预习05讲 直线倾斜角与斜率和两条直线平行、垂直的判定（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习05讲 直线倾斜角与斜率和两条直线平行、垂直的判定（精讲+精练） ①求直线的倾斜角与斜率 ②直线与线段相交求斜率范围 ③两条直线平行及求相关参数 ④两条直线垂直及求相关参数 一、直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 二、直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 三、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 四、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 五、直线平行的条件 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 1.公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 六、直线垂直的条件 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. ①求直线的倾斜角与斜率 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 5．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 6．（23-24高二上·广东广州·期末）已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（22-23高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 8．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若经过，两点的直线的倾斜角是，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 10．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 ②直线与线段相交求斜率范围 策略方法 平面向量基本定理解决问题的一般思路 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 5．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    ③两条直线平行及求相关参数 策略方法 由一般式确定两直线平行的方法 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 【题型精练】 一、单选题 1．（22-23高二·江苏·假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 2．（22-23高二上·福建漳州·期中）过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 3．（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 二、解答题 6．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． ④两条直线垂直及求相关参数 策略方法 由一般式确定两直线垂直的方法 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知，若直线与直线垂直，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 5．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 二、多选题 7．（23-24高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 三、解答题 8．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 9．（22-23高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 10．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习05讲 直线倾斜角与斜率和两条直线平行、垂直的判定（精讲+精练） ①求直线的倾斜角与斜率 ②直线与线段相交求斜率范围 ③两条直线平行及求相关参数 ④两条直线垂直及求相关参数 一、直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 二、直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 三、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 四、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 五、直线平行的条件 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 1.公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 六、直线垂直的条件 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. ①求直线的倾斜角与斜率 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义，即可求得直线的倾斜角. 【详解】直线经过、两点，则其斜率为， 设直线倾斜角为，则， 由于直线的倾斜角范围为大于等于小于， 故该直线的倾斜角为， 故选：B 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【详解】 设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 4．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（    ） A．1 B．45 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的倾斜角为， 则l的斜率为， 故选：C 5．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用斜率公式即可求解. 【详解】因为斜率为的直线经过点， 所以，解得. 故选：B. 6．（23-24高二上·广东广州·期末）已知倾斜角为的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，再由方向向量求出. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线的方向向量为，所以. 故选：D 7．（22-23高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可. 【详解】由，解得， 故选：D． 8．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 9．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若经过，两点的直线的倾斜角是，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 10．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用斜率公式将转化为（），解不等式即可. 【详解】直线倾斜角为，则， 由可得， 所以. 故选：B. 11．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． ②直线与线段相交求斜率范围 策略方法 平面向量基本定理解决问题的一般思路 数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足， 当时，直线l的倾斜角，当时，， 所以直线l的倾斜角的取值范围为. 故选：C 3．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】   若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 二、填空题 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 5．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    ③两条直线平行及求相关参数 策略方法 由一般式确定两直线平行的方法 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线平行或重合，代回检验； 【题型精练】 一、单选题 1．（22-23高二·江苏·假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 【答案】A 【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案. 【详解】由题意可知，，解得． 故选：A 2．（22-23高二上·福建漳州·期中）过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据直线斜率公式，结合平行线斜率关系、直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为， 所以， 因此过两点的直线的斜率为， 因为过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为， 所以有， 故选：A 3．（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：已经存在， 若∥，则，即充分性成立； 若，则可能重合，即必要性均不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 4．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】A 【分析】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【详解】对于A，因为， 所以； 对于B，因为， 所以直线不平行； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行. 故选：A. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】由题意得， 因为，所以，即， 化简得， 所以或， 又由得＝－1或2， 故选:C. 二、解答题 6．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【分析】 先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【详解】（1），，，所以与不平行． （2） 的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4） 由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． ④两条直线垂直及求相关参数 策略方法 由一般式确定两直线垂直的方法 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则： 当时，直线相交； 当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知，若直线与直线垂直，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用斜率公式求得，再由两直线的位置关系，得到，即可求解. 【详解】由点，可得， 因为直线与直线垂直，可得，即，解得， 所以直线的斜率为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【答案】B 【分析】 根据垂直关系得到，由此计算出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得， 故选：B. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用斜率公式表示出；再根据两直线垂直列出关系式求解即可. 【详解】由题意得，直线l的斜率必存在，且. 因为直线l与斜率为的直线垂直 所以，解得. 故选：A. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 【答案】D 【分析】通过斜率证明两直线垂直，得到三角形形状. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，所以， 故是以为直角顶点的直角三角形． 故选：D 5．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 【答案】A 【分析】由题意可知CD与x轴不垂直，即.分类讨论，当AB与x轴垂直和AB与x轴不垂直时，根据两直线的位置关系求出对应的m值即可. 【详解】∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行. ∵，则CD与x轴不垂直，∴，即. 当AB与x轴垂直时，，解得， 此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意； 当AB与x轴不垂直时，，， ∵，∴，即，解得. 综上，m的值为或， 故选：A. 二、多选题 7．（23-24高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【分析】求出直线的斜率可判断A；由两直线的位置关系可判断B，C，D. 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 三、解答题 8．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【答案】(1)不垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）分别求解直线与的斜率，根据斜率关系判断即可； （2）求解直线的斜率，根据斜率关系判断即可； （3）根据坐标确定直线倾斜角，即可判断直线位置关系. 【详解】（1），， 与不垂直． （2）， ． （3）由的横坐标相等得的倾斜角为， 则轴， 又，则轴，因此． 9．（22-23高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 【答案】(1) (2)与不垂直 (3) 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可. 【详解】（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为. 因为经过，两点， 所以的斜率为. 因为，所以. （2）因为经过，两点， 所以的斜率为. 因为的斜率为，且， 所以与不垂直. （3）记的斜率为，因为， 所以，解得或. 因为为锐角，所以. 因为的斜率为，且， 所以. 10．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【答案】四边形OPQR为矩形，理由见解析. 【分析】通过计算，,，得到四边形OPQR为矩形. 【详解】由斜率公式得， , 所以，， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又,所以， 故四边形OPQR为矩形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$