第22章 专题复习及章末测试-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 第22章 《图形的相似》专题复习 一、知识结构 规律与方法：多边形的问题常转化为三角形 比例线段 相似多边形的判 相似三角形的判 相似三角 定方法及性质 定方法及性质 形的应用 去解决，本题从已知条件出发，构造等腰三角形， 使求四边形面积的问题转化为求三角形的面积 相似图形 相似多边形 相似三角形 类型二利用相似三角形的性质建立方 画位似图形 图形的运动与坐标的变化 程解决实际问题 坐标 表示物体的位置 【例2】要测量一个不能直接到达底部的 角度和距离 建筑物的高度，我们常用如图的方法.将长为 二、专题精讲 4m的标杆MN'直立在N'处，然后后退2m到 类型一 相似三角形的判定和性质的综 C处，由C处看建筑物的顶部A,C、M、A恰好 合运用 在一条直线上，当标杆MN在与标杆M'N'相距 【例1】如图，梯形ABCD中，AB∥CD, 50m的N处时，后退4m到D处，看建筑物时， CE平分∠BCD,CE⊥AD于点E,DE=2AE D、M、A点恰好在一条直线上，同时，D、N、C、 若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积. N'、B始终在同一条直线上，求出建筑物的 高度 M M ·108· 第22章图形的相似 规律与方法：方程与方程思想是中考命题的 规律与方法：中位线分三角形中位线和梯形 热点，在数学知识中占有非常重要的地位.据相 中位线，两者都有平行和倍分关系，在应用时可 似三角形的对应边成比例，可列出方程或方程 根据具体情况，选择恰当的方法.在一个三角形 组，从中求解得出未知线段. 中，有两边中点时，常连结它们构造中位线。 类型三中位线 类型四图形的运动与坐标 【例3】如图，四边形ABCD中，AB=CD, 【例4】如图，□OABC关于y轴的轴对称 E,F,G,H分别是AD,BC,BD,EF的中点，试 图形是□OA'BC',对应顶点及对角线交点的坐 标有什么变化？ 判断GH与EF的关系，并说明理由. 规律与方法：用坐标表示平面内物体（点）的 位置，这是数形结合的具体标志，是用数研究形 的一种形式.此类用运动、变化的观点去探究图 形的规律，并运用它解决实际问题是新课标的体 现，这类问题在近年中考题目中逐步被各地重视 起来. ·109· 措雨针·课堂优化·九年上册·数学(HS》 第22章 章末测试 一、选择题 6.（巴中中考)如图，在平面直角坐标系中，C为 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC △AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2,过 上，DE∥BC,若AD:AB=3:4,AE=9,则 C作CD∥OB交AB于点D,C、D两点纵坐 AC等于 标分别为1、3，则B点的纵坐标为 () A.6 A.4 B.5 C.6 D.7 B.8 7.(河北中考)平面直角坐标系中，我们把横、纵 C.10 坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点 E 称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方 D.12 2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的 向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余 数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时， 相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长 向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平 比为 () 移1个单位长度. A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 例：“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次 3者台-名-a+o),侧哈已的值为 后，到达点P3(2,2),其平移过程如下： A.1 B.2 c P(2,1)右R(3,1)上P(3,2)左(2,2) D.是 余0 余1 余2 余3 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到 4.△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,4), B(4,0),△OCD与△OAB关于点O成位似 达点Q6(一1,9)，则点Q的坐标为 () A.(6,1)或(7,1) B.(15,-7)或(8,0) 关系，其中点A与点C对应，若相似比为， C.(6,0)或(8,0) D.(5,1)或(7,1) 则点C的坐标是 () 8.如图，E,F是平行四边形ABCD对角线AC A.(1,2) B.(4,8) 上两点，AE=CF=子AC.连结DE,DF并延 C.(1,2)或(-1，-2) D.(4,8)或(-4，-8) 长，分别交AB,BC于点G,H,连结GH,则 5.(攀枝花中考)如图，在矩形ABCD中，AB= 6,AD=4,点E、F分别为BC、CD的中点， SAADXG的值为 () S△BGH BF、DE相交于点G,过点E作EH∥CD,交 BF于点H,则线段GH的长度是 ( A.6 B.1 C. 5 D. 5 A司 B. 3 C. 3 D.1 二、填空题 9.已知点C是AB的黄金分割点(AC>BC),已 知AC=5-1 cm,则AB= BC= 2 第5题图 第6题图 cm. ·110 第22章图形的相似 10.已知△ABC的三边长分别是5,12,13，△A'B'C三、解答题 2△ABC,△A'B'C的最小边长为4，则△A'B'C 15.已知△ABC中，AD平分∠BAC,MF∥AD 最长边上的高是 交AB于E,交BC于M. 11.(阜新中考)如图，在矩形ABCD中，E是AD 边上一点，且AE=2DE,BD与CE相交于 求证器影 点F,若△DEF的面积是3，则△BCF的面 积是 12.如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF影长 GE为1.2m,此时，小红测得一棵被风吹倾斜 的杨树与地面成30°角，树顶端B在地面上的 影子点D与B到垂直地面的落点C的距离 是3.6m,则树长AB m 16.(德阳中考)如图，在菱形ABCD中，∠ABC =60°，对角线AC与BD相交于点O,点F 为BC的中点，连接AF与BD相交于点E, D 连接CE并延长交AB于点G 13.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分 证明：△BEF∽△BCO, ∠BAC,AN⊥BN于N,已知AB=10,AC=22, 则MN= 14.(绥化中考)如图，已知A1(1,一√3)，A2(3, -√3)，A3(4,0),A4(6,0),A5(7,W3),A6(9, √3)，A2(10,0),Ag(11,-√3)…，依此规律， 则点A2024的坐标为 5678910112134151617元 ·111· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 17.将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图18.（泰安中考）如图，矩形ABCD中，点E在 形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化. DC上，DE=BE,AC与BD相交于点O,BE 与AC相交于点F (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC; (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说 明理由； (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度 (1)沿y轴负方向平移3个单位长度； (2)关于y轴对称； (3)以点B为位似中心，放大原来的2倍 ·112·指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 22.5图形与坐标 课后演练 课后演练 第1课时 用坐标确定位置 1.B2.B3.C4.42π5.(9,0)6.(3,4) 1.B2.B3.D4.305.486.16 基础导学 7.(1)图略 (2)图略，A2(一2，一2) 7.能，AB=100米8.树高为4.2m9.2.310.54 11.旗杆AB的高度约为8.4m12.旗杆的高度为16m 1.平面直角坐标系坐标 8.(1)A(-2,0),C(1,2):(2)13. 典例探究 23.2直角三角形的性质 9.(4,4-43、 3) 10.(32,3)(64,0) 【例1】点M的坐标为(-3,0)或（一3,2）. 典例探究 【变式训练1】C 11.(1)点0的坐标为(W2,2一√2)； 【例1】BC1=3.75(m).【变式训练2】2 【例2】学校所在的位置在点O的南偏西（或南偏东）60°的方 (2)AA'=2√2，点A'的坐标为(1+√3,1十√3). 【例2】(1)证明略(2)BD的长度为号 向，距离点O为4. 第22章 《图形的相似》专题复习 【变式训练2】23 【变式训练2】(5,30)(3,300) 【例1】S四边形ABCE=8: 课后演练 课后演练 1.B2.A3.C4.(3,30)5.5 【例2】建筑物的高度为104m 1A2C3.C4B5.10°6,47.号a8证明略 【例3】GH垂直平分EF,理由略 6.(7,0) 【例4】平行四边形OABC关于y轴对称的图形平行四边形 9D1043 11.证明略12.(1)AP的长为2(2)ED=3 7.(1)A(4,6),B(14,4),C(8,12),D(2,14)(2)E,(14,14) OA'B'C的四个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都互为 23.3锐角三角函数 8.(1)码头在操场的正西面，距操场3个单位长度，哨所在码 相反数；这两个平行四边形的对角线的交点坐标也如此 头的东北方向上，距码头4W2个单位长度， 第1课时锐角三角函数的认识 第22章 章未测试 典例探究 (2)操场(0,0)，雷达(3,2)，哨所(1,4)，码头（一3,0），营房 1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.D8.C (0,-2),伙房(4，-1). 【例】÷smB=号，cosB=是， ,tanB=4 3-5 9.(5,0)10.(1,3)11.31.5 9.1cm 2 10.袋 11.2712.1213.6 【变式训练】sn∠BCD=snA-青，cos∠BCD=cos 第2课时 图形的变换与坐标 14.(2891,-√3)15.证明略 3 .4 基础导学 16.证明略 5 tanBCD=tanA= 3 1.(x,-y)(-x,-y) 17.图略.(1)横坐标不变，纵坐标减3.(2)纵坐标不变，横坐标 【例2】C【变式训练2】 12 2.(x,y十a)(x,y-a)(x十a,y）(x-a,y） 变为原来的相反数.(3)点A是线段B:A的中点，点C是 课后演练 典例探究 线段B3C3的中点. 【例1】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都减小了4 18)证明路2与△OBF相似的三角形有△BCR,1D2B3D4C556号1号 5 个单位长度 △BAF,理由略(3)DE=3十√19 【变式训练1】(1，一3) &.sin∠CBD=25 5 sim∠ABD=5 5 第23章 解直角三角形 【例2】梯形OABC关于y轴的轴对称图形各对应顶点的纵 9anB-是10.里 11.32 坐标都未改变，而横坐标都分别互为相反数， 23.1测量 基础导学 12.(1)BD·cos∠HBD=4.(2)AB的长是6. 【变式训练2】(-1,3) 1.成正比 第2课时特殊角的三角函数值 【例3】(1)△ABC各顶点的坐标为：A(0,2),B(一3,1)， 基础导学 C(-2,一1)，△DEF各顶点的坐标为：D(0,-2),E(6,0),F 典例探究 【例1】B'C'=16(m) 【变式训练1】4.8 (4,4).(2)图略，M(3,-1),N(2,1).(3)△ABC△DEF,且 199 2 12.-半3.sin(90°-a)se coSa 【例2】正确，理由略 相似比为7，所以SAc=4SAEr, 典例探究 【变式训练2】旗杆的高度为11.5米. 【变式训练3】（一2.一2） 【例3】C【变式训练1】33 【例】1285(3)号5(2 41 【变式训练1】1)6-3反(23(3)-号 【p】5.【变式训维2】贵【】AC=14 【变式训练3】△ABC的面积为23或号3. 课后演练 1.D2.B3.A4.C5.16.2或37.(1)90°(2)75 8.a2 (2原式=。当a=2n60+m45=5+1 时，原式= 3 9.∠A=30°10.2+√311.30°或150°或90°. 12.(1)BC=16-2√5(2)tanl5°=0.3 13.∠CAC+∠CAA'=30°. 第3课时用计算器求锐角三角函数值 典例探究 【例1】sin16°≈0.2756，cos42°≈0.7431，tan85°≈11.4301， sin72°3825"≈0.9545， 【变式训练1】A 【例2】.(1)∠A≈79.0°.(2)∠A≈30.6°.(3)∠A≈10.7°. 【变式训练2】B【例3】乙先到达B处 【变式训练3】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门. 课后演练 1.C2.C3.A4.C5.56.90°2.25 8.(1)∠A≈66.42°(2)∠A≈86.82 (3)∠A≈17.99°(4)∠A≈67.99° 9.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米 (2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 千米 10.(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随 角度的增大而减小 (2)sin88>sin62>sin50°>sin34°>sinl8°； cos88°<cos62°<cos50°<c0s34°<cos18°. (3)= <> 11.(1)13650(平方米).(2)垂钩栈道AD的长约为106米. 42