22.3.5 相制三角形的性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【创】成立，理由略。【变式训练2】（①4(2②）一号号 课后演练 1.B2.C3.B4.610125.(1)3(2)6.1 7.(W5-1)cm或(3-5)cm8.2w3或23或子3 9.(1)四条线段a,b,c,d成比例(2)d=5cm 10.k的值为2或一111.D12.(W5一1) 13.a=15cm,b=20cm,c=25cm 4()当a+b+c≠0时，s=号X1X2=1 (2)当a+b+c=0时，S=号×1X1=分 第2课时平行线分线段成比例 基础导学 3.平行 典例探究 【例1】C【变式训练1】B 【例2】C【变式训练2】C 课后演练 1A2.D3.B4. 5.5:86.15107.440cm 8DM=7.5EK=6KF=109BD=2.1m10.号 n号 12.证明略 13.(1)DE=9.(2)BE=11. 22.2相似图形 基础导学 1.成比例相等2.相似比 典例探究 【例1】c与(1)相似；d与(2)相似 【变式训练1】B【变式训练2】C 【例2】AE:EB=AD:EF=3:2W3=√3：2 【变式训练3】21cm 【变式训练4】(1)AD=4W2(2)W2:2 课后演练 1.D2.D3.B4.C5.1:2 6.√10：47.27cm28.5cm或20cm 9.x=6,y=12,z=6,∠a=118°，∠3=70°10.1.8 1.5十112.是黄金矩形，证明略 2 3g 指南针·课堂优化 22.3相似三角形 第1课时相似三角形 基础导学 1.相等成比例相似比全等2.相似 典例探究 【例1】(1)∠AED=40°，∠ADE=95°(2)DE=43.75(cm) 【变式训练1】3：55：33：5 【例2】D【变式训练2】C 【3】(1)证明略(2BC=DFCE-4X号=6， DG 【变式训练3】AE=4 课后演练 1.B2.C3.D4.125.√2：16.4 7.(1)AB=5(2)∠BCD=30°，∠BDC=105° 8.∠ADE=45,AC=21 9.C10.113°或92°11.DF:FC=1:2 12.另两边的长为12cm,36cm或10cm,25cm 第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 相等 典例探究 【例1】共有6对相似三角形，理由略。 【变式训练1】(1)C(2)C【例2】证明略 【变式训练2】证明略 课后演练 1.A2.C3.C4.95.30°6.1 7.(1)证明略(2)OM=58证明略92或8 10.2十211.①②③12.(1)证明略(2)BP= 3 .32 13.(1)t=1或；(2)t=8 第3课时相似三角形的判定（二） 基础导学 成比例夹角 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】(1)C(2)C(3)C 九年级上册·数学(HS) 【例2】(1)证明略(2)猎想：器=（或是 ).证明略 课后演练 【变式训练2】证明略 1.C2B3D4B55m6号 课后演练 7.(1)证明略(2)72cm8.A9.D10.证明略 :1.D2.D3.D4.B5.∠A=∠D 11.(1)∠AED=60°(2)证明略(3)证明略 6船 7.∠APE=90°或BP=2PC 第6课时相似三角形的应用 基础导学 8.BC=89.8.4或2或12 1号25 11.证明略 2.对应边对应角对应高对应中线对应角平分线 12.(1)略(2)当t=2时，△OMNc△OBA 周长面积3.比例 第4课时相似三角形的判定（三） 典例探究 【例1】10米【变式训练1】AB=3(米) 基础导学 1.三边三边 【例2】甲同学设计的方案较好，理由略 2.(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成 课后演练 比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例 1.A2.B3.C4.4.15.2.5mm6.旗杆高10米 7.1008.6.4m9.小军身高约为1.75米 的两个三角形相似 典例探究 10.(1)36 2号 (3)秒或票秒 【例1】略【变式训练1】△ADEC∽△ABD,理由略 专题练习3相似三角形的基本模型 【例2】证明略【变式训练2】(1)证明略(2)相似，理由 类型11.D2.B类型23.C4.12类型35.C 略(3)图略 6.(1)证明略(2)AE=9. 课后演练 类型47.D8.A类型59.B10.B类型611.C 1.A2.B3.C4∠BAC-∠EDF或器=合等 EF 12.(1)证明略(2)EC的长为9. 5.(1,0)(-1,0) 6.135°7.证明略8.略 22.4位似图形 9510.10或9 基础导学 11.矩形的长是10，宽是8 1.位似图形位似中心 12.(1)证明略(2)∠AEB=0成立，理由略 2.位似中心相似比相似比相似比的平方 第5课时相似三角形的性质 3.位似中心对应点各对应点 基础导学 典例探究 1.对应边 对应角2.对应高 对应中线 对应角的平分线：【例1】C【例2】B【变式训练1】(1)B(2)A 3.相似比4.相似比的平方 【斛】图路【酬】（图略2号=立 (3)图略 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】证明略 课后演练 1.D2.C3.D4.0.55.1:46.4:97.图略 【例2】 SACOB 8.(1)点A'的坐标为(-1，一2)； 【变式训练2】(1)B(2)27 (2)图略，△A1BC1的面积=12； 【例3】(1)S△aPw=2(cm) (2)AE:AD=3 (3)点D的坐标为（一2，一2），（一4,2），(2,2). 3 【变式训练3】(1)证明略(2)S四边形A8Cn=24 9.A10.（-8,-3)或(4,3)1证明略2.号 40猜想∠AEB=0是否成立？请说明理由. 图1 图2 第22章图形的相似 第5课时 相似三角形的性质 基 础 导 学 1.相似三角形 成比例， 相等 2.相似三角形 的比， 的比， 的比都等于相 似比. 3.相似三角形的周长的比等于 4.相似三角形的面积比等于 典 例探究 考点① 利用相似三角形的性质证等积式 【例1】如图，在△ABC中， ∠A=36°，AB=AC,BD是 ∠ABC的平分线，设CD=a,AD =b,AB=c,求证：b2=ac. 87· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 考点2)有关相似三角形的周长与面积的计算 【变式训练1】如图，E为AD上一点，若 ∠DAC=∠B,CD=CE,求证：CD·BD=AD·AE. 【例2】如图所示，梯形ABCD中，AD∥ BC,对角线AC和BD相交于点O,若S△AoD: S△4cD=1:3,求S△40D:S△B0c. --- 规律与方法：由线段的比求面积的比或由面 积的比求线段的比时，分两种情况：(1)这两个图形 若是相似图形，则面积的比等于相似比的平方；(2) 这两个图形不相似，则可以寻找它们的底与高之间 的关系，看是否有同底或同高. 【变式训练2】(1)（贵阳中考）如图，在 △ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD, AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的周长 比是 () A.1:√2 B.1:2 C.1:3 D D.1:4 (2)(阜新中考)如图，在矩形ABCD中，E 是AD边上一点，且AE=2DE,BD与CE相交 于点F,若△DEF的面积是3，则△BCF的面积 是 考点③相似三角形性质的综合运用 【例3】如图，PN∥BC,AD⊥BC交PN 于点E,交BC于点D. (1)若AP:PB=1:2,S△4Bc=18cm,求 △APN的面积； (2)若、SAPw 1 S四边形PBCN 2,求 铝的值， 规律与方法：本题考查相似三角形性质的灵 活运用，注意由面积比求相似比时要开算术平 方根. 【变式训练3】如图，□ABCD中，E是CD 的延长线上一点，BE与AD交于点F,DE= tc (1)求证：△ABFO△CEB; (2)若△DEF的面积为2，求平行四边形 ABCD的面积. 课后演练 【基础过关】 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 上，且铝=光=方，则Sam·Sm的 值为 A.1:√3 B.1:2 C.1:3 D.1:4 第22章图移的相似 2.(河南中考)如图，在□ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,点E为OC的中点，EF∥AB 交BC于点F.若AB=4,则EF的长为() A司 B.1 c号 D.2 3.如图，□ABCD,F为BC的中点，延长AD至 E,使DE：AD=1:3,连结EF交DC于点 G,则SADG·SACFG= () A.2:3B.3:2 C.9:4D.4:9 D 第3题图 第4题图 4.(贺州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC,DE =2,BC=5,则S△ADE:SAABCI的值是() A房B秀C号 D.景 5.△ABC中，BC=54cm,CA=45cm,AB=66cm, 另一个与它相似的三角形的最短边为15cm,则 另一个三角形的周长为 6.(乐山中考)如图，在平行四边形ABCD中，E 是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F 若带号则 9S△AEF 7.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片. AD是边BC上的高，BC=40cm,AD= 30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽 HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在 9 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与 HG的交点为M. ①求证兴积 (2)求这个矩形EFGH的周长. 【能力提升】 8.如图，在△ABC中，点D,E为边AB的三等 分点，点F,G在边BC上，且AC∥DG∥EF, 点H为CE与DG的交点.若AC=10,则GH 的长为 () 5 A.3 B.2 C. D.3 D 第8题图 第9题图 9 9.(扬州中考)如图，在△ABC中，AB<AC,将 △ABC以点A为中心逆时针旋转得到 △ADE,点D在BC边上，DE交AC于点F. 下列结论：①△AFE∽△DFC;②DA平分 ∠BDE;③∠CDF=∠BAD,其中所有正确结 论的序号是 () A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 10.(上海中考)如图所示，在矩形ABCD中，E 为边CD上一点，且AE⊥BD.求证：AD= DE·DC 0· 【创新探究】 11.(泰安中考)如图，△ABC和△CDE均是等 腰直角三角形，EF⊥AD; (1)当AF=DF时，求∠AED; (2)求证：△EHG∽△ADG; 3)求证：品品 第22章图移的相从 第6课时相似三角形的应用 基础导 学 1.判断两个三角形相似的方法：(1)有两个 角对应相等的两个三角形是相似三角形；(2)两 边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)三边对应成比例的两个三角形相似， 2.相似三角形的性质：相似三角形的 成比例， 相等，相似三角形的 的比、 的比、 的比、 比都等于相似比；相似 三角形 的比等于相似比的平方】 3.我们可利用物高与影长成 ,测 量物体的高度， 典例探究 考点① 利用相似三角形的性质测量物体的 高度或宽度 【例1】赵亮同学利用影长测学校旗杆长 度，如图所示，他在某一时刻竖立1米长的标杆 测得其影长为1.2米，同时，旗杆的投影一部分 在地面上，另一部分在某一建筑物的墙上，其投 影长度分别为9.6米和2米，求学校旗杆的 高度 2米 B9.6米C