上海市青浦高级中学2025-2026学年高二第二学期期末学业质量调研数学试题

2025学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学学科 试卷 （时间120分钟，满分150分） Q2026.06 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．直线的斜率为________． 2．若一个圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 3．已知等差数列中，，，是数列的前项和，则________． 4．某同学统计了从2000年到2024年中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，39，27，38，40，则这组数据的第75百分位数为________． 5．在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 6．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________． 7．曲线在处的切线方程是________． 8．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 9．若将方程化简为的形式，则________． 10．已知点是椭圆：（）的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为________． 11．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则________． 12．如图，在直角三角形中，，，，点是线段上一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（ ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．既相互独立又相互互斥事件 D．既不相互互斥又不相互独立事件 14．已知定义在上连续且可导的函数，满足，，则在和附近符合条件的的图像大致是（ ） A． B． C． D． 15．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得．那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，给出下列三个命题： ①若为等差数列，则为内和数列； ②若为等比数列，则为内和数列； ③若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列； 其中真命题的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．设为曲线：上的任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某校组织全校学生进行了一次“‘两会’知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现学校准备利用分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“两会”知识宣讲团．从选定的7人中随机抽取2人对某班同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率． 18．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分） 已知等比数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； （3）点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”． （1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”； （2）若，是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”； （3）证明：和为“相伴函数”的充要条件是（）． 学科网（北京）股份有限公司 $