22.3.6 相似三角形的应用-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【创新探究】 11.(泰安中考)如图，△ABC和△CDE均是等 腰直角三角形，EF⊥AD; (1)当AF=DF时，求∠AED; (2)求证：△EHG∽△ADG; 3)求证：品品 第22章图移的相从 第6课时相似三角形的应用 基础导 学 1.判断两个三角形相似的方法：(1)有两个 角对应相等的两个三角形是相似三角形；(2)两 边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)三边对应成比例的两个三角形相似， 2.相似三角形的性质：相似三角形的 成比例， 相等，相似三角形的 的比、 的比、 的比、 比都等于相似比；相似 三角形 的比等于相似比的平方】 3.我们可利用物高与影长成 ,测 量物体的高度， 典例探究 考点① 利用相似三角形的性质测量物体的 高度或宽度 【例1】赵亮同学利用影长测学校旗杆长 度，如图所示，他在某一时刻竖立1米长的标杆 测得其影长为1.2米，同时，旗杆的投影一部分 在地面上，另一部分在某一建筑物的墙上，其投 影长度分别为9.6米和2米，求学校旗杆的 高度 2米 B9.6米C 指南针·课堂优化·九年服上册·数学(HS) 规律与方法：运用数学知识解决问题，要先 将实际问题转化为数学问题一一建立数学模型， 再运用数学知识求解， 【变式训练1】（陕西中考）小明和小华利 用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的 高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别 测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影 长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中 O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点 在同一直线上，且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明 的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB. 四 GF 9: 考点②利用相似三角形的判定和性质进行 方案的设计 【例2】一块直角三角形木板的一条直角 边AB长为1.5m,面积为1.5m,工人师傅要把 它加工成一个面积最大的正方形，请甲、乙两位同 学设计加工方案.甲设计的方案如图1，乙设计的方 案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好？试说 明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数） 规律与方法：相似三角形知识的应用非常广 泛，不仅用在测量上，几何中的计算与证明也往 往要反复利用相似三角形知识。 课后演练 【基础过关】 1.如图，一个人拿着有厘米刻度的小尺，站在距 电线杆30m的地方，把手臂向前伸出并伸直， 小尺竖直，看到小尺上到约0.18m刻度处恰 好遮住电线杆，已知这个人的手臂长0.6m, 则电线杆的高是 ( A.9 m B.8 m C.6m D.10m 2.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上， 从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是 我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问 题，它的题意可以由图获得，则井深为 A.1.25尺 0.4 B.57.5尺 C.6.25尺 E 5 D D.56.5尺 3.如图，有一同学在离某大楼底部20米处放置 一块镜子，然后后退一米，正好在镜中看到楼 顶，该同学身高1.5米，则楼高 () A.20米 B.25米 C.30米 D.35米 第3题图 第4题图 4.(湖州中考)某数学兴趣小组测量校园内一棵 树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF) 放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E ·9 第22章图形的相似 处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰 好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测 量BF,DF,EF,观测者目高(CD)的长，利用测 得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥ BD于点D,EF⊥BD于点F,AB⊥BD于点B, BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7 米，则这棵树的高度(AB的长)是 米. 5.如图，已知零件的外径25mm, 现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC和BD相等，OC=OD)量零 件的内孔直径AB,若OC:AC =1:3,量得CD=10mm,则零 件的厚度为 —025 6.小华为了测量操场上旗杆的高度，她邀请了 好朋友小玲和小芳一同参加，她向体育组借 了一根长3米的标杆和皮尺，如图所示，小华 的眼睛(A)、标杆的顶部(C)、旗杆的顶部(E) 在同一直线上，测得小华的眼睛到地面的距 离(AB)为1.6米，小华的脚到标杆(CD)的底 部的距离为5米，到旗杆(EF)底部的距离为 30米，根据上述数据，请求出旗杆的高度，并 简述理由。 【能力提升】 7.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板 (Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点D在 边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC 上，若AF:AC=1：3,则这块木板截取正方形 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) CDEF后，剩余部分的面积为 B 8.如图，某一时刻大树AB的影子正好落在墙 DE上的C点，同时1.2m的标杆的影长为 3m,已知CD=4m,BD=6m,则大树的高度 是 9.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问 小军：“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考 片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长 来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线 NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点 (距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1 块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N 点11块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地 砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形 地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥ NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你根据以上信息， 求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01米） ·94 【创新探究】 10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC =5,AD=6,BC=12,动点P从D点出发沿 DC以每秒1个单位的速度向点C运动，动 点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的 速度向B点运动，两点同时出发，当P点到 达C点时，Q点随之停止运动 (1)梯形ABCD的面积等于 (2)当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 秒； (3)P,Q,C三点构成直角三角形时，P点离 开D点多长时间？【创】成立，理由略。【变式训练2】（①4(2②）一号号 课后演练 1.B2.C3.B4.610125.(1)3(2)6.1 7.(W5-1)cm或(3-5)cm8.2w3或23或子3 9.(1)四条线段a,b,c,d成比例(2)d=5cm 10.k的值为2或一111.D12.(W5一1) 13.a=15cm,b=20cm,c=25cm 4()当a+b+c≠0时，s=号X1X2=1 (2)当a+b+c=0时，S=号×1X1=分 第2课时平行线分线段成比例 基础导学 3.平行 典例探究 【例1】C【变式训练1】B 【例2】C【变式训练2】C 课后演练 1A2.D3.B4. 5.5:86.15107.440cm 8DM=7.5EK=6KF=109BD=2.1m10.号 n号 12.证明略 13.(1)DE=9.(2)BE=11. 22.2相似图形 基础导学 1.成比例相等2.相似比 典例探究 【例1】c与(1)相似；d与(2)相似 【变式训练1】B【变式训练2】C 【例2】AE:EB=AD:EF=3:2W3=√3：2 【变式训练3】21cm 【变式训练4】(1)AD=4W2(2)W2:2 课后演练 1.D2.D3.B4.C5.1:2 6.√10：47.27cm28.5cm或20cm 9.x=6,y=12,z=6,∠a=118°，∠3=70°10.1.8 1.5十112.是黄金矩形，证明略 2 3g 指南针·课堂优化 22.3相似三角形 第1课时相似三角形 基础导学 1.相等成比例相似比全等2.相似 典例探究 【例1】(1)∠AED=40°，∠ADE=95°(2)DE=43.75(cm) 【变式训练1】3：55：33：5 【例2】D【变式训练2】C 【3】(1)证明略(2BC=DFCE-4X号=6， DG 【变式训练3】AE=4 课后演练 1.B2.C3.D4.125.√2：16.4 7.(1)AB=5(2)∠BCD=30°，∠BDC=105° 8.∠ADE=45,AC=21 9.C10.113°或92°11.DF:FC=1:2 12.另两边的长为12cm,36cm或10cm,25cm 第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 相等 典例探究 【例1】共有6对相似三角形，理由略。 【变式训练1】(1)C(2)C【例2】证明略 【变式训练2】证明略 课后演练 1.A2.C3.C4.95.30°6.1 7.(1)证明略(2)OM=58证明略92或8 10.2十211.①②③12.(1)证明略(2)BP= 3 .32 13.(1)t=1或；(2)t=8 第3课时相似三角形的判定（二） 基础导学 成比例夹角 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】(1)C(2)C(3)C 九年级上册·数学(HS) 【例2】(1)证明略(2)猎想：器=（或是 ).证明略 课后演练 【变式训练2】证明略 1.C2B3D4B55m6号 课后演练 7.(1)证明略(2)72cm8.A9.D10.证明略 :1.D2.D3.D4.B5.∠A=∠D 11.(1)∠AED=60°(2)证明略(3)证明略 6船 7.∠APE=90°或BP=2PC 第6课时相似三角形的应用 基础导学 8.BC=89.8.4或2或12 1号25 11.证明略 2.对应边对应角对应高对应中线对应角平分线 12.(1)略(2)当t=2时，△OMNc△OBA 周长面积3.比例 第4课时相似三角形的判定（三） 典例探究 【例1】10米【变式训练1】AB=3(米) 基础导学 1.三边三边 【例2】甲同学设计的方案较好，理由略 2.(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成 课后演练 比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例 1.A2.B3.C4.4.15.2.5mm6.旗杆高10米 7.1008.6.4m9.小军身高约为1.75米 的两个三角形相似 典例探究 10.(1)36 2号 (3)秒或票秒 【例1】略【变式训练1】△ADEC∽△ABD,理由略 专题练习3相似三角形的基本模型 【例2】证明略【变式训练2】(1)证明略(2)相似，理由 类型11.D2.B类型23.C4.12类型35.C 略(3)图略 6.(1)证明略(2)AE=9. 课后演练 类型47.D8.A类型59.B10.B类型611.C 1.A2.B3.C4∠BAC-∠EDF或器=合等 EF 12.(1)证明略(2)EC的长为9. 5.(1,0)(-1,0) 6.135°7.证明略8.略 22.4位似图形 9510.10或9 基础导学 11.矩形的长是10，宽是8 1.位似图形位似中心 12.(1)证明略(2)∠AEB=0成立，理由略 2.位似中心相似比相似比相似比的平方 第5课时相似三角形的性质 3.位似中心对应点各对应点 基础导学 典例探究 1.对应边 对应角2.对应高 对应中线 对应角的平分线：【例1】C【例2】B【变式训练1】(1)B(2)A 3.相似比4.相似比的平方 【斛】图路【酬】（图略2号=立 (3)图略 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】证明略 课后演练 1.D2.C3.D4.0.55.1:46.4:97.图略 【例2】 SACOB 8.(1)点A'的坐标为(-1，一2)； 【变式训练2】(1)B(2)27 (2)图略，△A1BC1的面积=12； 【例3】(1)S△aPw=2(cm) (2)AE:AD=3 (3)点D的坐标为（一2，一2），（一4,2），(2,2). 3 【变式训练3】(1)证明略(2)S四边形A8Cn=24 9.A10.（-8,-3)或(4,3)1证明略2.号 40