第02讲 配方法解一元二次方程（暑假预习跟踪训练） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以直接开平方法为基础，通过“原理-操作-应用”三阶递进，系统构建配方法解一元二次方程的方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|8题|通过方程变形转化为(x+a)²=b形式求解|为配方法奠定开方运算基础| |配方变形|5题|“移项-化1-配方”三步法，强调常数项确定|衔接直接开平方法与配方法原理| |配方法解方程|8题|规范解题步骤，包含错误分析（如第16题）|实现从配方到完整解方程的过渡| |配方法应用|11题|代数式最值、方程解的关系等拓展应用|体现配方法的迁移价值，培养模型意识|

第02讲 配方法解一元二次方程（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 1．求下列各式中的值： ． 2．下列解方程正确的是（   ） A．  解： B． 解： C．  解： D．  解： 3．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．解方程： (1)； (2)． (3) (4) (5) 【题型2 直接开平方法的运用】 5．若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 8．若一元二次方程的两根为，则等于______． 【题型3 配方】 9．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 10.将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 11.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 12.下列各式： ①；②；③；④．其中变形正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．④ 【题型4 用配方法解一元二次方程】 13．（运算能力）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 15．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 16．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：移项，得．………………第一步 二次项系数化为1，得． ……第二步 配方，得，…………第三步 ．………………………………第四步 由此可得，……………………第五步 ，．………………………第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是____________，依据的数学公式是______________； ②上述解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是______________． 任务二：请写出该方程正确的求解过程． 【题型5 配方法解一元二次方程的理解】 17．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 18．小东在用配方法解方程时，配成，发现，判断该方程无实数根，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 19．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 20．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 21．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【题型6 用配方法求字母或代数式的值】 22．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 23．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 24．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 25．已知x为全体实数，则的最大值为_________． 26．若是方程的一个解，则代数式的最小值为 _______． 27．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 28．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 课后作业 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 2．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 3．有下列方程：①；②；③；④． 其中能用直接开平方法求解的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．用配方法解方程时，方程的两边需同时加上的常数是（    ） A． B．1 C．4 D． 5．已知方程的解也是方程的一个解，则m的值是（    ） A．2 B． C． D． 6．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 7．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 8．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 9．用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 10．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 11．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 12．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 14．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 15．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 16．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 20．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 21．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 配方法解一元二次方程（暑假预习） 【新教材人教版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 1．求下列各式中的值： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，先移项，得，根据平方根的定义，算出的平方根； 【详解】， ； 2．下列解方程正确的是（   ） A．  解： B． 解： C．  解： D．  解： 【答案】C 【分析】本题考查直接开平方法解方程，逐一分析各选项解方程的过程是否正确，即可得出答案． 【详解】解：，没有实数解，故A选项解方程错误； 解：，，故B选项解方程错误；   解：，故C选项解方程正确；   解：，故D选项解方程错误； 故选：C． 3．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． 4．解方程： (1)； (2)． (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了利用直接开平方法和配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方法和配方法解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解； （2）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解； （3）直接开平方求解即可； （4）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解； （5）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得： （3）解：    或 解得：； （4）解：    解得：； （5）解： 解得： 【题型2 直接开平方法的运用】 5．若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 6．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 7．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 【答案】25 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 8．若一元二次方程的两根为，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型3 配方】 9．用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为，一次项系数为，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得， 整理得. 10.将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将二次项系数化为，再根据完全平方公式进行配方计算． 【详解】解：， 两边同时除以，得， 方程两边同时加，得， 即． 11.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 12.下列各式： ①；②；③；④．其中变形正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．④ 【答案】C 【分析】通过配方法对各式变形然后验证． 【详解】解：①：，正确； ②：，错误； ③：，错误； ④：，正确． 综上，变形正确的是①④． 【题型4 用配方法解一元二次方程】 13．（运算能力）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）把常数移到方程的右边，再利用配方法解答即可； （）先去括号，再利用配方法解答即可； （）把常数移到方程的右边，再利用配方法解答即可； （）把常数移到方程的右边，再利用配方法解答即可； 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴； （2）解：去括号，得， 配方，得， 即， ∴， ∴； （3）解：移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴； （4）解：移项，得， 配方，得， 即， ∴， ∴． 14．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． （1）（2）（3）（4）分别利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得，． （3）解：， ， ， ， 解得，． （4）解：， ， ， ， 解得，． 15．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】（1）步骤②中，等式两边没有同时加1； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解：， 配方得，即， 开方得或， ∴． 16．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：移项，得．………………第一步 二次项系数化为1，得． ……第二步 配方，得，…………第三步 ．………………………………第四步 由此可得，……………………第五步 ，．………………………第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是____________，依据的数学公式是______________； ②上述解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是______________． 任务二：请写出该方程正确的求解过程． 【答案】任务一：①配方法，完全平方公式．②三，等式的右边没有加上．任务二：见解析 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，一元二次方程的解法——配方法，解题关键是掌握配方法解一元二次方程并能熟练运用求解． 任务一：①根据所给的解法，结合所学知识填空； ②根据所给的解题过程，从中发现错误位置及原因； 任务二：根据配方法求解即可． 【详解】任务一：解：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式， 故答案为：配方法，完全平方公式． ②上述解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上． 故答案为：三，等式的右边没有加上． 任务二：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 由此可得． 解得：，． 【题型5 配方法解一元二次方程的理解】 17．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 18．小东在用配方法解方程时，配成，发现，判断该方程无实数根，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是熟练应用配方法解题；将原方程配方后与所给方程对照，利用求的值即可． 【详解】解：， 配方得：， 即：， ∵，， ∴， 解得：． 故选：D ． 19．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程．根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】方程， 移项，得， 配方，得， 即， 根据题意，得，， ，， 代入，得， 配方，得． 故选：B． 20．已知关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程，（，，均为常数，且）的两个解是和， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：A． 21．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 【题型6 用配方法求字母或代数式的值】 22．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 23．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 24．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 25．已知x为全体实数，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 26．若是方程的一个解，则代数式的最小值为 _______． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 27．用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 28．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 课后作业 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ∴， 即，． 故选：B． 2．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 3．有下列方程：①；②；③；④． 其中能用直接开平方法求解的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的几种解法判断即可得到结果． 【详解】解：①，直接开平方法； ②，配方法 ； ③ ，因式分解法； ④ ，直接开平方法； 则能用直接开平方法做的是①④； 故选:C. 【点睛】考查直接开平方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 4．用配方法解方程时，方程的两边需同时加上的常数是（    ） A． B．1 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． 要使方程左边配成一个完全平方式，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴用配方法解方程时，方程的两边需同时加上的常数是． 故选：B． 5．已知方程的解也是方程的一个解，则m的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次方程，方程的解等知识点，先求出方程的解，再把x的值代入方程，求出m的值即可，先求出x的值，再代入方程是解决此问题的关键． 【详解】， 解得：， 把代入方程得： ， 解得：， 故选：C． 6．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 7．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 8．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 9．用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解： ，即． 10．将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 11．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 12．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 13．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 14．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 15．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 16．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或； 【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是将方程变形为“平方项等于非负常数”的形式，再根据平方根的定义求解，注意一个正数有两个互为相反数的平方根． （1）先通过移项将方程化为的形式，再开平方求解； （2）先将的系数化为1，得到的形式，再开平方求解； （3）先移项，再将的系数化为1，转化为的形式后开平方求解； （4）先移项将单独放在一边，得到的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：移项得，即， 开平方得； （2）解：两边同时除以得， 开平方得； （3）解：移项得， 将系数化为1，即， 开平方得； （4）解：移项得， 开平方得， 当时，；当时，； 故方程的解为或． 18．运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，配方法的核心步骤为：先将二次项系数化为1，再移项将常数项移至方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方法求解方程的根． （1）先将二次项系数化为1，再依次进行移项、配方、开平方操作求解； （2）先消除二次项的分数系数，转化为整系数方程后，按配方法步骤求解； （3）先将二次项系数化为正数且为1，再移项、配方、开平方求解； （4）先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再按照配方法的标准步骤求解． 【详解】（1）解：两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴， 即，； （2）解：两边同时乘以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （3）解：两边同时乘以得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （4）解：展开得：， 合并同类项得：， 移项得：， 两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，． 19．某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 20．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】见解析 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可． 【详解】证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 21．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)3 (2)，大，1 (3)当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法求代数式最大值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．正确的配方是解题的关键． （1）将原式配方，根据，再根据不等式的性质求解即可； （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可； （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，再根据栅栏总长度表示出的长度，由面积公式建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值，注意的取值范围． 【详解】（1）解： ， ， 时，取最小值，且最小值为3； （2）解： ， ， 时，取最大值，且最大值为1， 故答案为：，大，1； （3）解：设， ∵长方形与长方形面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为48， 即当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $