22.3.3 相似三角形的判定(二)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【创】成立，理由略。【变式训练2】（①4(2②）一号号 课后演练 1.B2.C3.B4.610125.(1)3(2)6.1 7.(W5-1)cm或(3-5)cm8.2w3或23或子3 9.(1)四条线段a,b,c,d成比例(2)d=5cm 10.k的值为2或一111.D12.(W5一1) 13.a=15cm,b=20cm,c=25cm 4()当a+b+c≠0时，s=号X1X2=1 (2)当a+b+c=0时，S=号×1X1=分 第2课时平行线分线段成比例 基础导学 3.平行 典例探究 【例1】C【变式训练1】B 【例2】C【变式训练2】C 课后演练 1A2.D3.B4. 5.5:86.15107.440cm 8DM=7.5EK=6KF=109BD=2.1m10.号 n号 12.证明略 13.(1)DE=9.(2)BE=11. 22.2相似图形 基础导学 1.成比例相等2.相似比 典例探究 【例1】c与(1)相似；d与(2)相似 【变式训练1】B【变式训练2】C 【例2】AE:EB=AD:EF=3:2W3=√3：2 【变式训练3】21cm 【变式训练4】(1)AD=4W2(2)W2:2 课后演练 1.D2.D3.B4.C5.1:2 6.√10：47.27cm28.5cm或20cm 9.x=6,y=12,z=6,∠a=118°，∠3=70°10.1.8 1.5十112.是黄金矩形，证明略 2 3g 指南针·课堂优化 22.3相似三角形 第1课时相似三角形 基础导学 1.相等成比例相似比全等2.相似 典例探究 【例1】(1)∠AED=40°，∠ADE=95°(2)DE=43.75(cm) 【变式训练1】3：55：33：5 【例2】D【变式训练2】C 【3】(1)证明略(2BC=DFCE-4X号=6， DG 【变式训练3】AE=4 课后演练 1.B2.C3.D4.125.√2：16.4 7.(1)AB=5(2)∠BCD=30°，∠BDC=105° 8.∠ADE=45,AC=21 9.C10.113°或92°11.DF:FC=1:2 12.另两边的长为12cm,36cm或10cm,25cm 第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 相等 典例探究 【例1】共有6对相似三角形，理由略。 【变式训练1】(1)C(2)C【例2】证明略 【变式训练2】证明略 课后演练 1.A2.C3.C4.95.30°6.1 7.(1)证明略(2)OM=58证明略92或8 10.2十211.①②③12.(1)证明略(2)BP= 3 .32 13.(1)t=1或；(2)t=8 第3课时相似三角形的判定（二） 基础导学 成比例夹角 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】(1)C(2)C(3)C 九年级上册·数学(HS) 【例2】(1)证明略(2)猎想：器=（或是 ).证明略 课后演练 【变式训练2】证明略 1.C2B3D4B55m6号 课后演练 7.(1)证明略(2)72cm8.A9.D10.证明略 :1.D2.D3.D4.B5.∠A=∠D 11.(1)∠AED=60°(2)证明略(3)证明略 6船 7.∠APE=90°或BP=2PC 第6课时相似三角形的应用 基础导学 8.BC=89.8.4或2或12 1号25 11.证明略 2.对应边对应角对应高对应中线对应角平分线 12.(1)略(2)当t=2时，△OMNc△OBA 周长面积3.比例 第4课时相似三角形的判定（三） 典例探究 【例1】10米【变式训练1】AB=3(米) 基础导学 1.三边三边 【例2】甲同学设计的方案较好，理由略 2.(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成 课后演练 比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例 1.A2.B3.C4.4.15.2.5mm6.旗杆高10米 7.1008.6.4m9.小军身高约为1.75米 的两个三角形相似 典例探究 10.(1)36 2号 (3)秒或票秒 【例1】略【变式训练1】△ADEC∽△ABD,理由略 专题练习3相似三角形的基本模型 【例2】证明略【变式训练2】(1)证明略(2)相似，理由 类型11.D2.B类型23.C4.12类型35.C 略(3)图略 6.(1)证明略(2)AE=9. 课后演练 类型47.D8.A类型59.B10.B类型611.C 1.A2.B3.C4∠BAC-∠EDF或器=合等 EF 12.(1)证明略(2)EC的长为9. 5.(1,0)(-1,0) 6.135°7.证明略8.略 22.4位似图形 9510.10或9 基础导学 11.矩形的长是10，宽是8 1.位似图形位似中心 12.(1)证明略(2)∠AEB=0成立，理由略 2.位似中心相似比相似比相似比的平方 第5课时相似三角形的性质 3.位似中心对应点各对应点 基础导学 典例探究 1.对应边 对应角2.对应高 对应中线 对应角的平分线：【例1】C【例2】B【变式训练1】(1)B(2)A 3.相似比4.相似比的平方 【斛】图路【酬】（图略2号=立 (3)图略 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】证明略 课后演练 1.D2.C3.D4.0.55.1:46.4:97.图略 【例2】 SACOB 8.(1)点A'的坐标为(-1，一2)； 【变式训练2】(1)B(2)27 (2)图略，△A1BC1的面积=12； 【例3】(1)S△aPw=2(cm) (2)AE:AD=3 (3)点D的坐标为（一2，一2），（一4,2），(2,2). 3 【变式训练3】(1)证明略(2)S四边形A8Cn=24 9.A10.（-8,-3)或(4,3)1证明略2.号 40指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【创新探究】 13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm,BC-8cm,动点P从点B出发，在BA 边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动， 同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒 4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t 秒(0<t<2),连结PQ (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值； (2)连结AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值 ·8 第3课时 相似三角形的判定（二） 基础 导学 如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应 ,并且 相等， 那么这两个三角形相似. 典例 探究 考点①三角形相似的判定（二） 【例1】已知：如图所示，在正方形ABCD 中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的 中点，求证：△ADQ∽△QCP. 规律与方法：识别两三角形相似，要根据题 目条件，从不同角度选择恰当方法.一般思路是： 先找两对角对应相等，若只有一角对应相等，再 找夹这个角的两边的比是否相等，若出现平行 线，可直接考虑基本图形 【变式训练1】(1)如图，已知△ABC,则下 列4个三角形中，与△ABC相似的是() 40d 30° 、750 5 A C (2)下列四组图形中一定相似的是( A.各有一个内角为40°的两个等腰三角形 B.有两边之比2：3的两个三角形 C.两直角边之比为3：4的两个直角三 角形 D.各有一个外角为100°的等腰三角形 (3)能判定△ABC与△A'B'C'相似的条 件是 () 铝怨 AC B怨-A怒A∠A-∠C C0B瓷且∠B=∠B BC D常-怨且∠B=B 考点②相似三角形判定与性质的综合运用 【例2】如图所示，点E是四边形ABCD 的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC =∠DAE. (1)求证：BE·AD=CD·AE. (2根据图形特点，猜想可能等于哪两 条线段的比？（注：只需写出图中已有线段的一 第22章图形的相似 组比即可)并证明你的猜想. 规律与方法：本题主要考查通过证明两三角 形相似得出比例线段的方法，关键在于熟练掌握相 似三角形的判定方法和性质，这类猜想比例线段问 题，要把给出的线段放回三角形中去观察探索. 【变式训练2】如图，网格中的每个小正方 形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格 点，△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的 延长线交AB于点F, (1)求证：△ACB∽△DCE; 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) (2)求证：EF⊥AB. 课后演练 【基础过关】 1.根据下列条件，不能判定△ABC和△DEF相 似的是 () A.∠A=40°，∠B=∠E=58°，∠D=82° B∠A=∠D=40,怨-流 C∠c=∠F=40,器器 D∠A-∠D-40,器腮 2.如图1，图2，根据图中所标注的数据，能够推 得三角形①与②相似的是 () 35 ① ② 75C 0° 6 7 图1 图2 A.都相似 B.都不相似 C.只有图1相似 D.只有图2相似 3.△ABC中，∠A=30°，BD是AC边上的高，若 器品，则∠AC的度数为 A.30° B.60° C.90° D.30°或90° 8 4.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、 AB上，且代-日AE-BE,则有 A.△AEDP△BED B.△AEDP△CBD C.△AED∽△ABD D.△BADP△BCD 5.在△ABC中，AB=8,AC=6,在△DEF中， DE=4,DF=3,要使△ABC与△DEF相似， 则需添加的一个条件是 (写出 种情况即可). 6,如图，点D在△ABC的AB边上，当把 时，△ACD与△ABC相似. 2 第6题图 第7题图 7.如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中 点，P是BC上一点，要使△ABP与△ECP相 似，还需具备一个条件是 8.△ABC中，∠A=60°，BE,CD为高，DE=4, 求BC的长， 2· 【能力提升】 9.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4, 12: BD=14.点P在BD上移动，当以P,C,D为 顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长 为 10.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB, MN=1,线段MN的两端点在CB,CD上滑 动，当CM 时，△AED与以 M,N,C为顶点的三角形相似， 11.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上 移动（点E不与点B,C重合），满足∠DEF= ∠B,且点D,F分别在边AB,AC上. (1)求证：△BDEp△CEF (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE 平分∠DFC. ·83· 第22章图形的相似 【创新探究】 如图，甲、乙两人分别从A(1,w3),B(6,0)两 点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方 向，乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，t h后，甲到达M点，乙到达N点， (1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与 AB不可能平行； (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA.