 [提醒]　(1)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值 (1)闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． [提醒]　函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系． [常用结论] 1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 五、课堂考点突破 考点一 利用导数解决函数的极值问题 题型1　由图象判断函数极值 例1 设函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象如图所示,则 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)的极大值为f(),极小值为f(-) B.f(x)的极大值为f(-),极小值为f() C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3) D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3) 例1　[思路点拨] 由y=xf'(x)的图象可以得出f'(x)在各区间上的正负情况,从而可得f(x)在各区间上的单调性,进而可得极值. D　[解析] 当x∈(-∞,-3)时,y=xf'(x)>0,∴f'(x)<0,f(x)单调递减;同理可得,当x∈(-3,3)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∴f(x)的极大值是f(3),极小值是f(-3).故选D. 题型2　已知函数求极值 例2 (1) [2024·九省联考] 已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2的图象在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. ①求a; ②求f(x)的单调区间和极值. (2)已知函数f(x)=aln x-2x+x2(x>0),讨论函数f(x)的极值点个数. 例2　[思路点拨] (2)根据函数极值点的定义,结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 解:(1) ①f'(x)=+2x+a,则f'(2)=+a,又直线2x+3y=0的斜率为-,∴·=-1,∴a=-3. ②由(1)知f(x)=ln x+x2-3x+2,则f'(x)=+2x-3==,令f'(x)=0,得x=或1,当0<x<时,f'(x)>0,当<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)极大值=f=-ln 2+,f(x)极小值=f(1)=0. 故f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为;f(x)的极大值为-ln 2+,极小值为0. (2)f'(x)=,x>0,令g(x)=x2-2x+a,关于x的方程x2-2x+a=0的判别式Δ=4-4a. ①当Δ≤0,即a≥1时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值点. ②当Δ>0,即a<1时,函数g(x)有两个零点x1=1-,x2=1+. (i)当a≤0时,x1≤0,x2>1,当x∈(0,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)有一个极值点; (ii)当0<a<1时,0<x1<1,x2>1,当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)有两个极值点. 综上,当a≥1时,f(x)无极值点;当0<a<1时,f(x)有两个极值点;当a≤0时,f(x)有一个极值点.     题型3　已知极值求参数 例3 (1)函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=　　　　.  (2)已知函数f(x)=2ax-有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.  例3　[思路点拨] (1)由f(x)在x=1处取得极值10得解得或进行检验即可求解.(2)将函数f(x)有两个极值点转化为f'(x)=0有两个不同的实数根,令g(x)=,则问题等价于函数y=g(x)与y=-2a的图象有两个不同的交点,数形结合求得a的取值范围即可. (1)-7　(2)　[解析] (1)由函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,可得f'(x)=3x2+2ax+b,因为f(x)在x=1处取得极值10,所以解得或经检验知,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,此时函数f(x)为增函数,f(x)无极值点,不符合题意,舍去;当a=4,b=-11时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),当x<-时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故当x=1时,函数f(x)取得极小值,符合题意.所以a+b=-7. (2)函数f(x)=2ax-,则f'(x)=2a+,因为函数f(x)有两个极值点,所以f'(x)=0有两个不同的实数根,即关于x的方程-2a=有两个不同的实数根.令g(x)=,则函数y=g(x)与y=-2a的图象有两个不同的交点.因为g'(x)=,所以当x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=.作出函数g(x)的图象如图所示,由图可知,0<-2a<,解得-<a<0,所以实数a的取值范围是. 考点二　利用导数解决函数的最值问题 例4 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (1)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值; (2)讨论f(x)在[1,e]上的最大值. 例4　[思路点拨] (1)求导后,分a≤1,1<a<e,a≥e讨论求得最小值,从而可求得a的值;(2)分a≤1,1<a≤,<a<e,a≥e讨论求得f(x)在[1,e]上的最大值. 解:(1)f'(x)=-=,x>0.若a≤1,则f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,所以f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=a=,不满足题意; 若1<a<e,则当x∈[1,e]时,令f'(x)<0,解得1≤x<a,令f'(x)>0,解得a<x≤e, 所以函数f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增, 所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(a)=ln a+1=,解得a=,满足题意;若a≥e,则f'(x)≤0在[1,e]上恒成立, 所以f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=1+=,解得a=,不满足题意. 综上所述,a=. (2)由(1)可知若a≤1,则f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+;若1<a<e,则f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增,当1+≥a,即1<a≤时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+,当1+<a,即<a<e时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(1)=a;若a≥e,则f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)在[1,e]上的最大值为f(1)=a. 综上,当a≤时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+;当a>时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(1)=a.     变式题 (1)[2023·北京西城区二模] 已知函数f(x)=x2+ln(x+1),则f(x)在区间上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  (2)已知函数f(x)=x3-x+1在区间(2a-5,a2)上存在最大值,则实数a的取值范围是　　　　.  　(1)0　-ln 2　(2)　[解析] (1)∵函数f(x)=x2+ln(x+1),∴f'(x)=2x+=,当x∈时,f'(x)>0,∴f(x)在区间上单调递增,∴f(x)在区间上的最小值为f=-ln 2,最大值为f(0)=0. (2)由题意得f'(x)=x2-1,令f'(x)<0,得-2<x<2,令f'(x)>0,得x<-2或x>2,所以f(x)在(-2,2)上单调递减,在(-∞,-2)和(2,+∞)上单调递增,故f(x)的极大值为f(-2)=.令f(x)=,得(x+2)2(x-4)=0,解得x=-2或x=4,所以f(4)=,所以要使f(x)=x3-x+1在(2a-5,a2)上存在最大值,则有解得-2≤a<. 考点三　利用导数解决实际问题 例5 (1)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元. 已知销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元;a是常数),若种植2万斤莲藕,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 (　 ) A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤 (2)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为　　　　.  [思路点拨] (1)根据题意得利润为g(x)=-x3+ax2-1,根据g(2)=2.5得a=2,再利用导数研究其单调性即可得答案.(2)将无盖圆柱的表面积表示成关于圆柱底面半径的函数,利用导数求函数的最值,从而可得结果. (1)A　 (2)3　[解析] (1)设利润为g(x)万元,则g(x)=f(x)-1-x=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,0<x≤8,由题意得g(2)=-×23+a×22-1=2.5,解得a=2,∴g(x)=-x3+x2-1,∴g'(x)=-x2+x=-x(x-6).易知函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8]上单调递减,∴当x=6时,函数g(x)取得极大值,也是最大值,故选A. (2)设圆柱的高为h,底面半径为r,则由圆柱的体积公式可得πr2h=27π,即h=,则无盖圆柱的表面积f(r)=πr2+2πrh=πr2+2πr·.易知f'(r)=2πr-=,令f'(r)>0,可得r>3,令f'(r)<0,可得0<r<3,∴f(r)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,则当r=3时,f(r)取得最小值,即用料最省. 变式题 (1)[2023·广东汕尾期末] 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,一个瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm,则每瓶饮料的利润最大时,瓶子的半径为 (　 ) A.2 cm B. cm C.5 cm D.6 cm (2)随着大数据时代的到来,越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现,当收集的数据量为x(x≥2)万条时,推荐系统的准确率约为p=,平台软件收入为40 000p元.已知每收集1万条数据,公司需要花费成本100元,则当收集的数据量为　　　　万条时,该软件能获得最高收益.  (1)D　(2)19　[解析] (1)设每瓶饮料的利润为f(r)分,则f(r)=0.2×-0.8πr2=(0<r≤6),所以f'(r)==.令f'(r)=0,得r=2,当0<r<2时,f'(r)<0,f(r)单调递减,当2<r≤6时,f'(r)>0,f(r)单调递增,所以r=2是f(r)的极小值点,当r→0时,f(r)→0,f(6)=,于是当r=6时,f(r)取得最大值.故选D. (2)设收益为y元,则y=-100x(x≥2),所以y'=.令y'>0,得2≤x<19;令y'<0,得x>19.故函数y=-100x(x≥2)在[2,19)上单调递增,在(19,+∞)上单调递减.故当收集的数据量为19万条时,该软件能获得最高收益. 六、课后作业 A组　基础练 1.（多选）（2024·黑龙江哈尔滨模拟）如图所示是y＝f的导数y＝f'的图象，下列结论中正确的有（  ） A.f的单调递增区间是∪ B.x＝－1是f的极小值点 C.f在区间上单调递减，在区间上单调递增 D.x＝2是f的极小值点 答案：BC 解析：由导函数的图象可知，当－3＜x＜－1或2＜x＜4时，f'＜0；当－1＜x＜2或x＞4时，f'＞0， 所以f的单调递增区间为和，单调递减区间为和，故A错误，C正确， 所以x＝－1或x＝4是f的极小值点，故B正确， 所以x＝2是f取得极大值点，故D错误. 2.（2024·辽宁沈阳模拟）设函数f（x）＝xex＋1，则下列结论正确的是（  ） A.x＝1为f（x）的极大值点 B.x＝1为f（x）的极小值点 C.x＝－1为f（x）的极大值点 D.x＝－1为f（x）的极小值点 答案：D 解析：由f（x）＝xex＋1，可得f'（x）＝（x＋1）ex，令f'（x）＞0可得x＞－1，即函数f（x）在（－1，＋∞）上是增函数；令f'（x）＜0可得x＜－1，即函数f（x）在（－∞，－1）上是减函数，所以x＝－1为f（x）的极小值点. 3.函数f（x）＝x－sin x在上的极小值为（  ） A.－ B.－ C.－ D.－ 答案：D 解析：由f（x）＝x－sin x，得f'（x）＝－cos x， 当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以是函数f（x）的极小值点，且极小值为f ＝－. 4.（2024·四川绵阳模拟）函数f＝cos x＋sin x＋1在区间 的最大值为（  ） A.－ B.2 C.－ D.＋2 答案：D 解析：f'＝cos x ，当x∈ 时， f'＞0 ，f 单调递增， 当x∈ 时f'＜0，f 单调递减，当x∈ 时，f'＞0，f 单调递增. f（0）＝2，f＝2＋，f＝－，f＝2 ，∴f＝f＝2＋. 5.已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（  ） A.[0，1] B.（－∞，0]∪[1，＋∞） C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞） 答案：C 解析：由f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1， 得f'（x）＝x2＋2（a－1）x＋1. 根据题意得[2（a－1）]2－4≤0， 解得0≤a≤2. 6.（2024·贵州遵义模拟）若函数f（x）＝x3－mx2＋2x（m∈R）在x＝1处有极值，则f（x）在区间[0，2]上的最大值为（  ） A. B.2 C.1 D.3 答案：B 解析：由已知得f'（x）＝3x2－2mx＋2，所以f'（1）＝3－2m＋2＝0，所以m＝，经检验满足题意，所以f（x）＝x3－x2＋2x，f'（x）＝3x2－5x＋2.由f'（x）＜0得＜x＜1；由f'（x）＞0得x＜或x＞1.所以函数f（x）在，（1，2）上单调递增，在上单调递减，则f（x）极大值＝f＝，f（2）＝2，所以f（x）在区间[0，2]上的最大值为2. 7.（2024·云南玉溪模拟）若x＝2是函数f（x）＝的极值点，则f（2）＝（  ） A.－4 B.－2 C.e－2 D.e－4 答案：D 解析：由函数f（x）＝，可得f'（x）＝（2x＋2m）， 因为x＝2是函数f的极值点，可得 f'＝e4＋4m＝0，解得m＝－2， 经检验，当m＝－2时，f'（x）＝（2x－4）， 当x＜2时，f'（x）＜0，f单调递减； 当x＞2时，f'（x）＞0，f单调递增， 所以x＝2是函数f的极小值点，符合题意， 所以f（x）＝，可得f（2）＝e－4. 8.（多选）常数a≠0，下列有关方程x3＋x2－x－a＝0的根的说法正确的是（  ） A.可以有三个负根 B.可以有两个负根和一个正根 C.可以有两个正根和一个负根 D.可以有三个正根 答案：BC 解析：方程x3＋x2－x－a＝0可化为x3＋x2－x＝a.令函数f（x）＝x3＋x2－x，则f'（x）＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1）.当x＜－1或x＞时，f'（x）＞0；当－1＜x＜时，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，－1），上单调递增，在上单调递减，且f（－1）＞0，f＜0.作出f（x）的图象如图，从而方程x3＋x2－x－a＝0可以有两个正根和一个负根，也可以有两个负根和一个正根，但不会有三个负根，也不会有三个正根. 9.（2024·河北保定模拟）函数y＝2xex的极值为    . 答案：－ 解析：y'＝2ex， 令y'＝2ex＞0，得x＞－1，令y'＝2ex＜0，得x＜－1， 所以函数y＝2xex在上单调递减，在上单调递增， 所以当x＝－1时，f取得极小值，其极小值为－，无极大值. 10.（2024·上海模拟）函数f＝ex－x＋1在区间上的最大值是    . 答案：e 解析：因为f＝ex－x＋1，所以f'＝ex－1， 令f'＜0，得－1≤x＜0；令f'＞0，得0＜x≤1， 故函数f在上单调递减，在上单调递增， 所以f＝max＝max＝e. 11.（2024·江苏无锡模拟）已知函数f（x）＝tan x＋ln（1－x），x∈，求f（x）的极值. 解：因为函数f（x）＝tan x＋ln（1－x），x∈，所以f'（x）＝＋＝＋＝. 设h（x）＝x－1＋cos2x，h'（x）＝1－2cos xsin x＝1－sin 2x≥0， 所以h（x）在上单调递增. 又h（0）＝0，所以当x∈时，h（x）＜0；当x∈（0，1）时，h（x）＞0. 又因为（x－1）cos2x＜0对x∈恒成立， 所以当x∈时，f'（x）＞0；当x∈（0，1）时，f'（x）＜0. 即f（x）在区间上单调递增，在区间（0，1）上单调递减， 故f（x）极大值＝f（0）＝0，f（x）没有极小值. 12.（2024·河南洛阳模拟）已知函数f＝x2＋＋. （1）求f的图象在点处的切线方程； （2）求f在上的值域. 解：（1）因为f＝x2＋＋，所以f'＝x－，所以f＝3，f'＝， 故所求切线方程为y－3＝，即7x－4y－2＝0. （2）由（1）知 f'＝＝， x∈. 令f'＞0，得1＜x≤2；令f'＜0，得≤x＜1， 所以f在上单调递减，在上单调递增， 所以f＝f＝2. 又f＝，f＝3， 所以2≤f≤3，即f在上的值域为. B组　能力提升练 13.（2024·陕西商洛模拟）若函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x无极值，则a的取值范围为（  ） A.[－3，6] B.（－3，6） C.（－∞，－3]∪[6，＋∞） D.（－∞，－3）∪（6，＋∞） 答案：A 解析：因为f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x，所以f'（x）＝3x2＋2ax＋a＋6.因为f（x）无极值，所以（2a）2－4×3×（a＋6）≤0，解得－3≤a≤6，所以a的取值范围为[－3，6]. 14.已知函数f（x）＝a（ln x－1）－x（a∈R）在区间（e，＋∞）内有最值，则实数a的取值范围是（  ） A.（e，＋∞） B. C.（－∞，e] D.（－∞，－e） 答案：A 解析：f'（x）＝－1＝，其中x＞e. 当a≤e时，f'（x）＜0，故f（x）在（e，＋∞）上单调递减， 此时f（x）在（e，＋∞）内无最值. 当a＞e时，若x∈，则f'（x）＞0，若x∈，则f'（x）＜0， 故f（x）在上为增函数，在上为减函数， 故f（x）在x＝a处取最大值. 故实数a的取值范围是（e，＋∞）. 15.（2024·陕西渭南模拟）已知函数f＝－x2＋ax＋1在上的最大值也是其在上的极大值，则a的取值范围是（  ） A. B. C. D. 答案：D 解析：f'＝a－2x，令f'＝0，得x＝， 当x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，因此是f（x）的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点， 由题意得∈，所以a∈. 16.（多选）已知函数f（x）＝xln x＋x2，x0是函数f（x）的极值点，以下几个结论中正确的是（  ） A.0＜x0＜ B.x0＞ C.f（x0）＋2x0＜0 D.f（x0）＋2x0＞0 答案：AD 解析：f'（x）＝ln x＋1＋2x， ∵x0是f（x）的极值点， ∴f'（x0）＝0，即ln x0＋1＋2x0＝0， ∴f'＝＞0.易知f'（x）在（0，＋∞）上单调递增， 当x→0时，f'（x）→－∞， ∴0＜x0＜，即A正确、B不正确； f（x0）＋2x0＝x0ln x0＋＋2x0＝x0（ln x0＋x0＋2）＝x0（1－x0）＞0，即D正确、C不正确. 17.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）＝x3－x＋1，则（  ） A.f（x）有两个极值点 B.f（x）有三个零点 C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 答案：AC 解析：∵f（x）＝x3－x＋1，∴f'（x）＝3x2－1，令f'（x）＝0，得x＝±，当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， ∴f（x）有两个极值点，故选项A正确； ∵f＝－＋1＝＞0， ∴f（x）的极小值大于0， ∴f（x）仅有一个零点，故选项B错误； 由于函数f（x）的图象是由奇函数y＝x3－x的图象向上平移1个单位长度得到的，故f（x）的图象关于点（0，1）对称，即点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，故选项C正确； 曲线y＝f（x）的切线斜率为2，即f'（x）＝2，得x＝±1，故曲线y＝f（x）的斜率为2的切线方程为y＝2x－1或y＝2x＋3，故选项D错误. 18.（2024·甘肃兰州模拟）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex的极值点，则f'（－2）＝   ，f（x）的极小值为   . 答案：0　－e 解析：由函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex可得f'（x）＝（2x＋a）ex＋（x2＋ax－1）ex.因为x＝－2是函数f（x）的极值点，所以f'（－2）＝（－4＋a）e－2＋（4－2a－1）·e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1，所以f'（x）＝（x2＋x－2）ex.令f'（x）＝0可得x＝－2或x＝1.当x＜－2或x＞1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）＝（12－1－1）×e1＝－e. 19.（2024·辽宁葫芦岛模拟）已知函数f（x）＝2sin x·（1＋cos x），则f（x）的最大值是    . 答案： 解析：因为f（x）＝2sin x（1＋cos x）， 所以f'（x）＝2cos x（1＋cos x）－2sin2x＝2cos x＋2cos2x－2sin2x ＝4cos2x＋2cos x－2＝2（2cos2x＋cos x－1）＝2（2cos x－1）（cos x＋1）. 当f'（x）＞0时，x∈， k∈Z， 所以f（x）在（k∈Z）上单调递增； 当f'（x）＜0时，x∈，k∈Z， 所以f（x）在单调递减（k∈Z）； 所以f（x）max＝f＝. 20.（2024·山东聊城模拟）已知函数f（x）＝ln x－. （1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性； （2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值. 解：（1）由题意得f（x）的定义域是（0，＋∞），且f'（x）＝.因为a＞0，所以f'（x）＞0， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递增. （2）由（1）可得f'（x）＝，当x∈[1，e]时，若a≥－1，则x＋a≥0， 即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立， 此时f（x）在[1，e]上单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝－a＝， 所以a＝－（舍去）. 若a≤－e，则x＋a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立， 此时f（x）在[1，e]上单调递减， 所以f（x）min＝f（e）＝1－＝， 所以a＝－（舍去）. 若－e＜a＜－1，令f'（x）＝0，得x＝－a， 当1＜x＜－a时，f'（x）＜0， 所以f（x）在（1，－a）上单调递减； 当－a＜x＜e时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（－a，e）上单调递增. 所以f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝， 所以a＝－.综上，a＝－. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第三章　　一元函数的导数及其应用 第三节　导数与函数的极值、最值 一、考情探究 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第10题,6分 求已知函数的极值点 利用导数求函数的单调区间 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 极值与最值的综合应用 利用导数研究具体函数单调性 函数对称性的应用 利用导数研究函数的零点 判断零点所在的区间 2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 根据极值求参数 求在曲线上一点处的切线方程 利用导数研究含参函数单调性 2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 函数的性质、奇偶性的定义与判断 2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参) 基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹 方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长 2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 根据二次函数零点的分布求参数的范围 2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 利用导数求函数的单调区间 (不含参) 利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零点 2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参) 锥体体积的有关计算球的体积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点 求在曲线上一点处的切线方程 (斜率） 利用导数研究函数的零点 2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 利用导数研究方程的根 2021年新I卷，第15题,5分 由导数求函的最值 (不含参) 无 二、课标要求 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 三、 命题规律及备考策略 本节是导数应用的第二课时，以考查导数的运算以及函数的单调性、极值、最值之间的关系为主，其中含有参数的函数的极值、最值问题是高考的热点，预计确定函数的极值、最值或已知函数的极值、最值求参数值(或范围)仍是高考考查的重点内容． 四、知识梳理 1．函数的极值 条件 设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 [提醒]　(1)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值 (1)闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． [提醒]　函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系． [常用结论] 1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 3．若函数f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 五、课堂考点突破 考点一 利用导数解决函数的极值问题 题型1　由图象判断函数极值 例1 设函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象如图所示,则 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)的极大值为f(),极小值为f(-) B.f(x)的极大值为f(-),极小值为f() C.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3) D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3) . 题型2　已知函数求极值 例2 (1) [2024·九省联考] 已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2的图象在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. ①求a; ②求f(x)的单调区间和极值. (2)已知函数f(x)=aln x-2x+x2(x>0),讨论函数f(x)的极值点个数.     题型3　已知极值求参数 例3 (1)函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=　　　　.  (2)已知函数f(x)=2ax-有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.  考点二　利用导数解决函数的最值问题 例4 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (1)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值; (2)讨论f(x)在[1,e]上的最大值.     变式题 (1)[2023·北京西城区二模] 已知函数f(x)=x2+ln(x+1),则f(x)在区间上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  (2)已知函数f(x)=x3-x+1在区间(2a-5,a2)上存在最大值,则实数a的取值范围是　　　　.  考点三　利用导数解决实际问题 例5 (1)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元. 已知销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元;a是常数),若种植2万斤莲藕,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 (　 ) A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤 (2)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为　　　　.  变式题 (1)[2023·广东汕尾期末] 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,一个瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm,则每瓶饮料的利润最大时,瓶子的半径为 (　 ) A.2 cm B. cm C.5 cm D.6 cm (2)随着大数据时代的到来,越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现,当收集的数据量为x(x≥2)万条时,推荐系统的准确率约为p=,平台软件收入为40 000p元.已知每收集1万条数据,公司需要花费成本100元,则当收集的数据量为　　　　万条时,该软件能获得最高收益.  六、课后作业 A组　基础练 1.（多选）（2024·黑龙江哈尔滨模拟）如图所示是y＝f的导数y＝f'的图象，下列结论中正确的有（  ） A.f的单调递增区间是∪ B.x＝－1是f的极小值点 C.f在区间上单调递减，在区间上单调递增 D.x＝2是f的极小值点 2.（2024·辽宁沈阳模拟）设函数f（x）＝xex＋1，则下列结论正确的是（  ） A.x＝1为f（x）的极大值点 B.x＝1为f（x）的极小值点 C.x＝－1为f（x）的极大值点 D.x＝－1为f（x）的极小值点 3.函数f（x）＝x－sin x在上的极小值为（  ） A.－ B.－ C.－ D.－ 4.（2024·四川绵阳模拟）函数f＝cos x＋sin x＋1在区间 的最大值为（  ） A.－ B.2 C.－ D.＋2 5.已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（  ） A.[0，1] B.（－∞，0]∪[1，＋∞） C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞） 6.（2024·贵州遵义模拟）若函数f（x）＝x3－mx2＋2x（m∈R）在x＝1处有极值，则f（x）在区间[0，2]上的最大值为（  ） A. B.2 C.1 D.3 7.（2024·云南玉溪模拟）若x＝2是函数f（x）＝的极值点，则f（2）＝（  ） A.－4 B.－2 C.e－2 D.e－4 8.（多选）常数a≠0，下列有关方程x3＋x2－x－a＝0的根的说法正确的是（  ） A.可以有三个负根 B.可以有两个负根和一个正根 C.可以有两个正根和一个负根 D.可以有三个正根 9.（2024·河北保定模拟）函数y＝2xex的极值为    . 10.（2024·上海模拟）函数f＝ex－x＋1在区间上的最大值是    . 11.（2024·江苏无锡模拟）已知函数f（x）＝tan x＋ln（1－x），x∈，求f（x）的极值. 12.（2024·河南洛阳模拟）已知函数f＝x2＋＋. （1）求f的图象在点处的切线方程； （2）求f在上的值域. B组　能力提升练 13.（2024·陕西商洛模拟）若函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x无极值，则a的取值范围为（  ） A.[－3，6] B.（－3，6） C.（－∞，－3]∪[6，＋∞） D.（－∞，－3）∪（6，＋∞） 14.已知函数f（x）＝a（ln x－1）－x（a∈R）在区间（e，＋∞）内有最值，则实数a的取值范围是（  ） A.（e，＋∞） B. C.（－∞，e] D.（－∞，－e） 15.（2024·陕西渭南模拟）已知函数f＝－x2＋ax＋1在上的最大值也是其在上的极大值，则a的取值范围是（  ） A. B. C. D. 16.（多选）已知函数f（x）＝xln x＋x2，x0是函数f（x）的极值点，以下几个结论中正确的是（  ） A.0＜x0＜ B.x0＞ C.f（x0）＋2x0＜0 D.f（x0）＋2x0＞0 17.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）＝x3－x＋1，则（  ） A.f（x）有两个极值点 B.f（x）有三个零点 C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线 18.（2024·甘肃兰州模拟）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex的极值点，则f'（－2）＝   ，f（x）的极小值为   . 19.（2024·辽宁葫芦岛模拟）已知函数f（x）＝2sin x·（1＋cos x），则f（x）的最大值是    . 20.（2024·山东聊城模拟）已知函数f（x）＝ln x－. （1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性； （2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$