22.3.1 相似三角形-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【创】成立，理由略。【变式训练2】（①4(2②）一号号 课后演练 1.B2.C3.B4.610125.(1)3(2)6.1 7.(W5-1)cm或(3-5)cm8.2w3或23或子3 9.(1)四条线段a,b,c,d成比例(2)d=5cm 10.k的值为2或一111.D12.(W5一1) 13.a=15cm,b=20cm,c=25cm 4()当a+b+c≠0时，s=号X1X2=1 (2)当a+b+c=0时，S=号×1X1=分 第2课时平行线分线段成比例 基础导学 3.平行 典例探究 【例1】C【变式训练1】B 【例2】C【变式训练2】C 课后演练 1A2.D3.B4. 5.5:86.15107.440cm 8DM=7.5EK=6KF=109BD=2.1m10.号 n号 12.证明略 13.(1)DE=9.(2)BE=11. 22.2相似图形 基础导学 1.成比例相等2.相似比 典例探究 【例1】c与(1)相似；d与(2)相似 【变式训练1】B【变式训练2】C 【例2】AE:EB=AD:EF=3:2W3=√3：2 【变式训练3】21cm 【变式训练4】(1)AD=4W2(2)W2:2 课后演练 1.D2.D3.B4.C5.1:2 6.√10：47.27cm28.5cm或20cm 9.x=6,y=12,z=6,∠a=118°，∠3=70°10.1.8 1.5十112.是黄金矩形，证明略 2 3g 指南针·课堂优化 22.3相似三角形 第1课时相似三角形 基础导学 1.相等成比例相似比全等2.相似 典例探究 【例1】(1)∠AED=40°，∠ADE=95°(2)DE=43.75(cm) 【变式训练1】3：55：33：5 【例2】D【变式训练2】C 【3】(1)证明略(2BC=DFCE-4X号=6， DG 【变式训练3】AE=4 课后演练 1.B2.C3.D4.125.√2：16.4 7.(1)AB=5(2)∠BCD=30°，∠BDC=105° 8.∠ADE=45,AC=21 9.C10.113°或92°11.DF:FC=1:2 12.另两边的长为12cm,36cm或10cm,25cm 第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 相等 典例探究 【例1】共有6对相似三角形，理由略。 【变式训练1】(1)C(2)C【例2】证明略 【变式训练2】证明略 课后演练 1.A2.C3.C4.95.30°6.1 7.(1)证明略(2)OM=58证明略92或8 10.2十211.①②③12.(1)证明略(2)BP= 3 .32 13.(1)t=1或；(2)t=8 第3课时相似三角形的判定（二） 基础导学 成比例夹角 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】(1)C(2)C(3)C 九年级上册·数学(HS) 【例2】(1)证明略(2)猎想：器=（或是 ).证明略 课后演练 【变式训练2】证明略 1.C2B3D4B55m6号 课后演练 7.(1)证明略(2)72cm8.A9.D10.证明略 :1.D2.D3.D4.B5.∠A=∠D 11.(1)∠AED=60°(2)证明略(3)证明略 6船 7.∠APE=90°或BP=2PC 第6课时相似三角形的应用 基础导学 8.BC=89.8.4或2或12 1号25 11.证明略 2.对应边对应角对应高对应中线对应角平分线 12.(1)略(2)当t=2时，△OMNc△OBA 周长面积3.比例 第4课时相似三角形的判定（三） 典例探究 【例1】10米【变式训练1】AB=3(米) 基础导学 1.三边三边 【例2】甲同学设计的方案较好，理由略 2.(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成 课后演练 比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例 1.A2.B3.C4.4.15.2.5mm6.旗杆高10米 7.1008.6.4m9.小军身高约为1.75米 的两个三角形相似 典例探究 10.(1)36 2号 (3)秒或票秒 【例1】略【变式训练1】△ADEC∽△ABD,理由略 专题练习3相似三角形的基本模型 【例2】证明略【变式训练2】(1)证明略(2)相似，理由 类型11.D2.B类型23.C4.12类型35.C 略(3)图略 6.(1)证明略(2)AE=9. 课后演练 类型47.D8.A类型59.B10.B类型611.C 1.A2.B3.C4∠BAC-∠EDF或器=合等 EF 12.(1)证明略(2)EC的长为9. 5.(1,0)(-1,0) 6.135°7.证明略8.略 22.4位似图形 9510.10或9 基础导学 11.矩形的长是10，宽是8 1.位似图形位似中心 12.(1)证明略(2)∠AEB=0成立，理由略 2.位似中心相似比相似比相似比的平方 第5课时相似三角形的性质 3.位似中心对应点各对应点 基础导学 典例探究 1.对应边 对应角2.对应高 对应中线 对应角的平分线：【例1】C【例2】B【变式训练1】(1)B(2)A 3.相似比4.相似比的平方 【斛】图路【酬】（图略2号=立 (3)图略 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】证明略 课后演练 1.D2.C3.D4.0.55.1:46.4:97.图略 【例2】 SACOB 8.(1)点A'的坐标为(-1，一2)； 【变式训练2】(1)B(2)27 (2)图略，△A1BC1的面积=12； 【例3】(1)S△aPw=2(cm) (2)AE:AD=3 (3)点D的坐标为（一2，一2），（一4,2），(2,2). 3 【变式训练3】(1)证明略(2)S四边形A8Cn=24 9.A10.（-8,-3)或(4,3)1证明略2.号 40格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 22.3 相似三角形 【变式训练1】如图，D,E分别在△ABC 第1课时 相似三角形 的边AB、AC上，△ADE∽△ABC,且AD= 3cm,BD=2cm,则△ADE与△ABC的相似比 基 础 导 学 为 ,△ABC与△ADE的相似比为 DE:BC= 1.相似三角形是指对应角 ,对应边 考 点②相似三角形对应边、对应角的识别 的两个三角形，用符号“)”表示，把对 【例2】 如图所示，△ABC∽△ADE, 应边的比叫 当相似比为1时，两个三 ∠ADE=∠B,则下列比例式正确的是() 角形为 三角形， AEAD 2.平行于三角形一边的直线所截得的三角 A.壶D元 形和原三角形 B.AF_AD ABAC 典 例 探 究 c怨 EC AD 考点1 相似三角形的定义 D. 器-品 【例1】如图所示，已知△ABC△ADE, AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,/BAC= 45°，∠ACB=40°. 求：(1)∠AED和∠ADE 规律与方法：找对应角、对应边的方法：对应 的度数； 角所对的边是对应边；最大角对的边是对应边； (2)DE的长 两对应角所夹的边是对应边；大边对应大边，小 边对应小边. 【变式训练2】（东营中考）如图，点D为 △ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点 E,连接BE、CD相交于点F,则下列等式中不成 立的是 ( A. AD AE DB一EC B. DE DF BC FC C. DE_AE BCEC 规律与方法：相似三角形的定义既是相似三 D. 角形的特征，又是三角形相似的识别方法， 74· 第22章图形的相极 考点③相似三角形的判定方法（平行法） 课 后 演练 【例3】如图，在□ABCD中，点E在边 BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE, 【基础过关】 EF与CD交于点G. (1)求证：BD∥EF; 1.如图，已知△ADEp△ABC,且DE:BC=2:3, 2瓷号6桃-4， 若AB=6cm,则AD的长为 () 求EC的长 A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 2.△ABC的三边长为W2,√10,2，△A'B'C的最 短边是1，最长边是5，如果△ABC∽△A'B C',那么△A'B'C的第三边长应为 () A.② B.2 C.√2 D.2√2 规律与方法：当题目中出现平行线，尤其是 3.如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线 出现这样的基本图形时，我们要首先考虑利用平 CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三 行线来证两个三角形相似， 角形有 () 【变式训练3】如图，在△ABC中，AB= 8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平 分线，BD交AC于点E,求AE的长， A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 4.已知△ABC0△A1B1C1,相似比为2：3， △A1B1C1△A2B2C2,相似比为3：4，则 △ABC和△A2B2C2的相似比为 5.如图是边长为1的小正方形组成的网格，△ABC 与△ABC1都是格点三角形（顶点在网格交点 处)，并且△ABC∽△A1BC1,则△ABC与△A BC1的相似比是 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，AB=9,AC=6,D为AB边 上一点，且△ABC∽△ACD,则AD= ·75· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 7.如图，△ABC∽△CBD,BC=√5，DB=1,∠A 的“和谐分割线”.如图，线段CD是△ABC =30°，∠B=45°. 的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形， (1)求AB的长； △BCD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB (2)求∠BCD和∠BDC的度数. 的度数为 11.如图所示，□ABCD中，AC与BD相交于点 O,E为OD的中点，连结AE并延长交DC 于点F,求DF:FC的值 8.如图，△ADEn△ABC,∠A=70°，∠B=45°， AE=3cm,EB=4cm,AD=4cm,求∠ADE 的度数及AC的长， 【创新探究】 【能力提升】 12.已知△ABC的三边长分别为20cm,50cm, 9.(巴中中考)如图，是用12个相似的直角三角 60cm,现要利用长度分别为30cm和60cm 形组成的图案.若OA=1,则OG= () 的旧木条各一根，做一个三角形木架与 A.1255 B △ABC相似，要求以其中一根为边，将另一 64 根截成两段（允许有余料）作为另两边，求另 C. 64 D.323 外两边的长度. 27 27 第9题图 第10题图 10.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的 线段把三角形分成两个小三角形，如果其中 一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三 角形相似，那么把这条线段定义为原三角形 ·76·