8.5.2 直线与平面平行（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.5.2 直线与平面平行 题型一 线面平行的判定定理与性质定理 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，，则由平面平行的性质定理：得； 但当，时，可能有，也可能有相交， 如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面， 另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交， 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 2．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，有可能，A错误； 对于B，，有可能异面，B错误； 对于C，，有可能，C错误； 对于D，由线面平行的判定定理可知D正确．故选：D 3．（23-24高一下·山西大同·月考）（多选）若直线平行于平面，则（    ） A．平面内有且只有一条直线与平行 B．平面内有无数条直线与平行 C．平面内存在无数条与不平行的直线 D．平面内任意一条直线都与平行 【答案】BC 【解析】过直线可作无数个平面与相交，由线面平行的性质定理可知，这些交线都与平行， 所以在平面内与直线平行的直线有无数条，故A不正确，B正确 若直线平行于平面，则直线与平面内的直线有两种位置关系：平行或异面， 所以平面内存在与不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确．故选：BC 4．（23-24高一下·陕西渭南·月考）若两个平面平行，则下列说法中不正确的是（    ） A．其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B．若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C．其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D．不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 【答案】C 【解析】对于A，根据两个平面平行可知，其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行，A正确； 对于B，根据两平面平行性质可知，若一个平面与这两个平面相交， 则这两条交线平行无公共点，B正确； 对于C，根据两平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行或异面，C错误； 对于D，不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行，D正确； 故选：C. 题型二 直线与平面平行的判断 1．（23-24高一下·山东菏泽·月考）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面， 则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，故选：A． 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A,如下图所示， 易得,则， 又平面,平面,则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接,易得, 则四边形为平行四边形，四点共面，又易知， 又平面,平面,则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面，且, 又平面,平面,则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形，所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足，故选：D. 3．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【解析】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故， 由平面平面，则平面.故选：B. 4．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【答案】C 【解析】如图，设为相应棱的中点， 则//，且平面，平面，所以//平面， 同理可得：与平面平行， 由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内， 所以与平面平行的直线有6条.故选：C. 题型三 中位线法证明线面平行 1．（23-24高一下·陕西·月考改编）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点．求证：平面PBC； 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，连接BD，由ABCD是平行四边形，则有BD交AC于点N． ∵M，N分别为PD，BD的中点，∴． 又平面PBC，平面PBC，故平面PBC． 2．（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，连接，， 设，连接. 在三棱台中，，为中点， 可得 所以四边形为平行四边形．所以为的中点． 又为的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 3．（23-24高一下·河北邯郸·期中改编）如图，在正方体中，E是的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】连接交于，连接， 则为的中点，又是的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面； 4．（23-24高一下·重庆·期中改编）在长方体中，，是的中点. 证明：平面； 【答案】证明见解析 【解析】 连接交相交于点，则点为的中点，连接， 所以，因为平面，平面， 所以平面； 题型四 平行四边形法证明线面平行 1．（23-24高一下·海南海口·期中改编）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】∵直三棱柱中，为的中点， 所以，且， 因为，分别，的中点， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， 故平面. 2．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）如图： 连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中，.所以四点共面. 因为分别为的中点，所以，. 所以四边形为平行四边形. 所以.因为平面平面， 所以平面. （2）如图： 连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点， 所以，又，所以，所以、、、四点共面. 3．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知正四棱台，点为棱的中点， (1)若，证明平面； (2)若，求正四棱台的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）点为棱的中点，连接，如图所示， 又点为棱的中点，由梯形中位线可得，， ，，则，， 所以，，四边形为平行四边形，， 平面，平面，所以平面 （2）为底面正方形的中心，为底面正方形的中心，则平面， ，则有， 直角梯形中，过作，垂足为，则， ，有，得正四棱台的高为， 正四棱台上表面面积，下表面面积， 所以正四棱台的体积. 4．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. (1)求证：M，N，C，D四点共面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴. 又在平行四边形中，， ∴，∴，，，四点共面. （2）取中点，连，， ∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴且， 又∵平行四边形中，∴且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 题型五 利用线面平行的性质定理证明线线平行 1．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】∵四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面， ∴平面. 而平面平面，平面， ∴，∴. 2．（22-23高一下·青海西宁·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】连接交于点，连接， 因为ABCD是平行四边形，所以为中点， 又M是PC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析 【解析】（1）取中点，连接. 因为分别为的中点，故，， 又平面，平面，故平面，同理平面. 又平面，，故平面平面， 又平面，故平面. （2）因为四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面平面l，平面，故. 4．（22-23高一下·广西河池·月考）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）∵，，∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面， ∵平面，平面平面，∴． （2）∵E为中点，∴点E到平面的距离d为点到平面距离的一半， 又点到平面距离等于点A到平面的距离， ∴点E到平面的距离，又， ∴． 题型六 利用线面平行的性质定理解决动点问题 1．（23-24高一下·江苏扬州·月考）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即.故选：D. 2．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）. 证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， · 四边形为平行四边形，， · 平面，平面，平面，即平面. 又，， ，即的值为.故选：A. 3．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 ． 【答案】 【解析】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 4．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC＝AB＝2AD，ADBC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD＝l. (1)作出l（写出作法，并保留作图痕迹）； (2)线段PB上是否存在一点E，使l平面ADE？请说明理由. 【答案】(1)作法：延长BA，CD，相交于点Q，连接PQ，则直线PQ就是所求的直线l，作图痕迹见解析 (2)存在，理由见解析 【解析】（1）作法：延长相交于点Q，连接，则直线就是所求的直线，图形如下： （2）当点是线段的中点时，可使平面，理由如下： 由（1）知为中点，又是的中点， ∴， 又平面，⊄平面， ∴平面， 故当点E是线段PB的中点时，可使平面． 1．（21-22高一下·江苏无锡·期中）下列命题中正确的个数为（    ） ①如果直线，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么；③如果直线和平面满足，那么. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①中，如果直线，那么平行于经过的任何平面或在此平面内，所以①错误； 对于②中，如果直线和平面满足，在与平行、相交或异面，所以②错误； 对于③中，过直线作平面，交平面于直线，根据线面平行的性质，可得， 因为，可得，又因为，所以，所以③正确.故选：B. 2．（23-24高一下·山东烟台·月考）如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于几何体是三棱台，则， 又平面，平面，所以，平面， 当平面，平面平面时， 由直线与平面平行的性质定理可知，选项C符合要求.故选：C. 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【解析】因为，，所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误；则与相交， 对于C，因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾，所以与不平行， 又平面，所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确.故选：D 4．（23-24高一下·江苏·月考）（多选）如图所示，在棱长为的正方体中，P，Q分别为线段，上的动点不含端点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，Q，使得 B．直线和直线异面 C．存在点P，Q，使得平面 D．周长的最小值为 【答案】BD 【解析】A选项，在取点，使， 又正方体中有，则四边形为平行四边形， 有且，又正方形中且， 故且，则四边形是平行四边形，有， 平面，，平面， 所以和互为异面直线，则和不可能平行， 故不存在点P，Q，使得，A选项错误； B选项，在上取，与A选项同理可得， 由图可知，点在平面上方，点在平面下方， 则直线与平面相交，交点在线段上， 则， 平面，平面，， 则直线和直线异面，B选项正确； C选项，若平面，由平面， 平面平面，则， 此时点与点重合，不合题意，C选项错误； D选项， 将三棱锥展开成平面图形如图， 连接分别交和于，此时周长最短，即为， ，， 则由余弦定理得， 即周长的最小值为，D选项正确.故选：BD. 5．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 C．平面与平面的交线记为，则直线平面 D．平面与平面的交线记为，则直线平面 【答案】ACD 【解析】对于A，连接，连接，由且，为中点， 得，则是中点，而是中点，于是， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，， 由是中点，得到平面的距离是到此平面距离的2倍， 而，因此，B错误； 对于C，平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，于是，而平面， 平面，因此直线平面，C正确； 对于D，延长交于点，连接，直线直线，由且， 得为中点，而是中点，则平面，平面， 因此直线平面，D正确. 故选：ACD 6．（23-24高一下·江苏南通·月考）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【解析】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面，所以， 7．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）证明：如图，延长交于点F，则面，且面， 连接，则面，且面，即是面和面的交线， 取中点，因为，且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点，又点为棱的中点， 所以，因为平面，在平面外， 所以平面，即平面； （2）因为，为的中点，所以B为的中点，连接，则， 取中点，连接，则即，所以， 所以四点共面，则四边形即为所求截面， 因为，， 所以， 又， 所以， 所以在四棱锥中， 求过点，及棱的中点的截面周长为. 8．（23-24高一下·海南海口·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)1 【解析】（1）取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2）设平面平面， 由（1）可得平面，平面，所以. （3）在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面，此时． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5.2 直线与平面平行 题型一 线面平行的判定定理与性质定理 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）设是三个不同平面，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山西大同·月考）（多选）若直线平行于平面，则（    ） A．平面内有且只有一条直线与平行 B．平面内有无数条直线与平行 C．平面内存在无数条与不平行的直线 D．平面内任意一条直线都与平行 4．（23-24高一下·陕西渭南·月考）若两个平面平行，则下列说法中不正确的是（    ） A．其中一个平面内的所有直线与另一个平面平行 B．若一个平面与这两个平面相交，则这两条交线无公共点 C．其中一个平面内的所有直线与另一个平面内的所有直线平行 D．不在这两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则与另一个平面也平行 题型二 直线与平面平行的判断 1．（23-24高一下·山东菏泽·月考）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 4．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 题型三 中位线法证明线面平行 1．（23-24高一下·陕西·月考改编）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点．求证：平面PBC； 2．（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，在三棱台中，，分别为的中点．求证：平面. 3．（23-24高一下·河北邯郸·期中改编）如图，在正方体中，E是的中点．求证：平面； 4．（23-24高一下·重庆·期中改编）在长方体中，，是的中点. 证明：平面； 题型四 平行四边形法证明线面平行 1．（23-24高一下·海南海口·期中改编）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．求证：平面； 2．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 3．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，已知正四棱台，点为棱的中点， (1)若，证明平面； (2)若，求正四棱台的体积． 4．（23-24高一下·浙江台州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. (1)求证：M，N，C，D四点共面； (2)求证：平面. 题型五 利用线面平行的性质定理证明线线平行 1．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：. 2．（22-23高一下·青海西宁·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：． 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 4．（22-23高一下·广西河池·月考）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 题型六 利用线面平行的性质定理解决动点问题 1．（23-24高一下·江苏扬州·月考）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（24-25高一下·河南·期中）如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 ． 4．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC＝AB＝2AD，ADBC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD＝l. (1)作出l（写出作法，并保留作图痕迹）； (2)线段PB上是否存在一点E，使l平面ADE？请说明理由. 1．（21-22高一下·江苏无锡·期中）下列命题中正确的个数为（    ） ①如果直线，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么；③如果直线和平面满足，那么. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·山东烟台·月考）如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 4．（23-24高一下·江苏·月考）（多选）如图所示，在棱长为的正方体中，P，Q分别为线段，上的动点不含端点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，Q，使得 B．直线和直线异面 C．存在点P，Q，使得平面 D．周长的最小值为 5．（24-25高一下·浙江·期中）（多选）已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 C．平面与平面的交线记为，则直线平面 D．平面与平面的交线记为，则直线平面 6．（23-24高一下·江苏南通·月考）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 7．（24-25高一下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 8．（23-24高一下·海南海口·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$