四川2025-2026学年高一下学期数学期末模拟试卷（3）（基础卷）

**基本信息** 高一（下）数学期末基础卷，以复数、向量、统计等核心知识为载体，通过运动员选拔、洗涤剂实验等真实情境设计，强化基础应用与数学素养考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数虚部、向量模、样本概念等|基础概念辨析，如样本定义考查数据意识| |多选题|3|向量共线、复数象限、正方体线面角|多角度辨析，如正方体线面角考查空间观念| |填空题|4|复数模、组合概率、数据平均数|简洁计算，如数据平均数考查抽象能力| |解答题|5|统计应用、概率计算、立体几何证明等|情境化探究，如运动员成绩分析体现应用意识，立体几何证明培养推理能力|

高一（下）数学期末测试卷（3） （基础卷） 一、单选题 1．复数的虚部是(　　) A．－ B．－ C． D． 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．对某校1 200名学生的耐力进行调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500 m跑步的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指(　　) A．120名学生 B．1 200名学生 C．120名学生的成绩 D．1 200名学生的成绩 4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为(　　) A．0.92 B．0.95 C．0.97 D．0.08 5．给出下列四个命题，其中正确的是(　　) ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中存在三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面． A．②③ B．①②③ C．①② D．②③④ 6．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的(　　) A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　) A.6 B．5 C．4 D．3 8．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B． C． D． 2、 多选题 9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A．(4，－8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) 10．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 11．已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 3、 填空题 12．若z＝1＋i，则|z2－2z|＝________. 13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 14．有一组数据x1，x2，…，xn(x1≤x2≤…≤xn)，它们的平均数是10，若去掉其中最大的xn，余下的数据的平均数为9，若去掉最小的x1，余下的数据的平均数为11，则x1关于n的表达式为________，xn关于n的表达式为________. 四、解答题 15．市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70　1.65　1.68　1.69　1.72　1.73　1.68　1.67 乙：1.60　1.73　1.72　1.61　1.62　1.71　1.70　1.75 (1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？ (2)哪位运动员的成绩更为稳定？ (3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？ 16．在试制某种洗涤剂新产品时，不同添加剂的种类以及添加的顺序对产品的性质都有影响，需要对各种不同的搭配方式做实验进行比较．现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用，根据试验设计原理，需要随机选取两种不同的添加剂先后添加进行实验． (1)求两种添加剂芳香度之和等于5的概率； (2)求两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大的概率． 17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(1，2)，n＝，且m·n＝1. (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2，求sin的值． 18．如图所示，在矩形ABCD中，过A作SA⊥平面ABCD，再过A作AE⊥SB交SB于点E，过点E作EF⊥SC交SC于点F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD. 19．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求图中a的值； (2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数． 分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（下）数学期末测试卷（3） （基础卷） 一、单选题 1．复数的虚部是(　　) A．－ B．－ C． D． 因为z＝＝＝＋i，所以复数z＝的虚部为.故选D. 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解法1：由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D. 解法2：由题意知|a|＝，|b|＝2，a·b＝2×(－2)＋1×4＝0，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，所以|a－b|＝5，故选D. 3．对某校1 200名学生的耐力进行调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500 m跑步的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指(　　) A．120名学生 B．1 200名学生 C．120名学生的成绩 D．1 200名学生的成绩 研究对象是某校1 200名学生的耐力，在这个过程中，1 200名学生的成绩是总体，样本是这120名学生的成绩．故选C. 4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为(　　) A．0.92 B．0.95 C．0.97 D．0.08 记事件A＝“生产的产品为甲级品”，B＝“生产的产品为乙级品”，C＝“生产的产品为丙级品”，则P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事件A，B，C两两互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92.故选A. 5．给出下列四个命题，其中正确的是(　　) ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中存在三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面． A．②③ B．①②③ C．①② D．②③④ 对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线，故①错误；对于②，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾，故②正确；对于③，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面，故③正确；对于④，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形，故④不正确．故选A. 6．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的(　　) A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，则点M的坐标为(a＋2，a－2)，当a＝1时，坐标为(3，－1)，即点M在第四象限，若点M在第四象限，而a＝1却不一定成立，故“a＝1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件．故选A. 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　) A.6 B．5 C．4 D．3 由已知及正弦定理，可得a2－b2＝4c2，由余弦定理推论，可得－＝cos A＝，所以＝－，所以＝，所以＝×4＝6.故选A. 8．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B． C． D． 解法1：不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为a，底面正方形外接圆的半径为r，则r＝a，四棱锥的高h＝，所以四棱锥的体积V＝a2＝≤＝＝，当且仅当＝1－，即a2＝时等号成立，此时四棱锥的高h＝＝＝，故选C. 解法2：设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为r，四棱锥的高为h，则r2＋h2＝1，r＝，正方形的边长为r＝，所以四棱锥的体积V＝Sh＝(1－h2)h＝(－h3＋h).令f(h)＝－h3＋h(0<h<1)，则f′(h)＝－3h2＋1，令f′(h)＝－3h2＋1＝0，得h＝，所以f(h)在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，f(h)取得最大值，所以当四棱锥的体积最大时，其高为，故选C. 解法3：设四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，则V′＝π(1－3h2)，令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大，故选C. 2、 多选题 9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　) A．(4，－8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) b＝－4a时，b可能是(－4，8)；b＝4a时，b可能是(4，－8).故选AD. 10．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 由题意知， 即－3<m<1.故实数m的取值范围为(－3，1).故选ABC. 11．已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°.故A正确． 在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，连接B1C，则B1C⊥BC1，因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°.故B正确． 连接A1C1，交B1D1于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB，因为OB⊂平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝a，OC1＝， 所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1， 所以∠OBC1＝30°.故C错误． 因为C1C⊥平面ABCD， 所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角， 易得∠CBC1＝45°，故D正确．故选ABD. 3、 填空题 12．若z＝1＋i，则|z2－2z|＝________. 解析：由题意，可得z2＝(1＋i)2＝2i，则z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2.故＝＝2. 13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． 解析：从甲、乙等5名同学中随机选3名，有10种情况，其中甲、乙都入选有3种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝. 14．有一组数据x1，x2，…，xn(x1≤x2≤…≤xn)，它们的平均数是10，若去掉其中最大的xn，余下的数据的平均数为9，若去掉最小的x1，余下的数据的平均数为11，则x1关于n的表达式为________，xn关于n的表达式为________. 解析：由题意， ∵＝10， ∴x1＋x2＋…＋xn＝10n，① ∵＝9， ∴x1＋x2＋…＋xn－1＝9(n－1)，② ∵＝11， ∴x2＋x3＋…＋xn＝11(n－1)，③ ①－②，得xn＝n＋9， ①－③，得x1＝11－n. 四、解答题 15．市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70　1.65　1.68　1.69　1.72　1.73　1.68　1.67 乙：1.60　1.73　1.72　1.61　1.62　1.71　1.70　1.75 (1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？ (2)哪位运动员的成绩更为稳定？ (3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？ 解：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m， 乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m； (2)根据方差公式可得：甲的方差为0.000 6，乙的方差为0.003 15， ∵0.000 6＜0.003 15， ∴甲的成绩更为稳定； (3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲； 若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙． 16．在试制某种洗涤剂新产品时，不同添加剂的种类以及添加的顺序对产品的性质都有影响，需要对各种不同的搭配方式做实验进行比较．现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用，根据试验设计原理，需要随机选取两种不同的添加剂先后添加进行实验． (1)求两种添加剂芳香度之和等于5的概率； (2)求两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大的概率． 解：设试验中先添加的添加剂芳香度为x，后添加的为y，试验结果记为(x，y)，则基本事件包括： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共30种结果． (1)设“两种添加剂芳香度之和等于5”为事件A， 则事件A包含的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故P(A)＝＝. (2)设“两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大”为事件B， 则事件B包含的结果有(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共11种，故P(B)＝. 17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(1，2)，n＝，且m·n＝1. (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2，求sin的值． 解：(1)由题意得，m·n＝cos 2A＋2cos2， 由二倍角的余弦公式可得， cos2A＝2cos2A－1，2cos2＝cosA＋1， 又因为m·n＝1，所以2cos2A＋cosA＝1， 解得cos A＝或cos A＝－1， ∵0<A<π，∴A＝. (2)在△ABC中， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即()2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，① 因为b＋c＝2，所以b＝2－c， 代入①并整理，得 c2－2c＋3＝0， 解得c＝，所以b＝， 所以△ABC为等边三角形，所以B＝， 所以sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝. 18．如图所示，在矩形ABCD中，过A作SA⊥平面ABCD，再过A作AE⊥SB交SB于点E，过点E作EF⊥SC交SC于点F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD. 证明：(1)因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以SA⊥BC， 因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC， 因为AB∩SA＝A， 所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE. 又SB⊥AE，SB∩BC＝B， 所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC. 又EF⊥SC，AE∩EF＝E， 所以SC⊥平面AEF， 所以AF⊥SC. (2)因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥DC， 又AD⊥DC，SA∩AD＝A， 所以DC⊥平面SAD，所以DC⊥AG. 由(1)知，SC⊥平面AEF， 因为AG⊂平面AEF，所以SC⊥AG， 因为SC∩DC＝C， 所以AG⊥平面SDC，所以AG⊥SD. 19．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)求图中a的值； (2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数． 分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 解：(1)由题中频率分布直方图知，(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，因此a＝0.005. (2)估计这次成绩的平均分＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73. 所以这100名学生语文成绩的平均分为73分． (3)语文成绩在分数段[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)内的人数依次为0.05×100＝5，0.4×100＝40，0.3×100＝30，0.2×100＝20. 所以数学成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)内的人数依次为5，20，40，25. 所以数学成绩在[50，90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人). 学科网（北京）股份有限公司 $