21.3.2 增长率问题-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【例2】(1a==5,(2a=2,4=-号 1 (3)m==2;（4)原方程无实数解。 【变式训练1】2-98179十厘9-V回 4 【使武训练2】涵=2生5a2≥5 ②a-t区%-1 6 【例3】(1)m=3+5 ,235(2)x1=1+3,2一 5,(3=-2a=-9:0m=14a=-12 课后演练 1D2B3D4C5是 6号或-号 7.x1=-2,x2=4 80=1+9a=1-9 2 (2)1=为=35 9.1m=分%=-1(2)m=1+5,=15 2 ,2= (8a=18,=-号 10（①=%a=1（2m=2或3 11.a=-5+3 ,6=-5-37 6 6 第5课时根的判别式 基础导学 1.-4ac△=B-4ac 2.(1)两个实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根(2)无实根 典例探究 【例1】(1)此方程有两个相等的实数根 (2)此方程没有实数根 (3)此方程有两个不相等的实数根 (4)此方程有两个不相等的实数根【变式训练1】A 【例2】原方程可化为：x2-3x十2一m2=0,△=4m2十1> 0,结论成立. 【例3】(1)k<4且≠0.(2)k=4.(3)k>4. 【变式训练2】(1)B(2)2或-1(3)a≥-1 【变式训练3】(1)原方程总有两个实数根 37 指南针·课堂优化· (2)存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶数 课后演练 1.A2.C3D4B5.(1m<号 (2)k≥-6 6.17.等腰三角形（非等边三角形） 8.(1)当m<1且m≠一1时，方程有两个不相等的实数根； (2)方程不可能有两个相等的实数根； (3)当m>1时，方程没有实数根， ,Qk≤是（②m的值为号 10.B11.a>-4 12.(1)m>3(2)-2 13.(1)证明略(2)y=2(m>0) m (3)在同-直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与y 2m(m>0)的图象，由图象可得：当m≥1时，y≤2m. 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.≥ -p92.-6日 ≥ 3.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥≥0 典例探究 【例1】x2= 5 7 ,m=- 【变式训练1】B 【例2】13【变式训练2】1)-号 (2)17 【例3】m=3 【变式训练3】(1)k的取值范围是：k>2(2)k的值为=3 【例)所求方程为t-一是x十名=0【变式训练)D 课后演练 1D2.C32445.1236号7m> 8.(1)证明略(2)m的值为一2或1 9.一1510.一511.2312.(1)k>1(2)k的值为2 13.(1①m=-5,m=6(2)号或2(3)正整数c的最小值是3 专题练习2与一元一次方程 有关的阅读理解题 类型1 1.(1)1=√2，x2=-√2,3=3，x4=-√5 (2)5或45±7V厘 41 4 (3)15 九年级上册·数学(HS) 类型2 (3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x, 2.(1)AC(2)顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，图略 第二年Q值因乙方案治理降低了100m=100×0.3=30, (3)可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）. (30-a)十2a=39.5,a=9.5,x=30-a=20.5. 类型3 12.(1)该商城4月份卖出125辆自行车 3.0)号 - 2号 (3)士√17 (2)该商城应进人A型车34辆，B型车13辆 第21章《一元二次方程》专题复习 21.3 实践与探究 【例1】A【例2】m=√2时，原方程为一元二次方程. 第1课时数字、面积问题 【例3】C【例4)a2+形=5. 基础导学 1.审题等量关系数学问题 【50✉=9&=专：2)a=3,=号； 典例探究 【例1】这三个奇数分别是：一3，一1,1或15,17,19. 【例2】这个两位数是68.【变式训练1】这个两位数为36 【例6)B【例7】a≥-1 【例3】道路的宽为2m 【例8】(1)证明略(2)△ABC的周长为a+b+c=10. 【变式训练2】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米 【例9】每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元 课后演练 第21章章末测试 1.A2.B3.A4.A5.-3或516.97.28.24cm 1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.B 9.(1)长40m,宽20m(2)1500m2 9.=a=510.>-111.-412.-号 10.这个两位数为2411.(1)5s(2)1.6s或4.8s 12.分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形 13.34号小号 的面积是450cm. 15.(10m=3+√页，2=3-(2)x1=8, 33=2 第2课时增长率问题 (3)=2m,x2=3m 4 基础导学 基数变动后的数增长（或降低）的百分率 16.四 x=-b土VF-4ac x=6,x2=-4 典例探究 2a 【例1】(1)2.6(1十x);(2)可变成本平均每年增长的百17.(1)4月份再生纸的产量为500吨 分率为10%. (2)m的值为20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【例2】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20% 18.(1)1秒(2)2秒(3)不能 【变式训练1】每顶头盔应降价20元 第22章图形的相似 【变式训练2】(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低 20元. 22.1 成比例线段 课后演练 第1课时成比例线段 1.A2.B3.B4.C5.200(1+x)2=401 基础导学 6.60+60(1+x)+60(1+x)2=2007.25% 1.成比例线段 2合=台34号 d 8.(1)从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 典例探究 率为20%；(2)下调后每架无人机的售价为2万元 9.(1)y=一10x+1000(2)50万元/台10.30% 【a0-号②2-8÷13=0 169 11.(1)n=0.3 【例2】(1)(2)不是(3)(4)是 1 (2)m=2 第二年用乙方案新治理的工厂数量为60家 【变式训练】D【刚3】兰=子 38【创新探究】 12.如图，AO=OB=50cm,OC是一条射线，OC ⊥AB,一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速 度沿O℃方向爬行，是否存在这样的时刻，使 两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为 450cm2? ·5 第21章一元二次方程 第2课时增长率问题 基础导学 增长（降低）率问题：如果商品经过两次降 价（或涨价），每次降价（或涨价）的百分率相同， 那么降价（或涨价）前后的关系可用a(1-x)2= b或a(1+x)2=b表示，其中a表示 ,6 表示 ,x表示 典例探究 考点①增长（降低）率问题 【例1】某养殖户每年的养殖成本包括固 定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万 元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的 可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长 的百分率为x. (1)用含x的代数式表示第3年的可变成 本为 万元 (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率x 【例2】某商场购进一批台灯，9月销售 400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加， 11月的销售量达到576个，设10月和11月这 两个月的销售量月平均增长率不变.求10月和 11月这两个月的销售量月平均增长率. 5· 指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 规律与方法：解此类问题需牢记公式a(1十 x)”=b或a(1一x)”=b解答此类问题所列的方 程，一般用直接开平方法求解.注意增长率不能 为负数，降低率不能大于1. 【变式训练1】平安路上，多“盔”有你.在 “交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔， 进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周 可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每顶 售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平 均每周可多售出40顶.若该商店希望平均每周 获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价 多少？ 【变式训练2】某网店为了弘扬航天精神， 致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型.今年9 月份的销售量是500件，11月份的销售量是 720件. (1)若该网店9月份到11月份销售量的月 平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模 型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每 天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出 2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽 量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元， ·5 则售价应降低多少元？ 课后演练 【基础过关】 1.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 200元降到162元.设平均每次降价的百分率 为x,根据题意可列方程为 () A.200(1-x)2=162B.200(1+x)2=162 C.162(1+x)2=200D.162(1-x)2=200 2.眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区， 该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水 稻亩产量。若该村水稻亩产量从前年的670 千克增长到了今年的780千克，设村水稻亩产 量年平均增长率为x,则可列方程为() A.670×(1+2x)=-780 B.670×(1+x)2=780 C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780 3.(南通中考)李师傅家的超市今年1月盈利 3000元，3月盈利3630元.若从1月到3月， 每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均 增长率是 () A.10.5%B.10%C.20%D.21% 4.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度 生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每 月的增长率为x,那么x满足的方程是() A.50(1+x)2=196 B.50+50(1+x)2=196 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196 5.(重庆中考)重庆在低空经济领域实现了新的 突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行 了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全 运行将达到401架次.设第二、第三两个季度 安全运行架次的平均增长率为x,根据题意， 可列方程为 6.某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季 度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的 增长率是多少？若2、3月份平均每月的增长 率是x,则可列方程为 .(不要求化简) 7.某公司4月份的利润为160万元，要使6月份 的利润达到250万元，则平均每月增长的百分 率是 8.随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业 无人机正逐渐成为现代农业的重要装备 (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量 为3千架.随着春耕备耕需求激增，该品牌无 人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到 4.32千架.求从1月份到3月份该品牌无人 机销售量的月平均增长率 (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人 机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时 间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周 售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周 多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每 周的利润达到45万元.求下调后每架无人机 的售价. 57 第21章一元二次方程 9.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效 益.某科技公司近期研发出一种新型高科技 设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调 研发现，每台售价为40万元时，年销售量为 600台；每台售价为45万元时，年销售量为 550台.假定该设备的年销售量y(单位：台) 和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系. (1)求年销售量y与销售单价x的函数关 系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高 于70万元，如果该公司想获得10000万元的 年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 格南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS》 【能力提升】 10.某工厂搞技术革新，使产品成本下降，两年下降 了51%，则平均每年下降的百分率为 11.某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长 江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂 污染物排放，分别用“生活污水集中处理” (下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”（下称 乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q, 沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完 工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降 低的Q值都以平均值n计算.第一年有40 家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12. 经过三年治理，境内长江水质明显改善 (1)求n的值； (2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工 厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三 年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求 m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工 厂数量； (3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年 起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一 个相同的数值α.在(2)的情况下，第二年，用 乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当 年因甲方案治理降低的Q值相等.第三年， 用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲 方案治理降低的Q值及a的值. ·58 【创新探究】 12.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们 喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量 逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64 辆，3月份销售了100辆. (1)若该商城前4个月自行车销量的月平均增 长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投 入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆， B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。 根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但 不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售 完，为使利润最大，该商城应如何进货？