第五节第1课时　椭圆及其简单几何性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，覆盖定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆位置关系等高考核心考点，依据高考评价体系分析离心率、焦点三角形、最值问题等高频考点权重，归纳定义法求方程、离心率计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题与模拟题结合的实战训练，如2023年新课标Ⅰ卷离心率题解析，通过“定义法+待定系数法”突破方程求解，“焦点三角形余弦定理”破解面积计算，培养学生数学思维与运算能力。助力学生掌握答题技巧提高得分率，为教师复习教学提供系统指导。

第五节 第八章　平面解析几何 椭圆 【目标要求】　1.掌握椭圆的定义及标准方程.2.会利用待定系数法求椭圆的标准方程.3.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).4.了解椭圆的简单应用. 1.椭圆的定义 (1)文字形式 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____________.这两个定点叫做椭圆的_____________,两焦点间的距离叫做椭圆的_____________,焦距的一半称为半焦距. 椭圆 焦点 焦距 (2)代数式形式 点集P={M||MF1|+|MF2|=2a},其中|F1F2|=2c<2a. [微点清]　2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;2a<|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程与几何性质 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形     性质 范围 _________≤x≤_________ _________≤y≤_________ _________≤x≤_________ _________≤y≤_________ 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为_________;短轴B1B2的长为_________ 焦距 |F1F2|=_________ 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 离心率 e=_________∈_____________ a,b,c的关系 c2=_____________ -a a -b b -b b -a a 2a 2b 2c (0,1) a2-b2 [微点清]　椭圆方程的两种设法:Ax2+By2=1或+=1(A>0,B>0,A≠B)表示椭圆.离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近1时,c越接近a,从而b=越小,因此椭圆越扁平. 两个 一个 没有 (2)椭圆的弦长 设AB为椭圆的一条弦,所在直线的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长l=|x1-x2|=|y1-y2|. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.(　　) (3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲线是椭圆.(　　) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(　　) 2.(人A选一P109T1改编)若椭圆+y2=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为(　　) A.2 B.5 C.7 D.8 椭圆+y2=1的长轴长2a=10,由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义,得P到另一个焦点的距离为2a-3=7.故选C. 解析 3.(人B选一P139例3改编)若椭圆C:+=1,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　) A.3 B.2+ C.2 D.+1 由题意知a=2,b=,所以c=1,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.故选A. 解析 4.(湘教选一P126T3改编)若直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为_____________. x=0时,y=1,即b=1;y=0时,x=-2,即c=2,故a===,故e===. 解析 　 5.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=_______. ①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4;②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8. 解析 4或8 第1课时　椭圆及其简单几何性质 第五节 椭圆 【例1】　(1)一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A.+=1 B.-=1 C.+=1 D.-=1 考点一 椭圆的定义及应用 设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆x2+y2+6x+5=0的方程配方得:(x+3)2+y2=4,圆心O1(-3,0),半径为2,圆x2+y2-6x-91=0可化为(x-3)2+y2=100,圆心O2(3,0),半径为10,当动圆与圆O1相外切时,有|O1M|=R+2　①,当动圆与圆O2相内切时,有|O2M|=10-R　②,将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|,所以动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为点O1(-3,0)、O2(3,0),长轴长等于12的椭圆,故a=6,c=3,b2=27,所以+=1.故选A. 解析 (2)设点P为椭圆C:+=1(a>2)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为_____________. 解法一:由题意知,c=.又∠F1PF2=60°,|F1P|+|PF2|=2a,|F1F2|= 2,所以|F1F2|2=(|F1P|+|PF2|)2-2|F1P||PF2|-2|F1P||PF2|cos 60°= 4a2-3|F1P||PF2|=4a2-16,所以|F1P||PF2|=,所以=|F1P||PF2|sin 60°=××=. 解法二:=b2tan=4×tan 30°=. 解析 1.椭圆的定义的应用 求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|;通过整体代入可求其面积等. 【训练1】　(多选题)已知椭圆C:3x2+4y2=48的两个焦点分别为F1,F2,P是C上任意一点,则(　　) A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 由3x2+4y2=48得+=1,所以a=4,b=2,c=2,令F1(-2,0),F2(2,0),对于A,e==,错误;对于B,△PF1F2的周长为2a+2c=12,正确,对于C,|PF1|的最小值为a-c=2,错误;对于D,2a=8=|PF1|+|PF2|≥2,即|PF1|·|PF2|≤16,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,正确.故选BD. 解析 【例2】　(1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点,若△F1AB的周长为8,则椭圆C的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 考点二 椭圆的标准方程 如图,由椭圆的定义可知,△F1AB的周长为4a,所以4a=8,a=2,又离心率为,所以c=1,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1. 解析 (2)(2026·青岛模拟)动点M(x,y)到定点F(-4,0)的距离与M到定直线l:x=-的距离的比等于,则动点M的轨迹方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解法一:根据题意,得=,化简得+=1,故选A. 解法二:根据椭圆的第二定义可知,动点M的轨迹为椭圆,且c=4,=,所以a=5,b==3,所以动点M的轨迹方程是+=1.故选A. 解析 (3)已知椭圆C的焦点在坐标轴上,且经过A(-,-2)和B(-2,1)两点,则椭圆C的标准方程为_______________. 设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),将A和B的坐标代入方程得+=1. 解析 +=1 根据条件求椭圆方程的主要方法 1.定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. 2.待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0, n>0,m≠n),用待定系数法不必考虑焦点位置,求出m,n的值即可. 【训练2】　与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 椭圆9x2+4y2=36化成标准方程为+=1,焦点在y轴上,设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),依题意有所以a2=25,b2=20,所求椭圆方程为+=1. 解析 考向❶ 离心率问题 【例3】　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a=(　　) A. B. C. D. 考点三 椭圆的几何性质 由题意知e1=,e2==,因为e2=e1,所以=×,得a=.故选A. 解析 (2)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2的直线与C交于A,B两点,且=2,BF1⊥AB,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 设|AF2|=x,因为=2,所以|BF2|=2x,由椭圆的 定义可得|AF1|=2a-x,|BF1|=2a-2x,因为BF1⊥AB, 在△BAF1中由勾股定理得9x2+(2a-2x)2=(2a-x)2, 解得x=,所以|BF1|=,|BF2|=,在△BF1F2中由 勾股定理得a2+a2=4c2,从而可得e=.故选A. 解析 求椭圆的离心率的方法 1.直接求a,c,利用离心率公式e=求解. 2.由a与b的关系,利用公式e=求解. 3.构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解. 考向❷ 最值或范围问题 【例4】　(多选题)已知椭圆+=1,F1,F2为左、右焦点,B为上顶点,P为椭圆上任一点,则(　　) A.的最大值为4 B.|PF1|的取值范围是[4-2,4+2] C.不存在点P使PF1⊥PF2 D.|PB|的最大值为2 对于A,依题意知a=4,b=2,c=2,当P为短轴端点时,()max=×2c ×b=4,故A正确;对于B,由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a-c,a+c],即[4-2,4+2],故B正确;对于C,sin∠F2BO==,所以∠F2BO =,所以∠F1BF2=,即∠F1PF2的最大值为,最小值为0,所以存在点P使PF1⊥PF2,故C错误;对于D,设P(x0,y0),所以|PB|=,又 解析 +=1,所以=16-4,所以|PB|== =,又-2≤y0≤2,故当y0=-时, |PB|max==,故D错误. 解析 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 1.利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质. 2.利用函数,尤其是二次函数. 3.利用不等式,尤其是基本不等式. 【题组对点练】 题号 1 2 考向 ❶ ❷ (1)(2026·成都模拟)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于A,B(A在第一象限)两点.由A向x轴作垂线,垂足为C,连接BC并延长交椭圆于点D.若△ABD为直角三角形,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 如图所示,设点A(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则B(-x0, -y0),C(x0,0),则kAB=,kBC=,设点D(x1,y1),则由 点差法易得:+=0,所以=-,所以 kDAkDB===-≠-1,则AD,BD不互相垂直,所以AD⊥ 解析 AB,则kADkAB=-1,所以kAD=-=-,又kDAkDB=kDAkBC=-=-,所以=,所以该椭圆的离心率为e=====.故选B. 解析 (2)(2026·西安模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且过点P,Q为C上一动点,则|PQ|+|QF|的最大值为(　　) A. B. C. D. 设椭圆C的半焦距为c,因为F(1,0),故c=1.又C过点 P,故+=1.由椭圆得a2=b2+c2=b2+1, 代入解得a2=4,b2=3.即a=2,b=.所以C的方程为 +=1.设C的左焦点为F'(-1,0),故|PF'|==.根据椭 解析 圆的几何性质可知,|QF|+|QF'|=2a=4,由于两点之间线段最短,所以|PQ|≤|PF'|+|QF'|.因此|PQ|+|QF|≤|PF'|+|QF'|+|QF|=+4=.当且仅当P,F',Q在一条直线上时,等号成立.故选D. 解析 3.直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆位置关系的判断 联立消去y,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.该一元二次方程的根的判别式为Δ. Δ>0⇔直线与椭圆有___________公共点⇔相交; Δ=0⇔直线与椭圆有___________公共点⇔相切; Δ<0⇔直线与椭圆___________公共点⇔相离. $