江苏省淮安市开明中学2025—2026学年八年级第二学期数学期末 试题

**基本信息** 立足核心素养，融合科技（机器人产业、AI软件）、文化（《九章算术》）与生活（奶茶甜度、路灯影子）情境，梯度设计考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|比例尺、普查、最简二次根式|基础题占比高，如第1题比例尺结合市域地图| |填空|8/24|分式意义、二次根式比较、相似应用|中档题如15题《九章算术》门竿问题，16题相似综合| |解答|11/102|相似证明、统计图表、方程应用|综合题26题分层探究相似，27题奶茶甜度模型考查运算与推理|

2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 1、 选择题（每小题3分，共24分，把答案涂在答题纸上） 1. 在一幅比例尺为1：500000的市域地图上，若量得淮安市区到盱眙县的距离是25cm，则淮安市区到盱眙县的实际距离为 A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 2. 下列调查中，最适合采用普查的是 A．了解我国中学生的视力情况 B．了解某品牌灯泡使用寿命 C．调查国庆假期游客对淮安热门景点的满意度 D．调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是 A． B. C. D. 4．下列分式中，属于最简分式的是 A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 A．2 B． C．4 D． 6．将分式中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值 A.扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D.缩小为原来的 7．用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方 米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为 A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，BC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分，把答案填在答题纸上）第7题 9．若分式有意义，则x的取值范围为 ▲ ． 10．比较大小： ▲ ． 11．因式分解： ▲ ． 12. 如果a是方程 的一个实数根，则的值为 ▲ . 13. 某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下： 柑橘总质量/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量/kg 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为 ▲ .（结果保留小数点后一位） 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方 法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝32cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 ▲ cm． 第14题 第15题 第16题 15.《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少，横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长.如图，设门的对角线长为x尺，则可列方程为 ▲ ．（不需要化简） 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AD为△ABC的一条中线，E为AC上一点，∠ADE= ∠B.若AE=5，CE=2，过点A作AF⊥AC交DE的延长线于点F，则AF= ▲ . 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17．（本题8分）计算： (1)； (2). 18.（本题8分）解方程： (2)． 19.（本题10分）小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … (1)小颖解法的依据是 ▲ ，小红解法的依据是 ▲ ； A．分式的基本性质  B．等式的基本性质  C．乘法结合律  D．乘法分配律 (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 20.（6分）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． 21.（本题12分）中国AI发展已进入全球第一梯队．某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们AI软件的使用情况进行了调查，主要有以下四个类别：A．经常使用“DeepSeek”；B．经常使用“豆包”；C．经常使用“元宝”；D．其他．现将收集所得数据绘制成如下不完整的统计图表． 72 根据统计的信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量= ▲ ,a＝ ▲ ，b＝ ▲ ； （2）在扇形统计图中，“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ▲ °； （3）若该校共有师生共2000人，估计其中经常使用“DeepSeek”的人数． 22.（本题6分）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）以点O为位似中心，将△ABC在网格中放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1 ； （2）作出线段AC上的点D，使AD：CD＝1：2． 23.（本题8分）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F． （1）证明：△AFD∽△DCE； （2）若AB＝3，AD＝2，CE＝1，则点A到直线DE的距离为 ▲ ． 24.（本题8分）关于的一元二次方程 ． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为正数，求的取值范围． 25．（本题10分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上． （1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段FH（请将线段FH用2B铅笔加粗）； （2）如果灯泡P到地面距离为12m，小亮的身高1.2m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度． 26.（本题12分）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD． 【初步探究】 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则△ACD∽△ ▲ ∽△ ▲ . （2）如图②，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB； 【尝试应用】 （3）如图③，在（2）的条件下，若点D为AB的中点，CB＝4，求CD的长； 【创新提升】 （4）如图④，点E为CB的中点，连接DE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝ ∠EDB，，直接写出AD的长为 ▲ ． ④ 27.（本题14分）综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】奶茶甜度是衡量饮品口感的重要指标，行业内统一规定甜度计算公式： 甜度数值越大，代表奶茶口感越甜；制作奶茶时额外添加的糖均可完全溶解，不计 沉淀损耗. 【问题背景】某连锁奶茶店统一规格饮品基础参数：一杯a克的奶茶含糖量b克，称 甜度为标准糖,以此甜度作为基准甜度,根据顾客需求划分四种甜度档位： 标准糖：含糖量b克； 七分糖：含糖量0.7b克； 五分糖：含糖量0.5b克； 三分糖：含糖量0.3b克. 已知制作过程中，后添加的糖全部溶解在饮品内，会同步增加奶茶总质量，请结合 甜度计算公式完成下列探究任务. （1）任务一： 一杯总质量为400克的奶茶含糖40克，则该奶茶的甜度为 ▲ ； （2）任务二： 一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克七分糖奶茶，则该奶茶的甜度t1= ▲ (用含a、b的代数式表示)；由于店员疏忽，做成了一杯a克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了0.2b克糖，则奶茶的甜度t2= ▲ (用含a、b的代数式表示)；请比较大小：t1 ▲ t2. （3）任务三： 为了保持奶茶店产品的品质，一杯a克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能与七分糖奶茶的甜度一样？ （4）任务四：奶茶店推出 “双杯拼配” 玩法： 甲杯：a克三分糖奶茶（含糖0.3b克） 乙杯：a克标准糖奶茶（含糖b克） 操作1：从甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀； 操作2：再从操作1后的甲、乙两杯各倒出x克奶茶，互相交换倒入对方杯中，搅拌均匀. 此时甲杯奶茶的甜度恰好等于五分糖奶茶的甜度，则x的值为 ▲ （用含a的代数式表示，且）. 2025-2026学年度第二学期期末考试 初二数学参考答案 1-8 ADAC ABBB 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.（4分+4分） （1） （2） 18.（4分+4分） （1） （2） 未检验扣1分 19. （1）（2分+2分） ； (2) （4分+2分）化简结果为，代入得 20. （6分）％ 21. （1）（2分+2分+2分） ；； (2)（2分） (3)（4分） 人 未写答话扣1分 22. （1）3分 略 （2）3分 略 23. （1）5分 略 （2）（3分） 24. （1）4分 略 （2）（4分） 25. （1）4分 略 未下结论扣1分 （2）（6分） m 未证明相似扣2分 26. (1) （1分+1分）； (2) （3分）略 (3) （4分） (4) （3分） 27. (1) （2分） （2）（2分+2分+2分）；； （3）（4分） 克（或） （4）（2分） 2025—2026学年度第二学期期末考试 多维细目表 科目： 数学 年级： 初二 难易度比例： 8 ： 1 ： 1 命题人： 孙晶晶 审定人： 朱卫红 题号 题型 分 值 学科核心素养 学习主题的核心内容 学业要求 预测得 分率 情境素材 来源 易 中 难 1 3 数感、运算能力、空间观念 比例尺 理解 98 原创 2 3 数据观念 普查与抽样调查 理解 98 改编 3 3 运算能力、符号意识 最简二次根式 理解 98 原创 4 3 运算能力、符号意识 最简分式 理解 98 原创 5 3 运算能力、推理能力 一元二次方程根的判别式 理解 98 原创 6 3 运算能力、符号意识 分式的基本性质 理解 95 原创 7 3 模型观念、应用意识 一元二次方程的应用 理解 95 改编 8 3 几何直观、推理能力 相似三角形的判定 理解 85 改编 9 3 符号意识、运算能力 分式的概念 理解 98 原创 10 3 数感、符号意识 二次根式 理解 98 改编 11 3 符号意识、运算能力 因式分解 理解 98 原创 12 3 运算能力、推理能力 一元二次方程 理解 98 改编 13 3 数据观念 频率与概率 理解 98 改编 14 3 几何直观、模型观念 相似三角形的实际运用 理解 95 改编 15 3 模型观念、运算能力 一元二次方程的应用 理解 90 改编 16 3 几何直观、推理能力、运算能力 相似三角形的综合运用 理解 10 原创 17 8 运算能力 二次根式的运算 理解 98 原创 18 8 运算能力 一元二次方程、分式方程 理解 98 原创 19 10 运算能力、符号意识、推理能力 分式的运算 理解 95 改编 20 6 模型观念、运算能力、应用意识 一元二次方程的应用 理解 95 改编 21 12 数据观念、运算能力、应用意识 统计图表 理解 98 改编 22 6 几何直观、空间观念、推理能力 图形的变化、图形与坐标 理解 95 改编 23 8 几何直观、推理能力、运算能力 相似三角形的判定与性质 理解 95 改编 24 8 推理能力、运算能力、符号意识 一元二次方程 理解 90 改编 25 7 3 几何直观、模型观念、应用意识 相似三角形的实际应用 理解 90 改编 26（1） 2 几何直观、推理能力 相似三角形的判定与性质 理解 95 原创 26（2） 3 推理能力、符号意识 相似三角形的判定 理解 90 改编 26（3） 4 运算能力、推理能力、模型观念 图形的变化、图形的性质 理解 80 改编 26（4） 3 几何直观、推理能力、运算能力 图形的变化、图形的性质 理解 30 原创 27（1） 2 数感、运算能力 数与代数 理解 98 原创 27（2） 4 2 符号意识、运算能力、推理能力 分式的表示及比较大小 理解 80 改编 27（3） 1 3 模型观念、运算能力、推理能力 分式方程的应用 理解 20 改编 27（4） 2 模型观念、运算能力、推理能力 一元二次方程的应用 理解 10 原创 试卷总计 120 15 15 试题易、中、难三项累计分值之和等于试卷总分，三项累计分值之比等于预订难易度比例。 说明：试卷送审和上交时一并上交本表。题号要精确到最小的赋分点，比如第30题第1小题第2问可以用“30（1）b”的形式来表示。题型可以用大括号把若干小题括起来注明。情境素材来源主要是改编和原创两种，要尽可能写详细。 初二数学 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $