5 循环小数（导学案）新五年级数学暑假自学课（人教版新教材）

新五年级上册数学暑假导学案 专题五 循环小数 【思维导图】 【考点精讲】 考点一：循环小数的认识 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现， 这样的小数叫作循环小数。像上面的5.333…和7.14545…都是循环小数。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记 一个圆点。例如：3.31818……写作 0.6363…写作 【典例分析】5.7÷9的商用循环小数表示是( )，循环节是( )。 【答案】 3 【分析】除数是整数的除法，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商0，点上小数点继续除；若除到被除数的末尾仍有余数，在余数末尾添0，继续除。 一个无限循环小数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这组重复出现的数字，就叫做这个循环小数的循环节。 【详解】 5.7÷9＝0.6333…，用循环小数表示是，循环节是3。 【变式训练1】下面各数中，（    ）是循环小数。 A．3.1415926… B．2.010010001… C．5.3636 D．7.05454… 【变式训练2】循环小数3.31818…的循环节是( )，用简便方法记作( )，保留一位小数约是( )。 【变式训练3】11÷6的商用循环小数简便记法表示是( )，保留两位小数约是( )。 考点二：有限小数和无限小数 小数部分的位数有限的小数是有限小数。例如，0.9375是一个有限小数。 小数部分的位数无限的小数是无限小数。例如，是一个无限小数。 【典例分析】在、、0.734、0.733和这几个小数中：( )是有限小数，( )是无限小数，把这几个数按从大到小的顺序依次排列为：( )。 【答案】0.734、0.733 、、 ＞＞0.734＞＞0.733 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数； 再根据小数的大小比较的方法，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止。据此可解答。 【详解】； ； ； 0.73473…＞0.73434…＞0.734＞0.73333…＞0.733； 所以＞＞0.734＞＞0.733 0.734、0.733是有限小数，、和这是无限小数，把这几个数按从大到小的顺序依次排列为：＞＞0.734＞＞0.733 【变式训练1】在5.91，，，5.191212，5.18276…中有限小数有( )，无限小数有( )，循环小数有( )，最大的数是( )。 【变式训练2】下面的说法中，正确的是（    ）。 A．循环小数一定是无限小数 B．6.333333是循环小数 C．2.452452…的循环节是245 D．无限小数比有限小数大 【变式训练3】无限小数一定比有限小数大，循环小数也是无限小数。( ) 考点三：用计算器探索规律 【典例分析】已知：，，，计算：59÷99＝( )，72÷99＝( )。 【答案】 【分析】观察，，，可知一个数（0除外）除以99则商为循环小数，商的整数部分为0，循环节与被除数的数字相同。 【详解】59除以99的商的整数部分为0，循环节为59的循环小数，则59÷99＝； 72除以99的商的整数部分为0，循环节为72的循环小数，72÷99＝。 【变式训练1】李洋用计算器计算了4道除法算式（如图）： …… 请你根据发现的规律完成填空。 (1)______。 (2)______ 【变式训练2】用发现的规律直接写出右面两题的得数。 1÷11＝0.0909…        4÷11＝( ) 2÷11＝0.1818…        6÷11＝( ) 3÷11＝0.2727… 【变式训练3】用计算器计算每组前三道题，仔细观察，找出规律，并直接写出每组后四道题的得数。 （1）88.83÷9＝ 88.884÷9＝ 88.8885÷9＝ 88.88886÷9＝ 88.888887÷9＝ 88.8888888÷9＝ 88.88888889÷9＝ （2）99.99×2＝ 99.99×3＝ 99.99×4＝ 99.99×5＝ 99.99×6＝ 99.99×7＝ 99.99×8＝ 【综合训练】 1．0.9237237…的循环节是( )，0.9237237…还可以写作( )，小数点后第80位上的数字是( )。 2．在3.1415926…，12.333，和9.166…中，( )是有限小数，( )是无限小数，( )是循环小数。 3．在、、0.833、这样四个数中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． 4．0.925925925和1.88…都是循环小数。( ) 5．循环小数一定比整数大。( ) 6．列竖式计算，商是循环小数的用简便形式表示。 5.7÷9＝         69÷33＝         1.66÷0.15＝ 7．把下面各数填到合适的横线上。（填序号） ①7.86    ②3.21576    ③7.0999…    ④    ⑤    ⑥0.025    ⑦1.1111    ⑧4.31367… 有限小数：___________________________________________ 无限小数：___________________________________________ 循环小数：___________________________________________ 8．找规律填数。 1÷7＝            2÷7＝              3÷7＝ 4÷7＝            5÷7＝                    6÷7＝ 9．观察下面算式得数中循环节的变化规律，直接写出后面两个算式的得数。 1÷111＝0. 0 2÷111＝0. 1 3÷111＝0. 2 4÷111＝0. 3 6÷111＝ 9÷111＝ 利用你发现的规律，完成下面的算式。 （    ）÷111＝0.9 10．循环小数2.316316…小数部分第100位上的数字是几？小数部分前100位数字的和是多少？ 11．在循环小数0.ABCABC⋯中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（、、为3个不同的自然数） 12．李叔叔给电动汽车充电，充电完成后短信显示：充电64度，扣款96.00元。李叔叔是在什么时段去充的电？照这个时段价格，1元可充多少度电？ 电站基础电价 时段 价格（元/度） 00：00－06：00 0.61 06：00－12：00 0.82 12：00－14：00 0.61 14：00－16：00 0.82 16：00－18：00 1.25 18：00－20：00 1.50 20：00－23：59 1.25 参考答案 考点一 【变式训练1】D 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。循环小数都是无限小数。 【详解】A．3.1415926…没有循环节，不是循环小数； B．2.010010001…没有循环节，不是循环小数； C．5.3636是有限小数，不是循环小数； D．7.05454…的循环节是54，所以7.05454…是循环小数。 【变式训练2】18 3.3 【分析】循环节是循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的最小数字片段； 在循环节的第一个和最后一个数字上方各点一个小圆点来简便记循环小数； 保留一位小数需要看百分位上的数字，用四舍五入的方法判断，得到结果。 【详解】3.31818……重复出现的小数是18，所以循环节是18；记作； 3.31818……百分位上的数字是1，根据四舍五入规则，直接舍去，结果为3.3。 【变式训练3】 1.83 【分析】根据小数除法的计算方法，求出11÷6的结果，再根据循环小数的表示方法，在循环小数的循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可；保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可。 【详解】11÷6＝1.8333…＝≈1.83 11÷6的商用循环小数简便记法表示是，保留两位小数约是1.83。 考点二： 【变式训练1】5.91、5.191212 、、5.18276… 、 【分析】小数部分的位数是有限的小数；小数部分的位数是无限的小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。把循环小数写成一般形式，再比较小数大小：先比较整数部分，整数部分相同再比较十分位，十分位相同再比较百分位……依次类推。 【详解】5.91和5.191212小数位数有限，是有限小数。 和有循环点，5.18276…有省略号，小数位数无限，是无限小数。 和有循环点，是循环小数。 ＝5.999… ＝5.912912… 5.18276…＜5.191212＜5.91＜5.912912…＜5.999…，即5.18276…＜5.191212＜5.91＜＜，最大的数是。 【变式训练2】A 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。循环小数一定是无限小数； 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节； 小数的大小不是由小数位数的多少决定的，而是由较高数位上面的数字决定的，无限小数不一定比有限小数大，举例说明即可。 【详解】A．循环小数一定是无限小数，如：5.333…和7.14545…都是循环小数，也是无限小数，原题说法正确； B．6.333333不是循环小数，原题说法错误； C．2.452452…的循环节是452，而不是245，原题说法错误； D．无限小数不一定比有限小数大，如：1.1是有限小数，0.999…是无限小数，1.1＞0.999…，此时无限小数比有限小数小，原题说法错误。 说法正确的是“循环小数一定是无限小数”。 【变式训练3】× 【分析】小数分为有限小数和无限小数，无限小数包括循环小数和无限不循环小数。比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，再看十分位，十分位上大的那个数就大，依次类推。 【详解】根据小数大小比较方法，先比较整数部分。 例如：无限小数0.333…，有限小数0.5。 整数部分都是0，比较十分位，3＜5，所以 0.333…＜0.5。 因此，无限小数不一定比有限小数大。 循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。所以小数部分的位数是无限的。因此循环小数属于无限小数。 故答案为：× 考点三： 【变式训练1】(1)9.87654 (2)88.888887 【分析】根据给出的四个等式，可以找出如下规律。被除数整数部分不变，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次是2、3、4、5（依次增加1）。除数是9都不变。整数部分是9，小数部分依次是8、87、876、8765（从8开始依次递减1）。 【详解】（1）商：整数部分是9，小数部分依次是8、87、876、8765（从8开始依次递减1）。根据规律，被除数小数最后一位是6，商是：9.87654。 （2）被除数：整数部分都是88，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次是2、3、4、5（依次增加1）。商的小数部分是876543，对应被除数的小数部分最后一位是7，且小数部分有5个8，被除数是88.888887。 【变式训练2】0.3636… 0.5454… 【分析】已知1÷11＝0.0909…，2÷11＝0.1818…，3÷11＝0.2727…，算式的规律是：都跟第一个算式比较，除数不变，被除数分别扩大到原来的2、3、4倍…，那么循环节09也分别扩大到原来的2、3、4倍…，据此直接写出得数即可。 【详解】根据分析可知： 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… 6÷11＝0.5454… 【变式训练3】（1）9.87；9.876；9.8765；9.87654；9.876543；9.8765432；9.87654321； （2）199.98；299.97；399.96；499.95；599.94；699.93；799.92 【分析】（1）观察算式可知，被除数小数点前面都是88，小数点后面的数字8的个数分别为逐渐递增的连续自然数，8后面分别是3、4…的连续自然数，先用计算器算出前三个算式的商分别为9.87、9.876、9.8765，即商的整数部分都是9，小数部分依次是87、876、8765…小数位数与被除数小数位数相同，据此可直接写出后四个算式的商。 （2）观察算式可得规律：一个因数不变，另一个因数是连续自然数，先用计算器算出前三个算式的积分别是199.98、299.97、399.96，即积的整数部分由上而下分别是199、299、399…小数部分由上而下分别是98、97、96…据此可直接写出后四个算式的积。 【详解】（1）88.83÷9＝9.87； 88.884÷9＝9.876； 88.8885÷9＝9.8765； 88.88886÷9＝9.87654； 88.888887÷9＝9.876543； 88.8888888÷9＝9.8765432； 88.88888889÷9＝9.87654321； （2）99.99×2＝199.98； 99.99×3＝299.97； 99.99×4＝399.96； 99.99×5＝499.95； 99.99×6＝599.94； 99.99×7＝699.93； 99.99×8＝799.92。 【综合训练】 1． 237 2 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，若循环节只有一个数字，就在该数字上面点一个圆点；该小数从小数点后第二位开始循环，循环节中有三个数字，用（80－1）再除以3，根据余数为判断第80位为循环节的哪一个数字。 【详解】80－1＝79 79÷3＝26……1，余数为1，对应循环节第一个数字2。 所以，0.9237237…的循环节是237，0.9237237…还可以写作，小数点后第80位上的数字是2。 2． 12.333 3.1415926…，，9.166… ，9.166… 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【详解】在3.1415926…，12.333，和9.166…中，（12.333）是有限小数，（3.1415926…，，9.166…）是无限小数，（，9.166…）是循环小数。 3．D 【分析】小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大。如果百分位上相同，千分位上的数大的那个数就大。 循环小数比大小，需要先将循环小数展开写出前几位，再逐位比较大小。 【详解】A． B． C． D． 这四个数从大到小排：0.838838…＞0.8383…＞0.8333…＞0.8330 所以＞＞＞ 4．× 【分析】循环小数是指一个无限小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。据此解答。 【详解】0.925925925的小数位数是有限的，它是有限小数，不是无限小数，所以它不是循环小数。 1.88…是无限小数。因为0.925925925不是循环小数，所以“都是循环小数”的说法错误。 故答案为：× 5．× 【分析】无限循环小数：一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。据此举例解答。 【详解】如循环小数3.656565…和4 3.656565…＜4，所以循环小数不一定比整数大。 故答案为：× 6．；； 【分析】小数的除法：当除数是小数时，‌先把除数和被除数小数点同时向右移动相同的几位（‌位数不够时补0）‌，使除数变成整数，然后按照除数是整数的除法进行计算；除数是整数的小数除法，可以按照整数除法的计算方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。 【详解】       5.7÷9=                                  69÷33=                                       1.66÷0.15=                                                7．①②⑥⑦；③④⑤⑧；③④⑤；一定；不一定 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的数位是有限的，无限小数的数位是无限的。 无限小数分两种：一种是循环小数，即一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；另一种是无限不循环小数，即无限不循环小数指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【详解】有限小数：①②⑥⑦； 无限小数：③④⑤⑧； 循环小数：③④⑤； 我发现：循环小数（一定）是无限小数，无限小数（不一定）是循环小数。 8．； 【分析】观察前四题的结果规律，发现除以7的商是无限循环小数，且循环节由六个不同数字（1，4，2，8，5，7）组成，按照特定顺序排列。例如：1÷7＝，2÷7＝，3÷7＝，4÷7＝，发现循环节的数字是由1，4，2，8，5，7按照固定顺序排列的，循环节排在第一位的数字是除法算式中被除数乘10除以7得到的商，后面的数字按照1，4，2，8，5，7循环排列，排在循环节第一位数字前面的数字排到循环节末尾。 【详解】规律：循环节的数字是由1，4，2，8，5，7按照固定顺序排列的，循环节排在第一位的数字是除法算式中被除数乘10除以7得到的商，后面的数字按照1，4，2，8，5，7循环排列，排在第一位前面的数字排到循环节末尾。 5×10÷7 ＝50÷7 ＝7……1 由规律可知，商是7，则5÷7的商的循环节的第一位是7，7前面的数14285都排到循环节的末尾，即5÷7＝； 6×10÷7 ＝60÷7 ＝8……4 由规律可知，商是8，则6÷7的商的循环节的第一位是8，8前面的数142都排到循环节的末尾，即6÷7＝。 找规律填数。 1÷7＝            2÷7＝              3÷7＝ 4÷7＝            5÷7＝               6÷7＝ 【点睛】在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。 9．；；11 【分析】先观察已知算式n÷111的商，发现循环节为 009×n（不足三位补0），即商的循环节是9的n倍且为三位数。计算6÷111、9÷111时，分别用9乘对应被除数，得到循环节（补0），从而写出商。已知商的循环节，用循环节对应的数099除以009，得到的结果即为括号内的被除数。 【详解】6÷111＝ 9÷111＝ 99÷9＝11 即11÷111＝ 10．第100位上的数字是3；333 【分析】循环小数2.316316.....是从小数部分第一位开始，每三位一循环，直接用总个数÷周期数=组数.....余数，通过余数可确定100位对应的数；接着计算一个循环节的和，再乘组数，加上剩余数字即可求出前100位数字的和。 【详解】100÷3=33......1 答：第100位上的数字是3。 （3+1+6）×33+3 =10×33+3 =330+3 =333 答：小数部分前100位数字的和是333。 【点睛】此题考查循环小数与周期规律的综合应用，关键找准周期数，利用公式进行求解。 11．510；015 【分析】循环节的数位是三位，那么前90位有多少组这样的循环节，就用90÷3求得；再用前90位数字和180除以30，得出一组的和是6，A、B、C又是3个不同的自然数，那么会有：6＝5＋1＋0、6＝4＋2＋0、6＝3＋2＋1，6＝0＋1＋5，所以这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 【详解】循环节的个数：90÷3＝30（个） 循环节上数字的和：180÷30＝6 把6写成三个不同自然数和的形式有： 6＝5＋1＋0 6＝4＋2＋0 6＝3＋2＋1 6＝0＋1＋5 组成最大的三位数是0.510，最小的是0.015。 答：这个循环小数的循环节最大是510，最小是015。 12．18：00－20：00；度 【分析】已知充电64度，扣款96.00元，根据“单价＝总价÷数量”，用总费用除以用电量，求出每度电的价格，再与表格中的价格进行对比，找出对应的时段。 照这个时段价格，求1元可充多少度电，根据“数量＝总价÷单价”即可求解。 【详解】96÷64＝1.5（元） 李叔叔充电时段是18：00－20：00。 1÷1.5＝（度） 答：李叔叔是在18：00－20：00时段去充的电。照这个时段价格，1元可充度电。 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $