浙江嘉兴市2025-2026学年高一第二学期期末检测数学试题

2025~2026学年第二学期期末检测 高一数学 参考答案 （2026.6） 一，选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．A 二，选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．BCD 11．ABD 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12． 13． 14． 四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：（1），又因为，，所以， （2）根据题意可设，则，因为，所以，解得或，所以的坐标或 16．解：（1）锻炼时长平均数，中位数 （2）设男性球迷有人，则，，所以男性球迷有70人，女性球迷有30人，总方差为 17．解：（1）在翻折的过程中，，，所以，又，所以四边形为平行四边形，．又平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，，在正六边形中，，，所以， 又，与相交，所以平面，平面平面， 作，垂足为，则平面，所以为与平面所成角． 又，，所以，， 由对称性得与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，所以其余弦值为． 18．解：（1），，得， 再由余弦定理得，得 （2）（i）法一：在三角形中，由正弦定理得， 同理，在三角形中，， 因为，，， 所以，又，所以． 由得，， ，因为，所以． 法二：由得，即， 又，所以，又，所以． 后同法一． 法三：，， 所以，因为，所以，． （ii） ， 当且仅当时取等，此时，， 法一：设，在三角形中，，由余弦定理得， 得或，检验得． 法二：设，由，得， 法三：，由（i）的法三知，． 19．解：（1），，，又，所以 （2）（i）设是过点且与平面垂直的直线，与，，所成的角分别为，，．设，，在平面的投影点为，，，则 ，，， 由（1）知，． 设正方体的棱长为，由题意得，，，平方相加得，，正方体的体积． （ii）设为过点且与平面平行的平面，则正方体在平面内的投影与在平面内的投影形状大小均相同．设线段的中点为，则．设，在内的正投影点为，，斜投影点（在光线斜照射下的投影点）为，．因为，到的距离均为1（在的两则），光线与所成角的余弦值为，所以，，分别是圆和圆上的动点，且既是线段的中点，也是线段的中点，如图所示． 由（i）知，．设到直线的距离为，的面积为，则， 显然，则，整个正方体的投影面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末检测 高一数学 试题卷 （2026.6） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量和向量不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是 A．， B．， C．， D．， 2．复数在复平面内对应的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的底面直径为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则的值为 A．2 B． C． D． 5．如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是 A．平面 B． C．平面 D． 6．一个袋子中有编号为1~10的10个小球，每名同学有放回地摸球5次，记录每次摸到的球的编号，现有四名同学的统计结果如下，其中可能摸到过编号为10的小球的是 A．平均数为5，极差为4 B．中位数为5，极差为4 C．平均数为5，方差为4 D．中位数为5，众数为4 7．从正方体的十二条棱中任选两条，则这两条棱所在直线互为异面直线的概率是 A． B． C． D． 8．如图，为了测量两座山顶，之间的距离，飞机沿水平方向在相距2千米的，两点进行测量，在点测得，，在点测得，已知，，，在同一个铅垂面内，则两山顶，之间的距离是 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是 A．事件与事件的概率相等 B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互为对立 10．在菱形中，，，与交于点，，分别是边，上的动点，且满足，，连接，则下列说法正确的是 A．当时，向量在向量上的投影向量为 B．当，时， C．当，时， D．当经过中点时， 11．在棱长为2的正方体中，是棱上的动点，，分别是，的中点，是该正方体的中心，则下列说法正确的是 A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．二面角的平面角的正切值的取值范围为 D．到点的距离小于等于到正方体每个顶点的距离的点所构成的几何体的体积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数满足，则 ▲ ． 13．一个正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，高为，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ▲ ． 14．已知，，，则的最小值为 ▲ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知向量，满足，． （1）若，求； （2）若，求的坐标． 16．（本题满分15分） 2026年浙江省城市足球联赛“吴越杯”于4月6日正式开赛，揭幕战在嘉兴市体育中心举行．作为浙江人自己的“世界杯”，赛事吸引了大量球迷．主办方在现场随机抽取了100位球迷，了解他们每周参加体育锻炼的时长，并根据获得的数据绘制了频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这100位球迷每周锻炼时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数； （2）若将（1）中估计所得的平均数作为这100位球迷每周锻炼时长的总体平均数．已知这100位球迷中男性球迷每周锻炼时长的平均数是6，方差是10．21；女性球迷每周锻炼时长的平均数是5，方差是12．31．求这100位球迷中男性球迷和女性球迷的人数，并计算这100位球迷锻炼时长的总体方差． 17．（本题满分15分） 如图1，将一边长为2的正六边形沿着对角线进行翻折，四边形翻折至四边形，得到五面体，如图2所示． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的余弦值． 18．（本题满分17分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为3． （1）若，求； （2）若． （i）求的取值范围； （ii）当最小时，求的长． 19．（本题满分17分） （1）在长方体中，，，，设直线与，，所成的角分别为，，，求的值． （2）如图，正方体的顶点在平面内，其余顶点均在同一侧，顶点，，到平面的距离分别为3，4，5． （i）求正方体的体积； （ii）若有一束平行光线从平面的上方照向正方体，光线所在直线与平面所成角的余弦值为，求正方体在平面内的投影面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $