4.3.1 对数的概念 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“对数的概念”同步练，分层设计梯度清晰，从概念辨析到综合应用，覆盖完整知识巩固路径，适配新授课“基础+提升”教学需求，培养抽象能力与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对数概念、意义条件、指数对数互化|单选为主，直接考查核心概念，如判断可求对数的数（题1）| |中档层|对数性质应用、指数对数综合运算|结合方程与代数式，如已知方程求对数值（题6）| |提升层|实际应用、逻辑证明|解答与证明题，如3¹⁰⁰位数计算（题15）及对数等式证明（题16）|

4.3 练习1　对数的概念 1. 下列选项中，可以求对数的是(　C　) A. 0 B. －5 C. π D. －x2 【解析】根据对数的定义，得0和负数没有对数，∴A，B不可以求对数， 又－x2≤0，∴D没有对数，∵π＞0，∴C可以求对数. 2. 将＝9写成对数式，正确的是(　B　) A. log9＝－2 B. lo9＝－2 C. lo(－2)＝9 D. log9(－2)＝ 【解析】根据对数的定义，得lo9＝－2. 3. 使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围是(　B　) A. a＞，且a≠1 B. 0＜a＜ C. a＞0，且a≠1 D. a＜ 【解析】由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜. 4. lg 1－ln e2＋的值是(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】原式＝0－2＋2×＝－2＋2×3＝4. 5. 对于a＞0，且a≠1，下列说法中正确的是(　C　) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A. ①② B. ②③④ C. ② D. ②③ 【解析】①中若M，N小于或等于0，则logaM＝logaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数，错误；④中当M＝N＝0时错误. 6. 已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是 (　B　) A. 1 B. 0 C. x D. y 【解析】由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1， 则logx(yx)＝log2(12)＝0. 7. 若2x＝6，log4＝y，则x＋2y的值是(　A　) A. 3 B. C. log23 D. －3 【解析】∵log4＝y，∴4y＝22y＝，又2x＝6，∴2x＋2y＝2x·22y＝6×＝8＝23，即x＋2y＝3. 8. (多选)下列结论中，正确的有(　AB　) A. lg(lg 10)＝0 B. ln(ln e)＝0 C. 若10＝lg x，则x＝10 D. 若e＝ln x，则x＝e2 【解析】lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，A，B正确；若10＝lg x，则x＝1010≠10，C错误；若e＝ln x，则x＝ee≠e2，D错误. 9. (多选)下列说法中，正确的有(　AD　) A. ln(lg 10)＝0 B. 若10＝lg x，则x＝100 C. 若log25x＝，则x＝±5 D. ＝80 【解析】对于A，lg 10＝1，ln(lg 10)＝ln 1＝0，A正确；对于B，10＝lg x， 则x＝1010，B错误；对于C，log25x＝，则x＝2＝5，C错误；对于D，＝24×＝16×5＝80，D正确. 10. 若log3＝1，则x＝　6　；若log3(2x－1)＝0，则x＝　1　.  【解析】若log3＝1，则＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1. 11. ＋lg ＋(－1)lg 1＝　－3　.  【解析】原式＝＋lg 10－2＋(－1)0＝－2＋1＝－3. 12. 若loga3＝x，loga4＝y(a＞0，且a≠1)，则a2x＋y的值为　36　.  【解析】由loga3＝x，loga4＝y，得ax＝3，ay＝4，∴a2x＋y＝a2x·ay＝9×4＝36. 13. 将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式： (1)24＝16；(2)＝0.45；(3)log5125＝3；(4)lg a＝－1.5. 解：(1)log216＝4.(2)lo0.45＝b. (3)53＝125.(4)10－1.5＝a. 14. (1)已知a＝log23，2b＝5，求2a－2b的值； (2)已知x＝log23，求的值. 解：(1)∵a＝log23，∴2a＝3，又2b＝5，∴2a－2b＝2a÷(2b)2＝3÷52＝. (2)由x＝log23，得2x＝3，则2－x＝，∴. 15. (2024·江苏常州高一期中) 我们知道，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a＜1).当n＞0时，N是n＋1位数.已知lg 3≈0.477 1，则3100的位数是(　C　) A. 46 B. 47 C. 48 D. 49 【解析】∵lg 3≈0.477 1，∴lg 3100＝100lg 3≈100×0.477 1＝47.71＝47＋0.71，∴3100是48位数. 16. 已知logab＝logba(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1).证明：a＝b，或a＝. 证明：设logab＝logba＝k，则b＝ak，a＝bk，∴b＝(bk)k＝.∵b＞0，且b≠1，∴k2＝1，即k＝±1.当k＝1时，a＝b；当k＝－1时，a＝，故a＝b，或a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1　对数的概念 1. 下列选项中，可以求对数的是(　 　) A. 0 B. －5 C. π D. －x2 2. 将＝9写成对数式，正确的是(　 　) A. log9＝－2 B. lo9＝－2 C. lo(－2)＝9 D. log9(－2)＝ 3. 使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围是(　 　) A. a＞，且a≠1 B. 0＜a＜ C. a＞0，且a≠1 D. a＜ 4. lg 1－ln e2＋的值是(　 　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 对于a＞0，且a≠1，下列说法中正确的是(　 　) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A. ①② B. ②③④ C. ② D. ②③ 6. 已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是 (　 　) A. 1 B. 0 C. x D. y 7. 若2x＝6，log4＝y，则x＋2y的值是(　 　) A. 3 B. C. log23 D. －3 8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　) A. lg(lg 10)＝0 B. ln(ln e)＝0 C. 若10＝lg x，则x＝10 D. 若e＝ln x，则x＝e2 9. (多选)下列说法中，正确的有(　 　) A. ln(lg 10)＝0 B. 若10＝lg x，则x＝100 C. 若log25x＝，则x＝±5 D. ＝80 10. 若log3＝1，则x＝　 　；若log3(2x－1)＝0，则x＝　 　.  11. ＋lg ＋(－1)lg 1＝　 　.  12. 若loga3＝x，loga4＝y(a＞0，且a≠1)，则a2x＋y的值为　 　.  13. 将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式： (1)24＝16； (2)＝0.45； (3)log5125＝3； (4)lg a＝－1.5. 14. (1)已知a＝log23，2b＝5，求2a－2b的值； (2)已知x＝log23，求的值. 15. (2024·江苏常州高一期中) 我们知道，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a＜1).当n＞0时，N是n＋1位数.已知lg 3≈0.477 1，则3100的位数是(　 　) A. 46 B. 47 C. 48 D. 49 16. 已知logab＝logba(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1).证明：a＝b，或a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $