精品解析：广东惠州市惠东县2025一2026学年第二学期八年级期末学业质量检测

2025-2026学年第二学期八年级学业质量检测 数学 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. “今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（ ） A. 8 B. 4 C. 5 D. 3 9. 如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是分 C. 一班有同学的成绩超过分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 10. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（ ） A. 小球在斜面上的最大速度为 B. 所在直线的函数解析式为 C. 小球从斜面底端到停止所用的时间为 D. 小球在水平面上运动的总路程为 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知最简二次根式与可以合并，则x的值为_________． 12. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是________． 13. 某企业在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为90分，面试成绩为88分，则小李的最终成绩为___________分． 14. 如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 15. 如图，由四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形与一个小正方形，这就是我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．设直角三角形较长的直角边的长为，较短的直角边的长为，若斜边长为，，则中间小正方形的面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）用尺规作图作出的中点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的长度． 18. 2025年4月15日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人，探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（）与操控无人机的时间t（）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： （1）图中的自变量是_____；无人机在高的上空停留的时间是_____ ； （2）在上升或下降过程中，无人机速度为____； （3）图中a表示的数是_____；b表示的数是_____ ； （4）当第时无人机的飞行高度是_____． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在四边形中，，，，过点作，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为36，，求四边形的面积． 20. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 21. 为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1．了解本校初中生平均每天在校体育运动情况 2．给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷 你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟 □B：30-60分钟 □C：60-90分钟 □D：90-120分钟 □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； （2）请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； （3）如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． （4）请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 23. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． （1）如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； （2）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级学业质量检测 数学 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； ∵选项B中的被开方数含分母，∴不是最简二次根式； ∵选项C中，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 2. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 3. 如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由多边形外角和定理得出的外角为：，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴的外角为：， ∴． 4. 如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要判断一条图象是否表示是的函数，需要依据函数的定义：对于每一个值，只能对应一个值．可以通过“竖直检验法”来判断：如果在某条图象上画一条竖直线，这条竖直线与图象的交点不超过一个，则该图象表示是的函数；否则，不表示函数关系． 【详解】解：选项A：存在某些竖直线与图象相交于两个不同的点，这意味着对于某些值，有两个不同的值，因此不表示是的函数． 选项B：无论画哪条竖直线，与图象的交点最多只有一个，因此表示是的函数． 选项C：无论画哪条竖直线，与图象的交点最多只有一个，表示是的函数． 选项D：无论画哪条竖直线，与图象的交点最多只有一个，表示是的函数． 6. 若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 7. 如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，点的左侧，直线低于直线， ∴ 不等式的解集为． 8. “今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（ ） A. 8 B. 4 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够使用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知，，，则， 在中，． 9. 如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是分 C. 一班有同学的成绩超过分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 10. 在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（ ） A. 小球在斜面上的最大速度为 B. 所在直线的函数解析式为 C. 小球从斜面底端到停止所用的时间为 D. 小球在水平面上运动的总路程为 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D． 【详解】解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意； 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得， 所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意； 当时，， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意； 小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知最简二次根式与可以合并，则x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则解题即可； 【详解】解：∵知最简二次根式与可以合并， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算法则，掌握相关知识是解题的关键． 12. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图1），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图2的正八边形是其示意图，则的度数是________． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求出正八边形内角和，然后再除以8即可得出答案． 【详解】解：∵是一个正八边形， ∴正八边形的每个内角为：， 即． 13. 某企业在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为90分，面试成绩为88分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为： （分）． 14. 如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 15. 如图，由四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形与一个小正方形，这就是我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．设直角三角形较长的直角边的长为，较短的直角边的长为，若斜边长为，，则中间小正方形的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理可得到，用x和y表示出来中间小正方形的边长为，则小正方形的面积为，根据完全平方公式展开即可求得结果． 【详解】解：∵直角三角形较长的直角边的长为，较短的直角边的长为，若斜边长为， ∴， 由图可得中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵，， 即， 所以中间小正方形的面积为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式，掌握完全平方公式是解答此题的关键 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先按照二次根式的性质进行化简，按照二次根式的乘法法则进行运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）用尺规作图作出的中点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线即可得到的中点； （2）先求出，再得到是的中位线，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 18. 2025年4月15日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人，探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（）与操控无人机的时间t（）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： （1）图中的自变量是_____；无人机在高的上空停留的时间是_____ ； （2）在上升或下降过程中，无人机速度为____； （3）图中a表示的数是_____；b表示的数是_____ ； （4）当第时无人机的飞行高度是_____． 【答案】（1）操控无人机的时间；5 （2）25 （3）2；15 （4）25 【解析】 【分析】（1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案； （2）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （3）根据（2）中的速度代入行程公式即可得到答案； （4）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题意可得，∵无人机高度随时间变化而变化， ∴自变量是操控无人机的时间（或t）； 由图象可得，分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟； 【小问2详解】 解：由分钟图象可得， 无人机的速度为：（米/分钟）， 【小问3详解】 解：由（2）可得， ，， 解得：，， 【小问4详解】 解：由（2）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在四边形中，，，，过点作，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长为36，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）144 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证得四边形是菱形； （2）先证明四边形是矩形，从而得到，由四边形是菱形，，得到，，，根据勾股定理得到，从而得到，最后求得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵矩形的周长为36， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理，， ∴， ∴． 答：四边形的面积为144． 20. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ， ， ， ． 21. 为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1．了解本校初中生平均每天在校体育运动情况 2．给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷 你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟 □B：30-60分钟 □C：60-90分钟 □D：90-120分钟 □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； （2）请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； （3）如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． （4）请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 【答案】（1）①C；③D；④88.8 （2）见解析 （3）312名 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据抽样调查的样本代表性原则，判断三个抽取方法中能全面反映七年级学生整体情况的选项；③对比各组的人数，人数最多的组即为众数所在组；④利用加权平均数公式，将每组的组中值乘以对应人数求和后除以总人数，得到平均时间； （2）先通过扇形统计图的各部分占比和已知的抽样总人数，计算出B组、C组的人数，补全条形统计图； （3）先统计出运动时间不少于分钟的人数占抽查总人数的比例，再乘以全校总人数得到估计的达标人数，结合达标比例判断目标合理性； （4）根据统计结果反映的学生运动时间分布情况，提出针对性的活动调整建议． 【小问1详解】 解：（1）①随机抽样需要具有代表性，因此随机抽取男、女各25名学生更合理，故选C； ③条形统计图可得，调查的总人数为（人）， ∴C组人数为（人），B组人数为（人）， ∴D组人数最多，故众数落在D组中； ④被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为（分钟）． 【小问2详解】 解：补充完整的统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计有312名学生能完成目标，目标合理，因为，过半的学生都能完成这个目标，所以这个目标合理． 【小问4详解】 解：①学校“阳光体育运动”采取的措施成果显著，超过一半的学生平均每天体育运动的时间为90分钟；②仍然有学生每天平均体育运动的时间不足一小时，学校还需提供更多的体育运动机会．（合理即可） 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 【小问3详解】 直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 23. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． （1）如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； （2）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】（1）证明见解析； （2）①秒；②与满足的数量关系式是 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． 【小问2详解】 ①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 第1页/共1页 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