2026年上海市中考数学试卷

**基本信息** 立足基础梯度分明，通过无理数判断、圆位置关系等基础题，结合扶梯问题、抛物线“派生点”新定义及半圆综合题，考查数学抽象、推理与应用能力，体现数学眼光、思维和语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|无理数、同类项、方程根、圆位置关系、平均数、正方形对称|基础概念辨析，如第5题用平均数计算解决实际问题| |填空题|11/44|幂运算、概率、三角函数、反比例函数、正六边形、统计|中档题结合几何性质，如第17题等边三角形旋转考查空间观念| |解答题|7/82|计算、方程组、解直角三角形应用、扶梯问题、菱形证明、抛物线新定义、半圆综合|注重综合应用与创新，如21题扶梯问题体现数据意识，23题“派生点”新定义考查抽象能力，24题半圆综合题考查推理能力|

2026年上海市中考数学试卷 一、选择题（共24分，每小题4分） 1．（4分）·【易】下列选项中是无理数的是（　　） A． B．4 C． D． 2．（4分）·【易】下列选项中，与2a2bc是同类项的是（　　） A．ab2c B．a2bc C．2abc D．2ab2c 3．（4分）·【中档】下列方程无实数根的是（　　） A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2＝0 C．x2+2x＝0 D．x2+2＝0 4．（4分）·【较易】已知⊙A半径为3，⊙B半径为7，AB＝2，则两圆的位置关系是（　　） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 5．（4分）·【较易】周一至周五某同学的运动时间为34、28、40、36、32，单位：分钟，为了一周7天活动时间的平均数达到40分钟，下列选项中可以的是（　　） A．50，50 B．45，60 C．50，60 D．55，60 6．（4分）·【中档】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点（不与A、B重合），过点E作EM∥BD，交AD于点M，作E、M关于BD的对称点F、G，联结EF、MG交BD于点P、H．下列说法正确的是（　　） ①四边形EFGM周长是定值；②四边形EPHM周长是定值． A．①、②均正确 B．①正确②错误 C．②正确①错误 D．①②均错误 二、填空题（共44分，每小题4分） 7．（4分）·【易】计算：（m4）2＝　 　 ． 8．（4分）·【较易】在1，﹣2，﹣3，4，5这5个数中选一个数，选出一个正数的概率是　 　 ． 9．（4分）·【易】已知，则x＝　 　 ． 10．（4分）·【易】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则tanB＝　 　 ． 11．（4分）·【中档】等腰三角形ABC中，∠A≠∠B，∠A＝80°，∠B＝　 　 ． 12．（4分）·【中档】点A（m，n）与点B（3，4）在同一条反比例函数y上，若0＜m＜3，则n的取值范围是　 　 ． 13．（4分）·【中档】如图，正六边形ABCDEF中，，，则　 　 ． 14．（4分）·【易】某市2024年进出口集装箱5.15×107个，2025年进出口集装箱5.5×107个，则2025年较2024年集装箱的进出口数量增加了　 　 ．（用科学记数法表示） 15．（4分）·【较易】某区抽查300名学生每周做家务的次数，如图所示，据此推测全区9000名学生每周做家务大于5次的有　 　 人． 16．（4分）·【易】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，如果BC＝2AD，S△PMN＝1，则梯形ABCD的面积为　 　 ． 17．（4分）·【较易】如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC交BC于点D，将△ABC绕点D旋转α°（0＜α＜90），使得AB的对应边A′B′垂直于AC．设A′B′交AD于点P，则　 　 ． 三、解答题（共82分） 18．（10分）·【较易】计算：． 19．（10分）·【易】解方程组：． 20．（10分）·【中档】如图，小明正在确认大楼是否安全，规定即为安全． （1）当d＝100米时，h至少小于多少米？ （2）若测AB长为a，BC长为b，仰角为θ，求（用含有a、b、θ的代数式表示）． 21．（12分）·【中档】景区有一个观景台，可以通过扶梯前往，8：10：00第一位游客站上扶梯，8：10：51第一位游客到达观景台，之后的游客有序排队入场，此后每位游客到达时间的间隔为0.8秒． （1）设登上观景台的游客数为x，时间为y（从8：10：00开始计算，单位为秒），请填写表格，并列出y关于x的函数解析式（不用写出定义域）． x 1 6 y 　 　 　 　 （2）8：10：00到8：12：00有多少名游客登上观景台？8：12：00到8：14：00有多少名游客登上观景台？ 22．（12分）·【中档】如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF． 23．（13分）·【较难】已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 24．（15分）·【难】在半圆AOQ中，点O为圆心，线段AQ为直径，B、C是半圆上的两点，D是AB上一点，连接AB、CD交于点P，且AB＝CD． （1）连接OP， ①如图1，求证：∠APO＝∠CPO； ②如图2，连接OB交弦CD于点H，若AQ＝4，PB＝1，PO＝HO，求PH的长； （2）如图3，连接AC、PQ交于点E，线段AP上有一点F，使得PF＝4AF，若PE＝QE，∠PEA＝∠PFQ，求． 2026年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B． D A C B 一、选择题（共24分，每小题4分） 1．【答案】C 【解析】解：A、是分数，不是无理数，不符合题意； B、4是整数，不是无理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、3，是整数，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 2．【答案】B． 【解析】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：B． 3．【答案】D 【解析】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； B、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； C、Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； D、Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，方程无实数根，故符合题意． 故选：D． 4．【答案】A 【解析】解：∵R＝7，r＝3，d＝2， ∴d＜R﹣r， ∴两圆内含． 故选：A． 5．【答案】C 【解析】解：40×7﹣34﹣28﹣40﹣36﹣32＝110， 50+60＝110， 故选：C． 6．【答案】B 【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，则a为定值， 由正方形性质得：AB＝a，∠A＝∠EBF＝90°，∠ABD＝45°， 设BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝a﹣x， ∵EM∥BD， ∴∠AEM＝∠ABD＝45°， 在△AEM中，∠A＝90°，∠AEM＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴AM＝AE＝a﹣x， 由勾股定理得：EMAE， ∵点E、M关于BD的对称点为F、G， ∴EF⊥BD，EP＝FPEF，MG⊥BD，MH＝GHMG，EM∥FG， ∴BD是EF的垂直平分线， ∴BF＝BE＝x， ∵EM∥BD， ∴EF⊥EM，EF⊥FG，MG⊥EM，MG⊥FG， ∴四边形EFGM和四边形EPHM都是矩形， ∴PH＝EM＝FG， 在△BEF中，∠EBF＝90°， 由勾股定理得：EFBE， ∴MG＝EF， ∴EP＝MHEF， ∴矩形EFGM周长为：2EM+2EF为定值； 矩形EPHM的周长为：2EM+2EP不是定值， 综上所述：①正确②错误， 故选：B． 二、填空题（共44分，每小题4分） 7．【答案】m8． 【解析】解：（m4）2＝m4×2＝m8， 故答案为：m8． 8．【答案】． 【解析】解：在1，﹣2，﹣3，4，5这5个数中选一个数，正数有1，4，5三个， ∴五个数中选一个数，选出的这个数是正数的概率为， 故答案为：． 9．【答案】2． 【解析】解：∵， ∴13x﹣1＝25， ∴x＝2， 故答案为：2． 10．【答案】． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6， 由勾股定理得BC， ∴tanB， 故答案为：． 11．【答案】50°或20°． 【解析】解：当∠A是顶角时，∠B， 当∠A是底角时，∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°， 综上所述，∠B的度数是50°或20°， 故答案为：50°或20°． 12．【答案】n＞4． 【解析】解：由题意，∵点B（3，4）在反比例函数y图象上， ∴k＝3×4＝12． ∴反比例函数为y． ∴该函数的图象分布在第一、第三象限，并且在每一个象限内y随x的增大而减小． 又∵点A（m，n）在反比例函数y图象上，且0＜m＜3， ∴n＞4． 故答案为：n＞4． 13．【答案】22． 【解析】解：如图，延长AF，DE交于点T． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AFE＝∠DEF＝120°， ∴∠TFE＝∠TEF＝60°， ∴△TEF是等边三角形， ∴EF＝TF＝TE， ∵AF＝EF＝DE＝AB， ∴， ∴， ∴22． 故答案为：22． 14．【答案】3.5×106个． 【解析】解：2025年较2024年集装箱的进出口数量增加了5.5×107﹣5.15×107＝3.5×106（个）． 故答案为：3.5×106个． 15．【答案】3000． 【解析】解：90003000（人）， 即推测全区9000名学生每周做家务大于5次的有3000人． 故答案为：3000． 16．【答案】12． 【解析】解：梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD， P是BC的中点， ∴， ∴四边形ABPD、四边形APCD都是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵EF是梯形的中位线， ∴EFAD∥BC，E是AB的中点，F是DC的中点， 在△ABP中，E为AB的中点，EM∥BP， ∴M是AP的中点， 在△DCP中，F为DC的中点，FN∥PC， ∴N是DP的中点， ∴MN是△ADP的中位线， ∴MN∥AD，， ∴△PMN∽△PAD， ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方∴， 已知S△PMN＝1，代入得：， S△PAD＝4， ∵▱ABPD中，AP为对角线， ∴S△ABP＝S△ADP＝4（平行四边形对角线平分面积）， ∵▱APCD中，DP为对角线， ∴S△DPC＝S△ADP＝4S梯形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC＝4+4+4＝12． 故答案为：12． 17．【答案】． 【解析】解：如图， ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠B＝∠BAC＝60°，， ∵A'B'⊥AC， ∴在Rt△APE（设A'B'交AC于点E）中，∠APE＝90°﹣∠DAC＝60°， 由旋转的性质可知△A'B'C′≌△ABC， ∴∠B'＝∠B＝60°，DB′＝DB， 在△B'PD中，∠B'PD＝60°，∠PB'D＝60°， ∴△B'PD是等边三角形， ∴PD＝DB'， ∴PD＝DB， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝60°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共82分） 18．【答案】． 【解析】解： ＝1 ＝1 ． 19．【答案】，． 【解析】解：由x﹣y＝4， 可得x＝y+4． 把x＝y+4， 代入y2﹣2x＝7， 得到y2﹣2（y+4）＝7． 去括号得y2﹣2y﹣8＝7， 移项得y2﹣2y﹣15＝0， 因式分解得 （y﹣5）（y+3）＝0， 则y﹣5＝0或y+3＝0， 解得y1＝5，y2＝﹣3． 当y＝5时，x＝5+4＝9； 当y＝﹣3时，x＝﹣3+4＝1． ∴方程组的解为，． 20．【答案】（1）h至少小于12.5米； （2）． 【解析】解：（1）由题意得：， ∵d＝100米， ∴， 解得：h＜12.5， ∴h至少小于12.5米； （2）如图： 由题意得：DE＝AB＝a， 在Rt△CBD中，∠CBD＝θ，BC＝b， ∴CD＝BC•sinθ＝bsinθ，BD＝BC•cosθ＝bcosθ， ∴h＝CD+DE＝bsinθ+a， ∴． 21．【答案】（1）填表如下： x 1 6 y 51 55 y＝0.8x+50.2； （2）8：10：00到8：12：00登上观景台的游客为87人；8：12：00到8：14：00登上观景台的游客为150人． 【解析】解：（1）由题意得，第一个人需要51秒， 又∵此后每位游客到达时间的间隔为0.8秒． ∴第6个人时间为：51+0.8×5＝55（秒）． 填表如下： x 1 6 y 51 55 ∴y关于x的函数解析式为y＝51+0.8（x﹣1），即y＝0.8x+50.2； （2）由题意，当8：10：00到8：12：00时，2分钟＝120秒， ∴结合（1）令0.8x+50.2＝120， ∴x＝87.25，取整数，x＝87． ∴8：10：00到8：12：00登上观景台的游客为87人； 当8：12：00到8：14：00时，4分钟＝240秒， ∴结合（1）令0.8x+50.2＝240， ∴x＝237.25，取整数，x＝237． ∴8：12：00到8：14：00登上观景台的游客为：237﹣87＝150（人）． 22．【答案】（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴， ∴CEABCD， ∴点E是CD的中点； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB， ∵∠EBC＝∠CAB， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC， ∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG， ∴∠BAH＝∠AFB， ∵BH平分∠ABE， ∴∠ABH＝∠FBG， ∴△ABH∽△FBG， ∴AB：BF＝BH：BG， ∴AB•BG＝BH•BF． ∵AB＝CD， ∴CD•BG＝BH•BF． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴， ∴CEABCD， ∴点E是CD的中点； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB， ∵∠EBC＝∠CAB， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC， ∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG， ∴∠BAH＝∠AFB， ∵BH平分∠ABE， ∴∠ABH＝∠FBG， ∴△ABH∽△FBG， ∴AB：BF＝BH：BG， ∴AB•BG＝BH•BF． ∵AB＝CD， ∴CD•BG＝BH•BF． 23．【答案】（1）y＝4x； （2）1．Q（7，8）在抛物线上． 【解析】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 24．【答案】（1）①如图，作OG⊥AB于G，OZ⊥CD于Z，连接OC， ∴，， ∵AB＝CD， ∴AG＝CZ， ∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°， ∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL）， ∴OG＝OZ， ∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP， ∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL）， ∴∠APO＝∠CPO； ②； （2）． 【解析】（1）①证明：如图，作OG⊥AB于G，OZ⊥CD于Z，连接OC， ∴，， ∵AB＝CD， ∴AG＝CZ， ∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°， ∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL）， ∴OG＝OZ， ∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP， ∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL）， ∴∠APO＝∠CPO； ②解：∵PO＝HO， ∴∠OPH＝∠OHP， 由（1）可知，∠OPC＝∠APO， ∴∠APO＝∠OHP， ∵∠BPO＝180°﹣∠APO，∠BHP＝180°﹣∠OHP， ∴∠BPO＝∠BHP， 在△BPH和△BOP中，∠BPO＝∠BHP，∠PBH＝∠OBP， ∴△BPH∽△BOP， ∴， ∵AQ＝4， ∴OB＝2， ∵BP＝1， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵∠PFQ＝∠PEA，∠FPQ＝∠EPA， ∴△FPQ∽△EPA， ∴， ∵PF＝4AF，PE＝QE， 设PF＝4AF＝4m，PE＝QE＝n， 则AP＝5m， ∴， ∴20m2＝2n2， ∴， 连接OP，交AC于点K， 由（1）①中Rt△OPG≌Rt△OPZ可得PG＝PZ（图1）， 又∵AG＝CZ（①已证）， ∴AG+PG＝PZ+CZ， ∴AP＝CP， 又∵∠APO＝∠CPO（①已证）， ∴OP⊥AC， ∴∠AKP＝∠CKP＝90°， ∵O为△APQ边AQ的中点，E为△APQ边PQ的中点， ∴K为△APQ的重心， ∴AK＝2EK， 设EK＝k，则AK＝2EK＝2k， ∵在Rt△APK和Rt△EPK中，PK2＝AP2﹣AK2＝PE2﹣EK2， ∴， 化简得（负值舍）， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $