第05讲 充分条件、必要条件、充要条件（3大知识点+7大题型）讲义-2026年新高一数学暑假进阶讲义（苏教版）

第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：充分条件、必要条件 3 知识点二：充要条件 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：充分、必要条件的判断 4 题型 2：充分、必要条件的性质 6 题型 3：由充分条件求参数范围 7 题型 4：由必要条件求参数范围 10 题型 5：由充要条件求参数范围 13 题型 6：充要条件的证明 15 题型 7：探求命题的充要条件 18 04 过关测试 21 知识点一：充分条件、必要条件 1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件． 知识点二：充要条件 一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． 知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系 1、判定定理实际上给出了一个充分条件． 2、性质定理实际上给出了一个必要条件． 3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件． 4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 （1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． （2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 题型 1：充分、必要条件的判断 例1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【解析】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 例2．（2026·四川遂宁·二模）设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 例3．（2026·高一·广东惠州·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由“”解得，由“”解得， 若，则必然有，即，故充分性成立， 若，取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 变式1．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，满足，但不满足，充分性不成立， 若，则成立，但，所以不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 变式2．（2026·高一·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【解析】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 变式3．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】B 【解析】由已知有，，，，， 由此得且，故AC不正确； ，，故B正确； 且，故D不正确． 故选：B． 题型 2：充分、必要条件的性质 例4．（2026·高一·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 例5．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 例6．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即， 因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是， 而其他选项皆不满足. 故选：A. 变式4．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）若集合，，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 若，利用数轴，可求， 故的一个充分不必要条件是. 故选：D. 变式5．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解出，下列选项可以推出的有C、D选项， 而C选项为充要条件，且推不出D选项， 故选：D. 变式6．（2026·高一·河南·阶段检测）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若一元二次方程有实数解，则，解得：； 对于A，，，是一元二次方程有实数解的充分不必要条件，A正确； 对于B，是一元二次方程有实数解的充要条件，B错误； 对于C，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，C错误； 对于D，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，D错误. 故选：A. 题型 3：由充分条件求参数范围 例7．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 例8．（2026·高一·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 例9．（2026·高一·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为命题，使得，为真命题， 所以，即，解得， 所以. （2）因为是的充分条件，所以， 又因为为非空集合，且， ， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 变式7．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则或， 即或或， 故或； （2）因为是的充分条件，所以， 即， 可得：，解得， 故的取值范围. 变式8．（2026·高一·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则， 又或，所以； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 变式9．（2026·高一·广西钦州·期末）已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）若，则，则有. （2）由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 即，解得， 故实数的取值范围是. 题型 4：由必要条件求参数范围 例10．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 例11．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 例12．（2026·高一·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则； （2）因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 变式10．（2026·高一·陕西商洛·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 由，得， 当时，，解得； 当时，不等式组无解， 故实数的取值范围为． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 或，解得或， 综上可得，故实数的取值范围为． 变式11．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）时，，故或， ， 故或； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 变式12．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为集合，集合，且， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，，即， 则有或，解得或，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，此时是的真子集，符合题意； 当时，则，解得， 当时，为的真子集，符合题意， 当时，为的真子集，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 题型 5：由充要条件求参数范围 例13．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【解析】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 例14．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 例15．（2026·高一·四川广元·阶段检测）已知集合，是否存在实数，使得是成立的________________？ (1)把充要条件补充在上面的问题中横线部分，若问题中的实数存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (3)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由. 【解析】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，即， 可得，此时方程组无解， 所以不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，可得，所以， 若存在实数，使得是成立的充分不必要条件，即， 可得且等号不能同时成立，解得，即， 即实数的取值范围为. （3）若存在实数，使得是成立的必要不充分条件，即， 可得且等号不能同时成立，解得，即， 又因为，所以，所以实数的取值范围为. 变式13．已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【解析】若p是q的充要条件，则， 所以，即，此方程组无解，所以m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 变式14．（2026·高一·湖南郴州·阶段检测）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【解析】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 题型 6：充要条件的证明 例16．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【解析】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 例17．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【解析】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． 例18．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【解析】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设， 因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）若是复活集时, 不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有， 因此，则，解得， 所以，即； 当时， ，故是“复活集”，即. 综上可知，当时， 命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 变式15．（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【解析】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 变式16．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，数学中三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. (1)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件. (2)设均为正实数，证明：的充要条件是. 【解析】（1）因为由每一个判定定理的条件，都能推出结论成立， 即已知条件成立时，结论一定成立， 所以每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件； 每一个性质定理由结论推已知条件， 即结论成立，已知条件一定成立， 但使结论成立时的条件不仅只有已知条件这一个， 所以每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件； 故答案为：充分；必要. （2）证明：充分性： 因为，且均为正实数， 所以，， 所以； 必要性：因为均为正实数，且， 所以， 即， 所以， 所以. 变式17．（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【解析】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明： 充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 题型 7：探求命题的充要条件 例19．函数的图象关于直线对称的充要条件是______． 【答案】 【解析】已知，其图象关于直线对称，（1）先验证充分性：当时，图象关于对称；（2）接下来说明必要性：已知图像关于对称，则令，可得； 所以函数的图象关于直线对称的充要条件是． 故答案为：. 例20．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【答案】 【解析】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 例21．不等式成立的充要条件是______. 【答案】 【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即 ， 所以，两边平方得，此不等式恒成立. 故答案为：． 变式18．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 __． 【答案】 【解析】一元二次方程有实数根，应满足， 解得或， 所以实数的取值范围是 故答案为： 变式19．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）“不等式在上恒成立”的一个充要条件是______． 【答案】 【解析】当时，在上不恒成立，故舍去； 当时，要使在上恒成立，则应满足，即，解得， 故“不等式在上恒成立”的一个充要条件是． 故答案为： 变式20．设集合，，则的充要条件是______． 【答案】， 【解析】由，可知，，于是 解得 此时，，符合． 故的充要条件是， 故答案为：， 1．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 2．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 4．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 5．（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立； 反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立， 所以命题是命题成立的充分不必要条件. 7．（2026·高一·安徽·阶段检测）如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的充分不必要条件，A错误； 对于B选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L亮，即， 所以是的必要不充分条件，C正确； 对于D选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L一定亮，即， 所以是的充分必要条件，D错误； 故选:C. 8．（2026·高一·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 【答案】BC 【解析】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素， 于是有或，即或，A不正确； 对于B，因为，则，即，所以，根据集合相等及互异性， 所以，解得或（舍），所以，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D， 故有6个元素 ， D不正确. 10．（多选题）（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 11．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【解析】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 故选：ACD． 12．（2026·高一·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【解析】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 13．（2026·高一·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 14．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 15．（2026·高一·四川达州·阶段检测）集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时， ，， 其子集个数为个； （2）由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 17．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 【解析】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：的取值集合为. 18．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若且“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【解析】（1）当时，可得， 因为集合，可得， 所以或. （2）由是的充分条件，可得， 因为，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. 19．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 20．（2026·高一·全国·阶段检测）已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合， 因为，可得，解得， 若，可得，解得，则当，可得或， 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. （2）因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， ①当，即时，此时，则，满足题意； ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：充分条件、必要条件 3 知识点二：充要条件 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：充分、必要条件的判断 4 题型 2：充分、必要条件的性质 4 题型 3：由充分条件求参数范围 5 题型 4：由必要条件求参数范围 7 题型 5：由充要条件求参数范围 8 题型 6：充要条件的证明 10 题型 7：探求命题的充要条件 11 04 过关测试 13 知识点一：充分条件、必要条件 1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件． 知识点二：充要条件 一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． 知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系 1、判定定理实际上给出了一个充分条件． 2、性质定理实际上给出了一个必要条件． 3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件． 4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 （1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． （2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 题型 1：充分、必要条件的判断 例1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 例2．（2026·四川遂宁·二模）设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（2026·高一·广东惠州·期末）设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（2026·高一·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 变式3．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（   ） A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 题型 2：充分、必要条件的性质 例4．（2026·高一·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 例6．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）若集合，，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·河南·阶段检测）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 题型 3：由充分条件求参数范围 例7．（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 例8．（2026·高一·河北衡水·期末）已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 例9．（2026·高一·山西运城·期末）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若是的充分条件，求实数的取值范围. 变式7．（2026·高一·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 变式8．（2026·高一·湖南岳阳·期末）已知，，全集. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 变式9．（2026·高一·广西钦州·期末）已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型 4：由必要条件求参数范围 例10．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 例11．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 例12．（2026·高一·山西阳泉·开学考试）已知集合． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式10．（2026·高一·陕西商洛·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式11．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 变式12．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型 5：由充要条件求参数范围 例13．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 例14．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 例15．（2026·高一·四川广元·阶段检测）已知集合，是否存在实数，使得是成立的________________？ (1)把充要条件补充在上面的问题中横线部分，若问题中的实数存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (3)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由. 变式13．已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 变式14．（2026·高一·湖南郴州·阶段检测）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 题型 6：充要条件的证明 例16．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 例17．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 例18．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 变式15．（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 变式16．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，数学中三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. (1)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件. (2)设均为正实数，证明：的充要条件是. 变式17．（2026·高一·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 题型 7：探求命题的充要条件 例19．函数的图象关于直线对称的充要条件是______． 例20．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 例21．不等式成立的充要条件是______. 变式18．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 __． 变式19．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）“不等式在上恒成立”的一个充要条件是______． 变式20．设集合，，则的充要条件是______． 1．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 7．（2026·高一·安徽·阶段检测）如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 10．（多选题）（2026·高一·安徽马鞍山·期中）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 12．（2026·高一·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 13．（2026·高一·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 14．已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是___________． 15．（2026·高一·四川达州·阶段检测）集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 18．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若且“”是“”的充分条件，求的取值范围． 19．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20．（2026·高一·全国·阶段检测）已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $