2.1.1 《锐角三角函数》教学设计2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦锐角三角函数的正切定义及坡度应用，通过梯子倾斜程度的生活情境导入，引导学生观察倾斜角与直角边比值的关系，结合相似三角形证明“角度确定比值不变”，构建从直观到抽象的学习支架。 此设计以生活情境激发探究，通过梯子问题培养几何直观（数学眼光），相似推理发展逻辑思维（数学思维），坡度应用强化模型意识（数学语言）。分层练习兼顾基础与提升，助学生深化概念理解，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

烟台开发区第七初级中学 数学 陈影 第2章 直角三角形的边角关系 课题 《2.1锐角三角函数》教学设计 教材 鲁教版 年级 九年级上 课型 新授课 教学目标 1. 1.理解正切定义，能在直角三角形中准确计算锐角的正切值；掌握坡度、坡角的含义，会用正切解决斜坡、扶梯实际问题。 2.过梯子倾斜、相似三角形探究，感受角与边长比值的函数对应关系，提升数形结合解题能力。 3.借助生活实例感受三角函数的实用价值，养成严谨的几何推理习惯。 教学重点 正切的概念与基础计算；坡度与正切的转化应用 教学难点 1.理解 “角度确定，对边与邻边比值不变” 的函数本质； 2.复杂图形、坡度应用题中区分铅直高度、水平宽度、坡面长度。 教法学法 启发式问答，自主探究，合作探究，总结归纳 教学过程设计 课堂内容 设计意图 一、章前引入 1.自主阅读章前引入部分，预测本章要研究的内容，思考学习本章内容可能解决哪些问题？ 2.复习直角三角形中边、角关系有哪些？ （1）角：______________________； （2）边：______________________； （3）边角：____________________,_______________________。 让学生了解本章要通过研究直角三角形中的边角关系，来解决求高问题，明确学习目标与方向。 二、感知三角函数 1. 哪个梯子更陡？ 如图为两个梯子AB、EF，顶端都靠在同意墙壁上，下段都在地面上。 思考：三个图中，两个梯子更陡一些？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 图（1）AB____EF; 图（2）AB____EF; 图（3）AB____EF; 图（4）AB____EF; 答案：＞；＞；=；＜。 判断方法1：看梯子与地面的夹角（即倾斜角）的大小，该角越大，梯子越陡； 判断方法2：看直角三角形中，两个直角边的比。 （1） 若水平的边相等，竖直的边越长，梯子越陡； （2） 若竖直的边相等，水平的边越短，梯子越陡； 由此可以发现，梯子倾斜程度与直角三角形的竖直边成正比，与水平的边成反比关系； （3） 若竖直边与水平边的比值相等，则梯子倾斜程度相等； （4） 竖直边与水平边的比值越大，梯子倾斜程度越大。 思维进阶思考：通过以上两个方法，你对直角三角形的边角关系有什么猜想？ 答案：梯子的倾斜角大小和直角三角形中竖直边与水平边的比值大小都可以代表梯子的倾斜程度，一个值的变化汇导致另外一个值的变化，则二者之间可能存在某种等量关系。 2. 证明三角函数存在性 如图，B1,B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，B2C2⊥AC，垂足为点C2， 小明想通过测量B1C1，及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度； 而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度. 你同意他们的看法吗? （1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? （2）和有什么关系? （3） 如果改变B2在梯子上的位置（B2C2⊥AC，垂足为点C2）呢? 由此你能得出什么结论? 答案：（1）两三角形相似；（2）相等；（3）改变B2在梯子上的位置，比值不变。 结论：在Rt△ABC中，如果锐角为定值，则该角的对边与邻边比值也固定不变；如果该角变化，则这两边的比值也变化，则二者之间存在函数关系。 从生活中梯子倾斜程度判断中，直观感知直角三角形中的角大小与边之比的关系，猜想到二者之间存在变化关系，为三角函数的发现与验证做铺垫。 让猜想得到证明，发现结论，铺垫新概念的学习 三、三角函数——正切 1. 正切的定义 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作， 即 = ; （1）熟练读写： ①∠A的对边是_________；邻边是_________； ∠B的对边是_________；邻边是_________； 所以∠B的正切：_________= ②正切的几种表示方法：，tan∠1，tan. （2） 思考：观察与的计算公式，它们有怎样的关系？关系成立的前提是什么？如何用字母与符号表示该关系？ 结论：若∠A+∠B=90°，则 （3）锐角∠A的正切：的取值范围是______________________。 2. 变化关系（函数变化） 思考：梯子的倾斜程度与锐角∠A有怎样的关系？与同学交流。 结论：当锐角∠A变化时，相应的也随之变化。∠A越大，越大，梯子越陡。 练习：比较大小 （1） tan20°____tan25°； （2）tan30°____tan45°; （3）tan60°____tan45° 设计意图：引导生成三角函数正切的概念，并熟练读写；发现规律；体会函数变化关系。扩充函数领域的知识。 3. 例题学习 例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，求与B； 例3：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，，求AC与AB. 定义学习后，不能流于表面，要直接强化记忆和熟练读写规范； 同时总结归纳出相关的结论。 概念学习后，直接思考并验证了正切是一种关于角和两边比值的函数关系。深化函数认识。 通过例题学习，锻炼学生对正切概念的正向计算和逆向运算能力。 四、正切应用——坡度 1. 坡度概念： 正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度,坡度也叫坡比， 如图山坡AB，山坡与水平面的夹角叫___，是图的___； 山坡AB的坡度（坡比）记为： ,； （图中的坡面的铅直高度指的是线段AC长，水平宽度指的是线段BC的长）比如：沿着山坡所在水平方向每前进100m，就升高60m，那么该山坡的坡度就是. 2. 例题学习 若某人沿着坡度i=3:4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来位置升高了多少米？ 思考提示：10米是图中哪条线段的长度？ 对坡度的学习要补充相关的概念，并及时给出一个例题，用以区分易错点“坡面距离”、“水平距离”和“铅直高度”的认知。 五、巩固练习 【基础类】 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，那么tanB的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，tanC的值是（　　） A．2 B． C． D． 3．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正切值（　　） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．扩大4倍 D．没有变化 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，tanA，那么AB的长为（　　） A． B．4 C．5 D． 5．如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　） A． B． C． D． 5题图 6题图 6．如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点的坐标为B（﹣1，0），则sinB的值是 　 　 ． 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，，求AC，AB． 8．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是，则河堤AB的长是（　　）米． A． B．20 C． D． 【提升类】 9．如图，在坡度i＝1：3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为9m，则这两棵树之间的坡面距离为（　　） A． B．9m C． D．10m 9题图 10题图 10．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若tan∠AOC，OA＝5，则点B的坐标为（　　） A．（4，3） B．（3，4） C．（9，3） D．（8，4） 11．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则tan∠ADF的值为（　　） A． B． C． D． 11题图 10题图 12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、D都在格点上，则tan∠DBC的值是　 　 ． 13．如图，若点P（8，a）在反比例函数xy＝48的图象上，作PH⊥x轴于点H，则sin∠POH的值是　 　 ． 11题图 10题图 14．（选做）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，tan∠BAO＝2，则k的值为 　 　 ． 巩固练习答案 1． A； 2．D； 3．D； 4．B； 5．B； 6． ； 7．Ac=6,AB=2； 8．B； 9．C； 10．C； 11．D； 12．2 ； 13． ； 14．﹣8 ； 【课下作业】 本节同步练习内容 巩固练习分层设计，薄弱生可以只会基础类。基础类练习涵盖了（1）利用正切定义求角的正切值；（2）利用已知角的正切值求边长；（3）坡度问题。 提升类问题更加综合，除了坡度中易错概念的理解以外，还加入了平面直角坐标系，结合特殊四边形、翻折、反比例函数等知识，锻炼学生综合问题解决能力。 板书设计 一、引入：梯子倾斜程度 判断方法：①倾斜角大小 ②竖直边 / 水平边比值 相似三角形→同锐角，对边 / 邻边比值不变 二、正切 1. = ; 2.性质： 1. （1）∠A越大，tanA越大； 2. （2）∠A+∠B=90∘⟹tanA⋅tanB=1； 3. （3）三边同扩倍数，tanA不变。 4. 三、坡度（坡比） 坡角α， 区分：铅直高、水平宽、坡面长（斜边） 课堂反思 1、 亮点 以梯子生活情境导入，由直观观察到相似证明，循序渐进引出正切概念；分层例题与习题由易到难，数形结合帮助学生快速掌握基础计算。 二、不足 1. 学生只会套公式，对正切是 “角的函数” 理解浅显； 2. 复杂图形易混淆对边、邻边，坡度题常混淆斜边与水平宽度； 3. 学困生课堂发言、板演机会较少。 三、改进 1. 增加动态对比演示，延长相似三角形自主推导时间，深化函数认知； 2. 增设识图专项练习，规范坡度应用题解题步骤； 3. 多让学困生上台板演基础题，分层布置课后作业，针对性纠错。 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 20:27:06；用户：胡洪霄；邮箱：17852979968；学号：49255195 学科网（北京）股份有限公司 $