21.3.1 数字、面积问题-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【例2】(1a==5,(2a=2,4=-号 1 (3)m==2;（4)原方程无实数解。 【变式训练1】2-98179十厘9-V回 4 【使武训练2】涵=2生5a2≥5 ②a-t区%-1 6 【例3】(1)m=3+5 ,235(2)x1=1+3,2一 5,(3=-2a=-9:0m=14a=-12 课后演练 1D2B3D4C5是 6号或-号 7.x1=-2,x2=4 80=1+9a=1-9 2 (2)1=为=35 9.1m=分%=-1(2)m=1+5,=15 2 ,2= (8a=18,=-号 10（①=%a=1（2m=2或3 11.a=-5+3 ,6=-5-37 6 6 第5课时根的判别式 基础导学 1.-4ac△=B-4ac 2.(1)两个实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根(2)无实根 典例探究 【例1】(1)此方程有两个相等的实数根 (2)此方程没有实数根 (3)此方程有两个不相等的实数根 (4)此方程有两个不相等的实数根【变式训练1】A 【例2】原方程可化为：x2-3x十2一m2=0,△=4m2十1> 0,结论成立. 【例3】(1)k<4且≠0.(2)k=4.(3)k>4. 【变式训练2】(1)B(2)2或-1(3)a≥-1 【变式训练3】(1)原方程总有两个实数根 37 指南针·课堂优化· (2)存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶数 课后演练 1.A2.C3D4B5.(1m<号 (2)k≥-6 6.17.等腰三角形（非等边三角形） 8.(1)当m<1且m≠一1时，方程有两个不相等的实数根； (2)方程不可能有两个相等的实数根； (3)当m>1时，方程没有实数根， ,Qk≤是（②m的值为号 10.B11.a>-4 12.(1)m>3(2)-2 13.(1)证明略(2)y=2(m>0) m (3)在同-直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与y 2m(m>0)的图象，由图象可得：当m≥1时，y≤2m. 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.≥ -p92.-6日 ≥ 3.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥≥0 典例探究 【例1】x2= 5 7 ,m=- 【变式训练1】B 【例2】13【变式训练2】1)-号 (2)17 【例3】m=3 【变式训练3】(1)k的取值范围是：k>2(2)k的值为=3 【例)所求方程为t-一是x十名=0【变式训练)D 课后演练 1D2.C32445.1236号7m> 8.(1)证明略(2)m的值为一2或1 9.一1510.一511.2312.(1)k>1(2)k的值为2 13.(1①m=-5,m=6(2)号或2(3)正整数c的最小值是3 专题练习2与一元一次方程 有关的阅读理解题 类型1 1.(1)1=√2，x2=-√2,3=3，x4=-√5 (2)5或45±7V厘 41 4 (3)15 九年级上册·数学(HS) 类型2 (3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x, 2.(1)AC(2)顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，图略 第二年Q值因乙方案治理降低了100m=100×0.3=30, (3)可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）. (30-a)十2a=39.5,a=9.5,x=30-a=20.5. 类型3 12.(1)该商城4月份卖出125辆自行车 3.0)号 - 2号 (3)士√17 (2)该商城应进人A型车34辆，B型车13辆 第21章《一元二次方程》专题复习 21.3 实践与探究 【例1】A【例2】m=√2时，原方程为一元二次方程. 第1课时数字、面积问题 【例3】C【例4)a2+形=5. 基础导学 1.审题等量关系数学问题 【50✉=9&=专：2)a=3,=号； 典例探究 【例1】这三个奇数分别是：一3，一1,1或15,17,19. 【例2】这个两位数是68.【变式训练1】这个两位数为36 【例6)B【例7】a≥-1 【例3】道路的宽为2m 【例8】(1)证明略(2)△ABC的周长为a+b+c=10. 【变式训练2】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米 【例9】每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元 课后演练 第21章章末测试 1.A2.B3.A4.A5.-3或516.97.28.24cm 1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.B 9.(1)长40m,宽20m(2)1500m2 9.=a=510.>-111.-412.-号 10.这个两位数为2411.(1)5s(2)1.6s或4.8s 12.分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形 13.34号小号 的面积是450cm. 15.(10m=3+√页，2=3-(2)x1=8, 33=2 第2课时增长率问题 (3)=2m,x2=3m 4 基础导学 基数变动后的数增长（或降低）的百分率 16.四 x=-b土VF-4ac x=6,x2=-4 典例探究 2a 【例1】(1)2.6(1十x);(2)可变成本平均每年增长的百17.(1)4月份再生纸的产量为500吨 分率为10%. (2)m的值为20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【例2】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20% 18.(1)1秒(2)2秒(3)不能 【变式训练1】每顶头盔应降价20元 第22章图形的相似 【变式训练2】(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低 20元. 22.1 成比例线段 课后演练 第1课时成比例线段 1.A2.B3.B4.C5.200(1+x)2=401 基础导学 6.60+60(1+x)+60(1+x)2=2007.25% 1.成比例线段 2合=台34号 d 8.(1)从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 典例探究 率为20%；(2)下调后每架无人机的售价为2万元 9.(1)y=一10x+1000(2)50万元/台10.30% 【a0-号②2-8÷13=0 169 11.(1)n=0.3 【例2】(1)(2)不是(3)(4)是 1 (2)m=2 第二年用乙方案新治理的工厂数量为60家 【变式训练】D【刚3】兰=子 38指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 21.3 实践与探究 第1课时 数字、面积问题 规律与方法：三个连续整数（奇数或偶数）常 设中间数，以此为已知求出它左右数，再据它们 基 学 的关系列出方程，注意连续整数（奇数或偶数）也 包括负数， 1.列一元二次方程解应用题的意义：在运用 一元二次方程解实际问题时，要注意 ,抓 【例2】有一个两位数，个位数字与十位数 住主要的 ,列出方程，把实际问题转 字的和为14，交换数字位置后，得到新的两位 化为 来解决。 数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数。 2.数字问题 有关数字的应用题，大致可分为三类，即一 般数目关系问题，连续数问题，数字排列问题 解答这类题的关键是掌握其基本的数量关系和 连续数及一般数的表示方法， 3.面积问题： 此类问题属于几何图形的应用问题，解决 问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则 图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面 积、体积公式找等量关系列出方程。 规律与方法：数字排列问题常采取间接设未 典例探究 知数的方法求解.注意数字只有0、1、2、3、4、5、6、 7、8、9这10个，其他如分数、负数解不符合实际 考点①数字问题 意义，必须舍去. 【例1】已知三个连续奇数，其中最小的数 【变式训练1】 一个两位数，十位数字与个 的平方的3倍减去25和两个较大数的平方和相 位数字之和为9，十位数字与个位数字之积等于 等，试求这三个数. 这个两位数的一半，求这个两位数， ·52· 第21章一元二次方程 考点2图形的面积问题 课 后 演练 【例3】如图，在宽为20m,长为32m的 矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部 分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 【基础过关】 540m,求道路的宽.（部分参考数据：32= 1.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿 1024,522=2704,482=2304) 化，原空地一边减少了2m,另一边减少了3m, 剩余一块面积为20m的矩形空地，则原正方形 空地的边长是 () 20m 2m桑 入 A.7m B.8 m C.9m D.10m 2.有一个凸多边形有35条对角线，那么这个多 边形的边数是 () A.8 B.10 C.12 D.14 规律与方法： 3.等腰梯形的面积为160cm,上底比高多 (1)解与图形有关的实际问题时，结合图形的大 4cm,下底比高多20cm,这个梯形的高为 小（如矩形的长或宽、圆的半径等），可决定对方 () 程解的取舍； A.8 cm B.20 cm (2)对于较复杂的图形，可通过平移、旋转、割补 C.8cm或20cm D.非以上答案 等方法将复杂问题简单化， 4.（西宁中考)如图，小区物业规划在一个长60m, 【变式训练2】如图，要利用一面墙（墙长 宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停 为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为 车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽 400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈 xm的道路，中间是宽2xm的道路.如果阴 的边长AB,BC各为多少米， 墙 影部分的总面积是600m,那么x满足的方 A 程是 60 A.x2-41x+180=0 B.x2-41x+225=0 C.x2-41x+30=0 D.x2-41x-270=0 ·53· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 5.已知三个连续奇数，其中较大的两个数的平10.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上 方和比最小数的平方的3倍少25，这三个数 的数字小2，十位上的数字与个位上的数字 的和为 的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两 6.在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间 位数 都要比赛一场，共比赛36场.则参赛的球队数 为个 7.(青岛中考)如图，某小 16m 区要在长为16m,宽为 12m的矩形空地上建造 12m 花坛 一个花坛，使花坛四周 小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面 积的一半，则小路宽为 m. 8.要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长 是10cm的直角三角形，则这个直角三角形的 面积是 9.(德州中考)如图，某小区矩形绿地的长宽分 【能力提升】 别为35m,15m.现计划对其进行扩充，将绿 地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的 11.如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点， AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点 矩形绿地 A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B (1)若扩充后的矩形绿地面积为800m,求新 移动，一直移动到点B为止，点Q以2cm/s 的矩形绿地的长与宽； 的速度向点D移动.问： (2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长 (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形 宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积， PBCQ的面积是33cm? (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q 15m 间的距离是10cm? 35m ·54 第21章一元二次方程 【创新探究】 第2课时 增长率问题 12.如图，AO=OB=50cm,OC是一条射线，OC ⊥AB,一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B 基础 导学 爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速 增长（降低）率问题：如果商品经过两次降 度沿O℃方向爬行，是否存在这样的时刻，使 价（或涨价），每次降价（或涨价）的百分率相同， 两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为 那么降价（或涨价）前后的关系可用a(1一x)2= 450cm2? b或a(1+x)2=b表示，其中a表示 ,b 表示 ,x表示 典例探究 考点①增长（降低）率问题 【例1】某养殖户每年的养殖成本包括固 定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万 元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的 可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长 的百分率为x. (1)用含x的代数式表示第3年的可变成 本为 万元 (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率x 【例2】某商场购进一批台灯，9月销售 400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加， 11月的销售量达到576个，设10月和11月这 两个月的销售量月平均增长率不变.求10月和 11月这两个月的销售量月平均增长率. ·55·