湖北武汉市第十二中学2025-2026学年高三上学期数学周测试卷11.22

**基本信息** 高三数学周测试卷聚焦函数、数列、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及空间观念，适配高考复习阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|命题否定、复数象限、函数图像、向量投影、等差等比数列|基础题占比60%，第8题正四棱锥与球体积范围题融合空间想象与不等式，体现能力提升| |填空题|3题15分|函数极值、正三棱台体积、解三角形|第14题结合正三角形与解三角形，考查数学建模能力| |解答题|5题77分|三角函数、数列求和、椭圆方程与切线、立体几何折叠、导数综合|第18题立体几何折叠问题含面面垂直证明与线面角计算，第19题导数题涉及极值点与零点证明，均呼应高考综合题命题趋势|

2026届高三数学周测答案（1122） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B A D D B B ABC ACD BCD 12【答案】 13 【答案】 14. 【答案】 4【答案】A【详解】向量在向量上的投影向量为 5【答案】D【详解】，，， 因为指数函数单调递减，所以,所以，所以. 6.【答案】D【详解】因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 7. 【答案】B【详解】，为函数最大值或最小值.，，解得.又函数的最小正周期满足，且， ，解得，当时，满足题意，. 8. 【答案】B【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示： 由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为，母线长，因此圆台的侧面积为，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径，其面积为，所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 10. 【答案】ACD【详解】对于A，由可得，即，所以，因此A正确，对于B，由可得，即， 显然不是定值，因此数列不是等差数列，即B错误；对于C，结合B分析由可知，即数列是以为首项，公比为2的等比数列，因此可得，所以，即C正确； 对于D， ，即D正确. 11. 【答案】BCD【详解】对A、B:令 则 ，设 ，则 故当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又时，时，时，，且 ，故 ，且 ，故 A错误、B正确；对C、D：由题意可得 ，所以 ，由于成等差数列，则 ，故 ，则 ，所以 ，故成等比数列，故C正确；则 ，化简有 ，则 ， 解得 或 ，又 ，则 ，故 ， 则 ，又 故舍去，故 ，又 ， 所以 ，故D正确. 12【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点，得，解得，此时， 因为函数在上都单调递增，所以函数在上单调递增，而， 当时，；当时，，则函数在处取得极小值，符合题意， 所以.所以，. 13【详解】对于正三角形，其面积公式（为边长）已知正三棱台中，，则上底面，下底面 设正三棱台上下底面中心分别为,连接， 则为正三棱台的高因为正三角形中心到顶点的距离是边长的倍 所以，则，且 已知侧棱与底面所成角为，在直角梯形中，过点作底面的垂线，垂足为，则在上，且，，侧棱与底面所成的角为，在中，，所以，即，解得， 根据棱台体积公式将代入可得 . 14. 【答案】【详解】设， 则，又为正三角形，所以， 则，又，所以，则，故，则，即，所以，即， 所以，，即，在中，，即， 解得，又，则为锐角，所以． 15【小问1详解】因为，由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】，又， ，所以，得，又∵，∴或， 由余弦定理得，所以. 16. 【小问1详解】依题意 ① 当时， ② 由①-②，得 ∴当且时 又 也符合上式，即 【小问2详解】 17.【小问1详解】依题意，，所以．在中，， 解得，所以，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】设，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立整理得，则，则， 则 ．又直线l为圆的切线， 则，即，则 ． 又，于； 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，则，， ．综上， 18. 【小问1详解】连接，因为，则为等边三角形，所以，在中， ， 由余弦定理得， 所以，则，故，由，可得，即，又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】由（1）知，当时，平面平面. 在平面内过作， 由平面平面平面， 则平面平面 ，则 . 如图，以点为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ， 则 ， 故，因， 则，因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，设直线与平面 所成角为， 所以， 化简得，解得或(舍去)， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】设点到平面的距离为 ，由，其中为定值， 则要使三棱锥 的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则，由图知当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由 平面 ，则平面平面 ， 由（1）知， ，为直角三角形， . 则，， ，在中， ，取中点，连接，则，，所以， 设三棱锥内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， ， 其中， 故， 即三棱锥的内切球的半径为. 19. 【小问1详解】由题：，令，所以在上单调递增；令，所以在上单调递减； 的极小值为，无极大值． 【小问2详解】当时, 令 当时, 在单调递增,成立； 当时，，所以在单调递减，在单调递增， ，不符合题目条件，综上：． 【小问3详解】， 令，所以是上增函数， 而 又的极小值点为，所以， 且时，单调递减，时，单调递增， 又且时，，， 又存在唯一零点，所以，所以， 又， 因为，所以， 记函数， 则， 当单调增，当单调减， 所以当时，取最大值，所以， 即，又时，单调递增， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $1 高三数学周测试卷（1122） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若，则不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是函数的一个极值点，则______. 13. 在正三棱台中，，侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为______. 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）证明: 17. 已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2． （1）求椭圆方程； （2）设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点.现将沿折起，连接BD与CD，如图2. （1）当时，证明：平面平面； （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径. 19. 已知函数. （1）求的单调区间和极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，，记的极小值点为存在唯一零点，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $