1.3集合的基本运算导学案2026-2027学年高一上学期必修一

1.3集合间的基本运算 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 【2】并集的性质： ①A∪B________A；②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A；⑥如果，则______，反之也成立. 【3】交集 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的______. （2）符号语言：_______________. （3）图形语言：如图所示. 【4】交集的性质： ①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；   ④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A；⑥如果，则______，反之也成立 【5】全集和补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作_______，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作，即_________．如图． 【6】补集的性质： ①∁U(∁UA)＝________； ②∁UU＝________；③∁U＝________； ④A∩(∁UA)＝____________；⑤A∪(∁UA)＝____________； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)________(∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)________(∁UB)． ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 并集的概念及其运算 1 根据并集结果求集合或参数 2,12,17 交集的概念及其运算 3 根据交集结果求集合或参数 4，11,13,17 补集的概念及其运算 5 根据补集结果求集合或参数 6 交并补混合运算及性质 7,10，15,16 根据交并补混合运算结果确定集合或参数 14,18,19 利用Venn图解决集合问题 9 集合新定义 8 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 5．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 6．设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 7．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 10．已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 三、填空题 12．已知，或，若，则实数的取值范围是______. 13．已知集合．若，则实数________． 14．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 四、解答题 15．已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 16．已知全集，，求： (1)； (2). .   17．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 19．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3集合间的基本运算 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 【答案】 所有 【分析】根据并集的概念得解 【详解】根据并集的概念：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：读作“A并B”），即． 故答案为：所有；. 【2】并集的性质： ①A∪B________A；②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝_______；⑤A∪B________B∪A；⑥如果，则______，反之也成立. 【答案】 = B 【3】交集 （1）文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的______. （2）符号语言：_______________. （3）图形语言：如图所示. 【答案】 交集 且 【4】交集的性质： ①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；   ④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A；⑥如果，则______，反之也成立 【答案】 = A 【5】全集和补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作_______，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作，即_________．如图． 【答案】 全集 ，且 【6】补集的性质： ①∁U(∁UA)＝________； ②∁UU＝________；③∁U＝________； ④A∩(∁UA)＝____________；⑤A∪(∁UA)＝____________； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)________(∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)________(∁UB)． 【答案】 ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 并集的概念及其运算 1 根据并集结果求集合或参数 2,12,17 交集的概念及其运算 3 根据交集结果求集合或参数 4，11,13,17 补集的概念及其运算 5 根据补集结果求集合或参数 6 交并补混合运算及性质 7,10，15,16 根据交并补混合运算结果确定集合或参数 14,18,19 利用Venn图解决集合问题 9 集合新定义 8 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据并集的定义，. 2．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 4．已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 5．已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由正整数集的定义结合补集的运算即可求解. 【详解】由题意得 则共5个元素. 6．设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 7．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集和补集运算，即可求解. 【详解】由题意，， 又集合，，所以， 所以. 8．定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 二、多选题 9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10．已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【分析】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 三、填空题 12．已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由得到，然后由子集的定义求解. 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知集合．若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 14．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 四、解答题 15．已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义即可得解； （2）由补集的定义即可得解； （3）由补集与并集的定义即可得解. 【详解】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 16．已知全集，，求： (1)； (2). 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）直接由交集及并集的定义并结合数轴可得； （2）由补集及交集的定义并结合数轴可得. 【详解】（1）因为， 由交集的定义得，如图：    ， 又由并集的定义得，如图：  ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： .   17．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 18．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 19．设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $