广东茂名市田家炳中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

**基本信息** 高一年级6月月考数学试卷，涵盖复数、向量、立体几何、三角函数等模块，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、空间观念和运算推理能力，如解答题19题结合解三角形与外接圆，体现用数学语言表达现实问题的应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数共轭、向量共线、立体几何位置关系|基础概念辨析，如第3题空间线面关系判断| |多选题|3/18|复数几何意义、三角函数性质|多维度能力考查，如第9题复数模与轨迹最值| |填空题|3/15|棣莫弗公式、向量垂直、立体几何轨迹|数学文化与空间想象结合，如第12题公式应用| |解答题|5/77|向量运算、解三角形、立体几何证明与夹角、三角函数图像与性质、解三角形综合|综合性问题设计，如19题结合角平分线与外接圆求面积及取值范围|

茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高一级6月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．若复数z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则（   ） A．-1 B．-7 C．1 D．7 3．空间中有三个平面与三条直线，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（    ）米． A． B． C． D． 7．在中，为边上的中点，在上且，若则（   ） A． B． C． D．1 8．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全得3分。 9．若复数，则（   ）． A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．复数满足，则的最大值为 10．已知，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在单调递增 11．在三棱锥中，，是边长为2的正三角形，若二面角的大小为，则（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 13．若向量，则_______． 14．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（本小题满分13分） 已知向量，其中，． (1)试计算及的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分） 在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 18．（本小题满分17分） 已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 19．（本小题满分17分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径． （ⅰ）作角的平分线交于，，求的面积； （ⅱ）求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 茂名市田家炳中学 2025-2026 学年第二学期高一级 6 月月考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A B A D B ACD AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】利用的共轭复数为求解. 【详解】由题意知，所以. 故选：B. 2．A 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得. 3．D 【分析】根据直线与直线、平面与平面、直线与平面之间的位置关系，只有D选项正确. 【详解】A选项，直线可能平行、垂直或者异面，A错误； B选项，平面的位置关系不确定，如空间直角坐标系中三个平面两两垂直，此时，B错误； C选项，平面相交或平行，C错误； D选项，根据垂直于同一平面的两条直线平行，得到，D正确； 故选：D. 4．A 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 故选：A. 5．B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 6．A 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，，由正弦定理可知. 在中，易知，于是. 故选：A. 7．D 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合题意，求得的值，即可求解. 【详解】在中，为边上的中点，在上且， 可得， 因为，所以，所以. 8．B 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B. 9．ACD 【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义和模长公式可判断ABC；利用复数的几何意义可判断D. 【详解】对A，，正确； 对B，对应复平面内的点为，位于第四象限，错误； 对C，由复数模长公式得，正确； 对D，设，则， 又，所以，所以对应复平面上的点在圆心为原点的单位圆上， 又表示点和之间的距离， 所以，的最大值等于原点和之间的距离加1， 即，正确. 故选：ACD 10．AD 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期，对称轴对称中心应用代入法判断，结合正弦函数的单调性等性质逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的最小正周期，，A正确； 对于B，由，得函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，得函数的图象不关于点对称，C错误； 对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 故选：AD. 11．ACD 【分析】取中点，利用线面垂直的判定性质推理判断A；确定二面角的平面角，结合等腰三角形性质求出判断B；求出三棱锥的体积判断C；确定球心并结合球的截面性质求出球半径判断D. 【详解】在三棱锥中，，取中点，连接， 对于A，，而平面， 则平面，又平面，因此，A正确； 对于B，是二面角的平面角，即，而， 因此，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，令正的外心分别为，则分别在线段上， 且，令三棱锥外接球球心为，连接， 由与全等，得，则平分，即， ，， 因此三棱锥外接球的表面积为，D正确. 12． 【分析】由棣莫弗公式结合实部的概念即可求解. 【详解】由题意， 故所求为. 故答案为：. 13． 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值． 【详解】因为，则， 又因为， 所以，解得． 所以，． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14． 【分析】取的中点，的中点，通过线面平行可得平面平面，由此可确定点的轨迹为线段，求出的长即可得到结果. 【详解】 如图，取的中点，的中点，连接，则， ∵平面平面，∴平面， ∵为的中点，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵平面平面，∴平面平面， ∵是侧面上一点，且平面， ∴的轨迹为线段， 由得点的轨迹的长度为． 故答案为：. 15．(1)， (2) 【详解】（1） ， （2）设，由， ． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 18．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图象可知，，可求出，再由函数图象经过点，结合即可求出函数解析式； （2）根据偶函数满足的条件可得，，结合求出的值即可； （3）根据正弦函数性质，可知在一个周期内有两个根，且两个根关于对称轴对称，找出对称轴即可解决问题. 【详解】（1）由图可得最小值为，则，又， ，令，则有，， 解得，又，故，即． （2）因为是偶函数， 则，，所以，， 又，所以当时，；当时，， 所以或. （3）令，则， 当时，， 由，则，则有四个不同的根， 设这四个根从小到大分别为，，，，由有对称轴与， 则，， 即，，故实数根之和为； 另外：利用换元法（整体思想），令， 当时，，即， 所以，， 则，， 即有，， 故实数根之和为. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理得，即可求解； （2（ⅰ）根据题意，得到，由，求得，再由余弦定理，得到，设，得到，求得，结合面积公式，即可求解； （ⅱ）由向量的数量积的运算公式和正弦定理得到，得到，又由，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：（ⅰ）因为的外接圆的圆心为O，且半径， 所以， 又因为为角的平分线，可得， 因为，且， 可得， 所以，即， 又由余弦定理得， 即， 设，则，代入可得，即， 解得或（舍去），所以， 所以的面积为. （ⅱ）由向量的数量积的运算公式，可得， 因为，所以， 又因为的外接圆的半径，可得， 所以， 因为且，所以， 所以 ， 因为，可得，所以， 所以，即的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $