江苏南京市第一中学2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试卷

**基本信息** 立足高二数学核心内容，以银发经济智能护理设备检测、药物试验有效性分析等现实情境为载体，融合概率统计、函数导数、立体几何等模块，考查数学建模、逻辑推理与空间想象能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|正态分布、充要条件、函数性质等|基础概念辨析，如第1题正态分布参数计算| |多选|3/18|事件概率、函数极值与零点|综合判断，如第11题函数零点与单调性关联| |填空|3/15|二项式系数、曲线公切线|计算能力，如第14题导数几何意义应用| |解答题|5/77|统计案例（列联表）、导数证明与单调性、立体几何翻折|分层设计，如15题银发经济背景下分布列与期望计算，18题导数证明与参数范围讨论，19题翻折问题中二面角及线面角求解|

南京一中2025-2026学年度第二学期期末检测试卷 高 二 数 学 2026.6 命题人:韩淑敏、王琳 校对人:仇羽萌 审核人:王琳 一、单选题 1．已知随机变量X服从正态分布，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 2．“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或；所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 所以. 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得， 因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 5．已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得，所以. 6．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则， 则在上是奇函数， 故有，即，． 7．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（     ） A．144 B．114 C．94 D．78 【答案】B 【详解】将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法， 所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法. 8．若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 二、多选题 9．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A：，A选项正确； 选项B：，故B正确. 选项C：因为， 所以，C选项正确； 选项D：因为， 所以，D选项错误. 10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，故A对. ，故B错. ，故C对. ， ，故D对. 11．已知函数则下列说法正确的有（   ） A．当时，有两个极值点 B．若有两个零点，则 C．若有两个零点，则在上单调递减 D．若恒成立，则 【答案】BCD 【详解】；当时，，令，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以只有唯一极值点，故A错误 ，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，当时，， 若有两个零点，则，所以，所以B正确， 由B选项知在上单调递减，在上单调递增且， 所以在上递减，C正确 恒成立，即恒成立， ，得，下面证明当时，； 当时，，设， ，在上递减，在上递增， ，即，不等式成立，即，D正确. 三、填空题 12．已知，则_________. 【答案】. 13．的展开式中的系数为________.（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式中含有的项为， 所以的系数为. 14．已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________． 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，因为与曲线相切， 所以，消去，得，解得，所以， 设与曲线相切于点，由，得，即，解得， 因为是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 四、解答题 15．随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为. (1)求的分布列和数学期望； (2)若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差. 【答案】(1)的分布列为： 数学期望； (2)，. 【详解】（1）的所有可能取值为，，-------------------------------1 ， ，-------------------------------5 所以的分布列为： 数学期望. -------------------------------7 （2）设一等品有台，则二等品有台，依题意，， 由（1）得，， -------------------------------10 所以的数学期望， 方差. -------------------------------13 16．为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病Y 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 (1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由； (2)能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)，，有效，理由见解析 (2)有的把握认为药物对预防疾病有效． 【详解】（1）在（未服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得， -------------------------------3 在（服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得 ， -------------------------------6 未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异． 因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效． -------------------------------8 （2）零假设：药物对预防疾病无效， 由列联表得到， -------------------------------13 所以有的把握认为药物对预防疾病有效． -------------------------------15 17. 已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题设，，， ∴，， -------------------------------2 -------------------------------5 （2） 因为，则，所以 -------------------------------9 （3）由，则， 由，则， ∴，， -------------------------------13 又因为，∴， 而，故. -------------------------------15 18．设函数，为函数的导函数. (1)求证：； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）若时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii）. 【详解】（1）函数，则， 当且仅当时等号成立，所以. -------------------------------3 （2）（i）函数，则， 由（1）可知，， ①当时，，在上单调递增；-------------------------------5 ②当时，令，解得，， 由于，则有，即， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，--------------------------9 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. ---------------11 （ii）由（i）可知： ①当时，在上单调递增；恒成立；---------------------------14 ②当时，在上单调递减，，与题设矛盾， 综上，实数的取值范围是. -------------------------------17 19．如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)①由题意得，， 在中，因为，所以，-------------------------------2 同理，， 在中，因为，所以，-------------------------------4 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. -------------------------------6 ②.(2) 【详解】（1）①略； ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 平面的法向量为，-------------------------------9 则， 所以二面角的大小为. -------------------------------11 （2）设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，所以，-------------------------------13 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是；-------------------------------17 试卷第12页，共12页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025-2026学年度第二学期期末检测试卷 高 二 数 学 2026.6 命题人:韩淑敏、王琳 校对人:仇羽萌 审核人:王琳 1、 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。） 1．已知随机变量服从正态分布，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 6．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 7．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（     ） A．144 B．114 C．94 D．78 8．若，则＝（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。） 9．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数则下列说法正确的有（   ） A．当时，有两个极值点 B．若有两个零点，则 C．若有两个零点，则在上单调递减 D．若恒成立，则 3、 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知，则_________. 13．的展开式中的系数为________.（用数字作答） 14．已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。） 15.（13分）随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为. (1)求的分布列和数学期望； (2)若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差. 16.（15分）为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病Y 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 (1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由； (2)能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17.（15分）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 18.（17分）设函数，为函数的导函数. (1)求证：； (2)设函数. （i）讨论的单调性； （ii）若时，，求实数的取值范围. 19.（17分）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 高二数学试卷（120分钟卷） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $南京一中2025-2026学年度第二学期期末检测试卷 高二数学 2026.6 命题人：韩淑敏、王琳校对人：仇羽萌 审核人：王琳 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。每题只有一个选项符合题意。) 1.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2)）,若P(X≥3)=0.3，P(a≤X≤3)=0.4，则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.“x>2”是1<}”的()条件 A.充分非必要B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 3.已知a=3.12,b=0.231,c=10g310.2,则() A.a>b>c B.b>a>c C.czbza D.b>c>a 4.已知x>0,y>0,且3x+y+y=9,则3x+y的最小值为() A.6 B.8 C.10 D.12 5.已知f()是定义在R上的奇函数，f(x+1)是偶函数，则f(2026)=() A.0 B.-2 C.2 D.4 f(x=4,+cosx(-1≤x≤，设函数∫()的最大值是M,最小值是N,则( A.M+N=8 B.M-N=8 C.M+N=6 D.M-N=6 7.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能 模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型.若小李和小赵不能 调研同一种模型，则不同的安排方案总数为() A.144 B.114 C.94 D.78 8.若a-cosa-2SmB=2.Sna+2csBL,则mB+T =() 6 A.3 B.6 3 3 c.-3 D.-6 3 3 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。每题有多项符合题意，全对得6分，部分选 对得部分分，有错选得0分。) 9.下列式子正确的是() A.sin15+cos1 B. sin40° 2 1+cos40=tan20° C.2W3tanl5°+tan215°=1 D.tanl2°+tan33°+tanl2°tan33°+1=0 高二数学试卷(120分钟卷)第1页共4页 0设A8是一个E机试验中的两个事什，且)-号®)号4)-子对《) A.P(B)= B.p=青 c. D.P) 11.已知函数f(x)=m2-lnx,(a>0)则下列说法正确的有() A当a=时，y=)有两个极值点 B.若f)有两个零点，则0<a<1 2e C.若fw)有两个零点，则y=f(x)在(0，VE)上单调递减 D.若f()2(2-a)x恒成立，则a≥1 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 2 5元 12.己知A= costan sin 3,cos- 则A∩B= 4】 B=243,2V3 2 13.(x-3y2)(x+y2)7的展开式中x4y3的系数为.（用数字作答） 14.已知曲线f(x)=e+H和g(x)=lnr+a存在一条过坐标原点的公切线，则实数a= 四、解答题（本题共5小题，共77分。） 15.(13分)随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期某健康科技公司为 响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备为确保产品质量， 公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立已知每台设备的检测结果为一等品的 概率为子为二等品的概率为4现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的 设备数量为X (1)求X的分布列和数学期望E(X): (2)若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的3台设备共获利Y万 元，求Y的数学期望E()和方差D(). 高二数学试卷(120分钟卷)第2页共4页 16.(15分)为考察某种药物X对预防疾病Y的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如 下列联表： 单位：只 疾病Y 药物X 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 (1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物X”为事件A,记“该动物患疾病Y”为事件B.根据 上表数据，用频率估计概率，分别估计P(BA),P(BA),并由此直观判断药物X对预防疾病Y是否有效， 简要说明理由； (2)能否有99%的把握认为药物X对预防疾病Y有效？ n(ad-be) 附：X= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(X≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (1)求cos(a+)的值： (2)求tanB的值： (3)求a-B的值. 高二数学试卷（120分钟卷)第3页共4页 18.(17分)设函数f(x)=e-e,f'(x)为函数f(x)的导函数 (1)求证：f'(x)≥2 (2)设函数g(x)=f(x)-r(a∈R) (1)讨论g(x)的单调性； （i1)若x≥0时，g(x)≥0，求实数a的取值范围. 19.(17分)如图，长方形ABCD中，AB=2√2，BC=√2，若E为线段CD的中点，将4ADE沿AE翻折 至△PAE. (1)若PB=√6， (1)证明：平面PAE⊥平面ABCE; (ii)求二面角P-BE-C的大小： (2)求PC与平面PAB所成角的正弦值的范围. 高二数学试卷(120分钟卷)第4页共4页