第21章四边形期末综合复习压轴题专题提升训练2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）综合应用，以压轴题整合折叠、旋转、动点等动态问题，突出几何直观与推理能力 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形综合|第1、8题|性质证明与计算|从角平分线、中点切入，结合全等与中位线，构建边与角关系| |矩形折叠问题|第3、13题|图形翻折与探究|利用折叠性质转化线段关系，通过勾股定理求解动态边长| |正方形动态探究|第4、12题|对称与三点共线|结合轴对称性质，通过全等与等腰直角三角形证明位置关系| |新定义应用|第8题|“倍线平行四边形”|以新定义为载体，融合平行四边形对角线性质与方程思想|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第21章四边形》 期末综合复习压轴题专题提升训练（附答案） 1.如图，在口ABCD中，CE L AD于点E,F是CD的中点，连接EF,BF,BE,且 ∠EBC=2∠ECD,BF平分∠EBC 图1 图2 (1)求∠EFB的度数： (2)若AE=4,DE=2,求BF的长； (3)如图2，连接AF,若CE=2DE,求∠DAF的度数 2.如图1，点C是射线BO上的一个动点，点A在射线BC的上方.现以点A,B,C为顶点 构造平行四边形ABCD BC>AB.∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F, 直线CF与BE相交于点G, 图1 图2 (1)如图1，求证：BE⊥CF: (2)如图2，点Q为BC中点，连接AG并延长交线段CD于点H,若AB=6,GQ=5,求DH 的长： (3)如图1，在点C的运动过程中，探究线段AB,CF,BE之间的数量关系，并说明理由. 3.综合与探究 【问题情境】在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,E是AB边上一动点，将矩形沿CE所 在直线翻折，点B的对应点为点F, 【猜想证明】 (1)如图1，过点F作FMAB交CE于点M,连接BM. D 图1 图2 备用图 ①试判断四边形EFMB的形状，并说明理由. ②如图2，当点F恰好落在AD边上时，求出此时四边形EFMB的周长. 【深入探索】 (2)连接AF、DF,当△AFD的面积为10时，直接写出AE的长， 4.如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点（不与B,C重合），点B,F关于直线 AE对称，BF与AE相交于点H,M为AE延长线上一点，连接FM 4 D D E 备用图 (1)求证：∠ABF=∠DAE: (2)连接DF,若∠HMF=45° ①求证：D,F,M三点共线： ②若DF=4,判断2AB-AM是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 5.如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E,点P为线段BE上一动点（不与B,E重 合)，连接PC,过P作PN⊥PC且PN=PC(点N在点P上方)，连接DN. D E 图1 图2 B 备用图 (1)当点E,点P在如图1所示的位置时，作NM⊥ND,交直线BC于M,交直线BE于 0 ①在图1中补全图形： ②求证：∠CDN=∠BMN: ③写出PB与PQ的数量关系并证明： (2)如图2，若E为CD中点，正方形ABCD边长为2，当∠PND=135°时，请直接写出线 段PC的长. 6.在正方形ABCD中，点E、F、G分别是BC、CD和AB边上的点，连接AE、FG,且 AE⊥FG于点H. B(F) 图1 图2 图3 (1)如图1，点G与点B重合，即AE⊥BF,求证：AE=BF: (2)如图2，连接EF、EG、AF,若点E为BC中点，四边形AGEF的面积为10，求正方形 ABCD的边长： (3)如图3，在(2)的结论下，将正方形ABCD沿GF翻折，点C的对应点C'为AD中点， BC的对应边B'C'交AB边于点Q,连接CC',交GF于点H,连接CQ,交GF于点M求 GM的长， 7.在四边形ABCD中，BC=CD,对角线AC平分∠BCD,点H为CD边上一点，连接 BH交AC于点F,∠AFH=∠BAC+∠BHC. 图2 图3 (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形； 2)如图2，点E在BC上，BE=CF,AE交BF于点N,AL⊥BH于点L,若∠ABC=60°， 求证：AN=2NL: 3)如图3，在(2)的条件下，点G在BH上，点M在AE上，连接AG,CM,AG=13, CM=10,若∠AGB=2∠EMC,线段AL的长为 8.【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3 倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形” D 图1 图2 (1)【数学思考】如图1，在口ABCD中，若AB=BC=10,AC=2,试判断口ABCD是 否为“倍线平行四边形”，并说明理由。 (2)【深入探究】如图2，口ABCD为“倍线平行四边形”(BD>AC),点E是BC上的 动点，连接AE交BD于点F. ①若E是BC的中点，AC⊥AB,AB=2V2,求AE的长： ②过点A作AG⊥AE交BD于点G,若OG=OA,求证：E是BC的中点. 9.如图1，四边形ABCD是正方形，AB=2,点E是BC延长线上的一点，在四边形 ABCD同侧以AE为边作正方形AEFG. 图1 图2 (1)连接AC,则AC的长为 (2)连接CF,求∠ECF的度数： 3)如图2，连接AF,≥乙相交于点O, ①求证：点B,D,O三点共线， ②连接OC,试判断4OC-CF的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说 明理由 10.解决问题 G 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为口ABCD的边AD上一点，连接 BE,CE,请探究△BCE的面积与口ABCD面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中 发现：口ABCD的面积等于△BCE面积的2倍.请你写出完整的解答过程， (2)如图2，长方形ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD右侧一点， ∠AEF=∠EFD=90°，若AD=10,AE=15,EF=8,求AB的长： (3)如图3，口ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，连接DE,BF交于点 G,连接AG,若BF=DE,证明：AG平分∠BGD 11.如图，在正方形ABCD中， ③ (1)如图，在正方形ABCD中，点E,Q分别在AD和DC上，且ED=QC.证明： BE=AQ且BE⊥AQ: (2)如图②，在正方形ABCD内有一点P,过点P作EF⊥GH,点E,F分别在正方形的对 边AD,BC上，点G,H分别在正方形的对边AB,CD上，那么EF与GH相等吗？并说 明理由： (3)如图③，将边长为l0cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为 MN,点N在BC边上，点M在AD边上.请你画出折痕，则折痕MN的长是；线段 DM的长是 12.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M, 那么AE与BF相等吗？ D 图1 图2 备用图 (1)求证：AE=BF: (2)如图2，点E在边CD上，且MN⊥AE,垂足为H,当H在正方形ABCD的对角线BD 上时，连接AN,将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H处 ①四边形AHNH是正方形吗？请说明理由； ②若AB=8,点P在BD上，BD=4BP,求PH+AH的最小值. 13.【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活 动，同学们积极参与了矩形折叠活动： E 】 图1 图2 图3 (1)操作观察： 如图1所示，小华将矩形ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若 ∠AFB=60°，则∠AFE= °，AEAF(填“>”，“<”或“=”)； (2)判断与证明： 如图2所示，张三将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD相交 于点F,过点D作DG‖BF交BC于点G,请判断四边形DFBG的形状并证明： (3)迁移应用： 如图3所示，李四将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD相交 于点F,连接AE,若∠CBD=30°，CD=3V2,求AE的长. 14.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,点E是OD上 一点，点F是菱形外部一点，满足CF=DF=CE 备用图 (1)求∠ECF的度数： (2)连接BF,取BF的中点M,连接CM. ①依题意补全图形： ②用等式表示CM与DE之间的数量关系，并证明； (3)连接EM,直接用等式表示线段CM,EM与AD之间的数量关系是_， 15.如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,G,H分别是AD,BC的中点，E,F 是对角线AC上的两个动点，分别从A,C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， 设运动时间为t秒，其中0≤t≤10， G D 备用图1 备用图2 (1)四边形EGFH一定是怎样的四边形（点E,F相遇时除外）？ 答：· (直接填空，不用说理) (2)当t=8时，判断四边形EGFH的形状，并说明理由； (3)若G向D点运动，H向B点运动，速度均为每秒1个单位长度，且与点E，F同时出发， 当四边形EGFH为菱形时，t的值为 16.解答题 D 图1 图2 (1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.点P是线段CO上的动点.连接 PD,将DP绕点P顺时针旋转，使点D落在BC的延长线上的点Q处. 求证：当点P在线段CO上运动时，∠DPQ的大小是定值 (2)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD,∠ABC=60°，其他条件不变， ①求证：∠DPQ的大小是定值. ②求证：CQ=PA 17.已知，如图点M为△ABC的边BC中点，点D为直线AM上一个动点（不与点A重 合)，DE‖AB,CE‖AM,连接AE B DM D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形： (2)如图2，当∠BDE=90°时，求证：四边形ABDE是矩形： (3)如图3，延长BD交边AC于点H,过点D作DF⊥AE于点F,若BH⊥AC,且 BH=2AM,求证：四边形AFDH是正方形. 18.问题发现 A D D G D E 图1 图2 图3 (1)基本模型一十字架模型 如图1所示，在正方形ABCD内，点E在边DC上，点F在边BC上，AE、DF交于点H, ①若AE⊥DF则有结论AE=DF;②反之若有AE=DF,则有结论AE⊥DF. 对于上述问题请选择一个命题加以证明. (2)模型运用 如图2，在正方形ABCD中，AB=4,点E在边CD上（不与C、D重合），连接AE,将 △ADE沿AE翻折，得到△ADE,连接DD并延长交BC于点F. ①若DE=3,求DD的值. ②如图3，若AE与DF交于点G,连接BG,若BG‖D'E,求证：AB=GB. 19.[问题探究] D E B F C G 图1 图2 图3 (1)如图1，在矩形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD边上，BE=CG,连接 EF,过点G作GH‖EF,交BC的延长线于点H,若EF=/5,则GH的长为 2)如图2，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点P、Q分别是BC、AB边上的动 点（不与端点重合），连接PQ、CQ,点MN分别是PQ、CP的中点，连接MN,若 AB=5,AC=6,求MN的最小值： 【问题解决】 (3)如图3，李叔叔家有一个正方形菜地ABCD,他计划对其进行改造，点P为菜地内一动 点，且∠ABP=60°，点E为CD的中点，点R、G分别为AD、BC边上的动点，在改造 的过程中始终要满足CG=DF,连接AP,点Q为AP的中点，他计划在△ABP区域内种 植茄子，在△就区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿E℉、GQ修建灌溉 水渠，经测量，AB=400米，为了控制成本，要求灌溉水渠EF+GQ的总长度尽可能的 短.求当灌溉水渠EF+GQ的总长度最小时，点G的位置（即求CG的长度）·（水渠的 宽度忽略不计) 20.综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动. 图1 图2 图3 (1)作判断 操作一：对折长方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平： 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在长方形内部点M处，把纸片展平，连 接PM,BM」 根据以上操作，当点M在EF上时，∠MBC=度」 (2)迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ ①如图2.当点M在EF上时，∠MBQ=度，∠CBQ=度： ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的 数量关系，并说明理由， (3)拓展应用：在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为10cm,当FQ=1cm时， 直接写出AP的长. 参考答案 1.(1)解：不妨设CE交BF于点H, ,BF平分∠EBC, &∠EBF=∠CBF=-∠EBC, 又，∠EBC=2∠ECD ∴.∠EBF=∠CBF=∠ECD, CE⊥AD,F是CD的中点， ∴在Rt△EDC中，EF=CD=FC, .∠FEC=∠ECD, ,∠EBF=∠CBF=∠ECD, ∴.∠FEC=∠CBF, :四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, .CE⊥AD, .CE⊥BC, .在Rt△BCH中，∠FBC+∠BHC=90°， 又∠BHC=∠EHF,∠FEC=∠CBF, ∴.∠FEC+∠EHF=90°， ∴.∠EFB=180°-∠FEC+∠EHF=180°-90°=90°. (2)解：延长EF交BC的延长线于点G, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, .∠EDF=∠GCF, 又F是CD的中点， .DF=CF, 在△就和△CGF中， 6, .△≌△CGFASA, CG=DE=2,EF=FG 由(1)知∠EFB=90°，即BF⊥EG, 又EF=FG,即F为EG的中点， ,BF垂直平分EG, ..BE=BG=BC+CG=6+2=8, 在Rt△BCE中，BC=6,BE=8, 六CE=√BE2-BC2=82-6=V28=27' 在Rt△CED中，DE=2,CE=2V7, ∴CD=DE2+CE2-22+2V=32=42 ,F为CD的中点，∠CED=90, ∴EF=CD=2R2, 在Rt△EFB中，BE=8,EF=2V2, ∴BF=VBE2-EF2=964-8=V56=2V141 (3)解：延长EF交BC的延长线于点G, △g≌△CGF G 由(2)知 ..CG=DE,EF=FG 由(1)知∠EFB=90°，故BF垂直平分EG, ..BE=BG=BC+CG=BC+DE, 设DE=a,由CE=2DE得CE=2a, 在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2代入得BC+a=BC2+4a, 解得BC=3 , ,四边形ABCD是平行四边形， AD-BCo 又AD=AE+DE, .AF=AD-DE-0. 取DE中点H,连接FH,如图， ,F为CD中点，H为DE中点， CEAEH-号CE=a, .CE⊥AD FH⊥AD 又nmI-}nn-a 1 20a, CAH=AE+E)a+号 在Rt△AHF中，AH=FH=a, ∴.△AHF为等腰直角三角形， .∠DAF=∠HAF=45°. 2.(1)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AB‖CD .∠ABC+∠BCD=180°， ,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD, :∠EBC=号∠ABC,∠PCB=3∠BCD, ∠EBC+∠FCB=ABC+BCD=90, ,∠EBC+∠FCB+∠BGC=180°， :.∠BGC=180°-∠EBC+∠FCB=90°， ∴BE⊥FC. (2)解：延长QG交EF于P, D -0 由(1)知∠BGC=90°，点Q为BC中点，GQ=5, ÷GQ=BQ=CQ=2BC, ∴.BC=10,∠QBG=∠BGQ BE平分∠ABC,CF平分∠BCD, ∠EBC=3ABC,∠PCB=号∠BCD, ,四边形ABCD是平行四边形，AB=6, ..AB=CD=6,AD=BC=10,AD BC. ∴.∠AEB=∠EBC,∠DFC=∠FCB, ∴，∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF, .AB=AE,FC=FD, .EF=AE+DF-AD=2,AF=ED=4, 又，∠QBG=∠BGQ,∠BGQ=∠PGE,∠AEB=∠EBQ, .∠PGE=∠PEG ..PG=PE: 同理可证PG=PF, P是EF的中点， BE⊥FC, :PG=号EF=1,PD=QC=5, AD BC, ∴.四边形PQCD为平行四边形， ..PG CD, .PG为△AHD的中位线， :.PG=HD=1, ..HD=2. (3)解：如图， 过E作EMCF交BC于M, ,四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC, ∴.四边形EFCM是平行四边形， FC‖EM'CP=EM'EF=CM' 由(1)知BE⊥FC, .∠BGC=∠BEM=90°， ..BE2+EM2=BM2, BM=BC+CM, .BM=BC+EF, 由(1)可知，AE=AB,DF=CD=AB,AD=BC, .EF=AE+DF-AD=AB+AB-BC=2AB-BC. .BM=BC+2AB-BC=2AB, BE2+CF2-(2AB ..BE2+CF2=4AB2. 3.(1)解：①四边形EFMB是菱形，理由如下： 如图，连接BF, D 图1 ,将矩形沿CE所在直线翻折，点B的对应点为点F, ∴.CE垂直平分BF,BE=EF,∠BEM=∠FEM, .BM=FM .FM‖AB, .∠BEM=∠FME .∠FEM=∠FME, .EF=FM, .FM=BE. .BE=EF=FM=BM. ∴.四边形EFMB是菱形. ②，将矩形沿CE所在直线翻折，点B的对应点为点F,点F恰好落在AD边上， ∴.CF=BC=10,BE=EF,∠D=∠A=90°，AD=BC=10,CD=AB=8, DF=CF2-CD=102-8=6' .AF=AD-DF=10-6=4, 设BE=EF=X,则AE=AB-BE=8-X, .EF2=AE+AF2, X=(8-x2+42 解得：x=5, 由①可知，四边形EFMB是菱形， ∴.四边形EFMB的周长为4x=4×5=20 (2)解：如图，当点F在AD下方时，过点F作NG‖AD,交AB于N,交CD于G,延长 MF,交AD于H, A H D F G M B :FM‖AB,∠A=90°， .∠AHM=90°，即FH⊥AD, :△AFD的面积为10， ADF阴=10.时×10F阳=0， 解得：FH=2, :NG‖AD, .∠ANG=90°， .四边形ANFH、ANGD、BCGN都是矩形， ..AN=FH=2,CG=BN=AB-AN=6,NG=BC=10. .CF=BC=10. ∴FG=/CF2-CG2=V102-6=8'FN=NG-FG=10-8=2' 设BE=EF=y,则NE=6-y, 六y2=(6-y2+2 部物：y号 ·AE=AB-BE=8-10=14 33 如图，当点F在AD上方时，过点F作FP⊥AD于P,FQ⊥CD交CD延长线于Q, 同理可得，FP=2,四边形FPDQ是矩形，DQ=FP=2, .CQ=CD+DQ=8+2=10, .CF为Rt△CFQ的斜边， ..CF>CQ, ∴.CQ≠10， 此种情况不存在： 综上所述：AE的长为 14 4.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∴.∠BAD=90°，得∠BAE+∠DAE=90°， :点B,F关于直线AE对称， .∴.AH⊥BH, ∴.∠BHE=90°，得∠ABF+∠BAE=90°， ∴.∠ABF=∠DAE: (2)①连接AF, A ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， ,点B,F关于直线AE对称， ∴.AB=AF,∠MHF=90°， ∴.AB=AD=AF, ∴.∠ABF=∠AFB,∠AFD=∠ADF, :.∠BFD=∠AFB+∠AFD=360°-∠BAD=1360°-90=135， .'∠HMF=45°， ∴.∠HFM=90°-45°=45°， .∴.∠HFM+∠BFD=45°+135°=180°， ∴.D,F,M三点共线： ②解：作DK⊥AM于K. .∴.∠AKD=90 ,点B,F关于直线AE对称， .∴.BH=FH,∠MHF=∠AHB=90° 由(1)得∠ABF=∠DAE ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD, ∴.△ABH≌△DAK AAS, .BH=AK, .'BH=FH=AK, 设BH=FH=AK=X, A D 由①得∠HMF=∠HFM=45·. .∴.FH=HM=x, 则FM=V2x, ∴.DM=4+V2x, .:.DK=MK=2V2+x, .∴.AM=AK+MK=22+2x, .AM2=2V2+2x=8+8V2x+4x2: ∴.AB2=AK2+DK2=x2+2PV2+x=8+49V2x+2x2 ∴.2AB2-AM=8. 5.(1)解：①补全图形如图： A ②证明：，四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90, ,NM⊥ND, .∠MND=90°. .∠MND+∠CDN+∠MCD+∠NMC=360°. .∠CDN+∠NMC=360°-∠MND-∠MCD=180°， .∠BMN+∠NMC=180°， .∠CDN=∠BMN ③PB=PQ 证明：如图，将PB绕点P逆时针旋转90°到PF,连接BF,CF,NF,设NF与PC交于点 G,与BC交于点H,则∠BPF=∠FPE=90°，PF=PB, A P 11 B H M- ,PN⊥PC, .∠NPC=90°， .∠NPC=∠BPF, .∠NPC+∠FPC=∠BPF+∠FPC, .∠NPF=∠CPB, 在△NPF和△CPB中 NP=CP ∠NPF=∠CPB PF=PB .△NPF≌△CPB SAS, .∠PNF=∠PCB,NF=CB,∠PFN=∠PBC, ∠NGP=∠CGH, .180°-∠HGC-∠PCB=180°-∠NGP-∠PNF, .∠GHC=∠NPG=90°， ,四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°，DC=CB .NF‖CD,NF=DC, ∴四边形CDNF是平行四边形， ∴，∠NFC=∠CDN, 由②可知，∠CDN=∠BMN, .∠NFC=∠BMN, ∴.∠NQP=∠PBC+∠BMN=∠PFN+∠NFC=∠CFP, ,∠FPE=∠NPC=90. .∠FPE-∠CPE=∠NPC-∠CPE, .∠FPC=∠QPN, 在△NQP和△CFP中， ∠QPN=∠FPC ∠NQP=∠CFP PN=PC .△NQP≌△CFPAAS, ..PQ=PF, .PF=PB, ..PQ=PB (2)解：如图，连接NE,设CN与BE交于点O, .PN⊥PC,PN=PC, .∠PNG=45°， .∠PND=135, ∴.∠CND=∠PND-∠PNC=90°， E为CD中点， NE-CD-CF. ∴.PE垂直平分CN, ..ON=OC=CN,OCL BE, ,正方形ABCD边长为2， ∠BCD=90°，BC=CD=2, E为CD中点， d=2D-1 在Rt△BCE中，BE=VBC2+CE=V2+1=V5 GCE-BE-OC :0C=BC-CE=2x1=25 BE955 CW=20C=2×2545 55 在Rt△PNC中，PN2+PC2=2PC2=CN2= 452. 5 PC=210 6.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°， ,AE⊥BF于点H, ∴.∠BHE=90°， ∴.∠CBF+∠AEB=90° :∠BAE+∠AEB=90, .∠BAE=∠CBF, .△ABE≌△BCFASA, .AE=BF (2)设正方形边长为X,过F作FM⊥AB于M,则∠BMF=90°， ∴.∠BMF=∠B=∠C=90°， .四边形BCFM是矩形， ..FM=BC, :AE⊥BF于点H, .∠AHG=90, .∠AGF+∠BAE=90°， .∠GAM+∠AGF=90°， .∠BAE=∠MFG. ∴.△ABE≌△FMG ASA, .AE=GF, D M G B :S四边形AGEF 号AE·FG=号AE2=10, 即AE2=20 ,E是BC中点， ..BE= 3 由勾股定理：AE=AB+BE=X+=5X=20 2 4 解得x=16, x=4(边长为正). 即正方形边长为4. (3)解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：则A(0,4), B0,0),C(4,0),D4,4,由题意C是AD中点， ·c24 D H M 由翻折知，GF垂直平分CC, C4,01, .H3,2, 设CF=CF=x, 则DF=4-x, .CD2+DF2=CF2, 2+4-x2=x2 解得X号 f4, 设直线FH解析式为y=kx+b, 3k+b=2 则4k+b-2 - 解得 1 b= -2 1 1 ·直线FH解析式为y=2X+ 当x=0时，y=2 :G0 。1: .8G-BG- 设Bm,nY 1 :点6、B关于直线y-2X+ 对称， *引 ∴直线BB交直线FG于点X,片x+ i.x=m+0=m.1x+1-n+0-n 2 =22x+22=2 ∴m=2x,n=x+1, B(2x,x+1 8c=2r1- ∴解得X= 或x=0(舍去)， 1 设BC解析式为 y=px+q CO875本OH,.拍(T)L 系 =W9 I'T W. 网 :彭越 潍 -=: b ￡-=D 业湖 馗 0=p+Dt “p+D=(4年4越Op阁 告-看e0=5 + E-b =d 影拇 S 通 b=b+d乙 ∴.∠ACB=∠ACD ·.:∠AFH=∠BAC+∠BHC=∠ACD+∠BHC, ∴.∠BAC=∠ACD ∴.AB‖CD,∠ACB=∠BAC, .∴.AB=BC, BC=CD, ∴.AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形，，AB=BC, ∴.四边形ABCD是菱形： (2)证明.AB=BC,∠ABC=60°， ∴.△ABC是等边三角形， .∴.∠ABC=∠ACB=60°， .BE=CF, .∴.△ABE≌△BCF SAS, ∴.∠CBF=∠BAE, .∠CBF+∠ABF=∠BAE+∠ABF, ∴.∠ANF=∠ABC=60°， .AL⊥BH, .∠ALN=90°， .∴.∠NAL=90°-∠ANF=30°， ∴.AN=2NL: (3)作CR⊥AE,在BH上截取乙=AG=13,连接AT,作GI⊥AT, R 由(2)可知，△ABE≌△BCF, ∴.∠AEB=∠BFC, ∴.∠CER=180°-∠AEB=180°-∠BFC=∠AFL, BC=AC,BE=CF, ∴.CE=AF, .∴.△CRE≌△ALF AAS, ∴.AL=CR, .>=AG, ∴.∠GAT=∠ATG, ∴.∠AGB=∠GAT+∠ATG=2∠ATG, .∠AGB=2∠EMC, ∴.∠ATG=∠EMC, ,∠MRC=∠ALT=90°， .∴.△CRM≌△ALT AAS, ∴.AT=CM=10, .>=AG,GI⊥AT, .∴.T1=5, .GI=GT2-T2=12' 5sa0r3Ar-G1=号L-> ∴AL=A~GI=120 GT 13 8.(1)解：口ABCD是“倍线平行四边形”. 理由如下：在ABCD中，A0=C0=AC=1,B0=D0. .AB=BC=10, ∴.BO⊥AC, ∴.∠AOB=90°， .B0=V10-12=3 ∴.BD=6, ∴.BD=3AC, .∴.口ABCD是“倍线平行四边形”· (2)解：①，'口ABCD是“倍线平行四边形”， .BD=3AC,BO=OD,AO=OC, ∴.BO=3AO 设AO=X,则B0=3x. .AC⊥AB,AB=22, .2V22+x2=3x2, .x=1(舍负)， .∴.AC=2, ∴.BC=22}+22=23 .,E是BC的中点，且∠BAC=90, AE-1 BC-93. ②如图，过点B作BH⊥AE交AE的延长线于点H,连接CG,CF, G ,∵OG=OA ∴.∠OAG=∠OGA. .·AG⊥AE, ∠OAG+∠OAF=90°，∠OFA+∠OGA=90°， ∴.∠OFA=∠OAF, ∴.OA=OF, ∴.OG=OA=OF=OC, .四边形AFCG是平行四边形， .∴.AG‖FC,AG=FC. .OB=30A, 设OG=OA=OF=OC=m, 则OB=3m,FG=2m, ..FB=OB-OF=2m, ∴.FG=FB. AG⊥AE,BH⊥AE ∴.∠FAG=∠H=90°， .AG‖BH 又.·∠OFA=∠BFH, .∴.△GFA≌△BFH AAS, ..AG=BH ..AG=FC=BH, :AG‖FC,AG‖BH, .FC‖BH, ∴.∠HBE=∠FCE,∠H=∠CFE, .∴△BEH≌△CEF AAS, ∴BE=CE, .E是BC的中点。 9.(1)解：连接AC, ,四边形ABCD是正方形，AB=2 BC=BA=2,∠B=90, ·AC=9BA2+BC2=22 (2)解：如图，过点F作FM⊥BE的延长线于点M, 图1 .∠M=90° ,四边形ABCD是正方形， .∠B=90°，AB=BC. .∠B=∠M,∠BAE+∠AEB=90° ,四边形AEFG是正方形， .AE=EF,∠AEF=90 .∠MEF+∠AEB=90°. ∴.∠BAE=∠MEF 在△ABE和△EMF中， ∠B=∠M ∠BAE=∠MEF AE=EF .∴.△ABE≌△EMFAAS. ∴.BE=MF,AB=EM .BE=BC+CE=AB+CE=EM+CE=CM ∴.MF=CM ∴.△CMF是等腰直角三角形， .∠ECF=45°」 (3)证明：①，如图2，连接BD,OD,延长AD交CF于点N, 图2 :四边形ABCD是正方形， .∠CBD=45°，∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD 由(2)知∠ECF=45°. ∴.∠CBD=∠ECF=45° BD‖CF ,∠BCD=90°， .∠ECD=180°-∠BCD=90° ∴.∠DCN=45」 .∠ADC=90, .∠CDN=90°， ∴.△CDN是等腰直角三角形. ..CD=DN AD=DN.即点D是AN的中点， :四边形AEFG是正方形， .点O是AF的中点 .OD是△ANF的中位线， .OD‖NF,即OD‖CF 又BD‖CF, 点B,D,O三点共线. ②40C2-CF的值是定值，理由如下： 连接AC,OC, G ,四边形ABCD是正方形， ∠ACB=3∠BCD=46=∠ECF ∴.∠ACF=180°-∠ACB-∠ECF=90° ,四边形AEFG是正方形， ..OA=OF, 0cA加 :AF2-CF2=AC2=2V2=8 20C2-CF2=8 .40C2-CF2=8. 10.(1)解：如图所示，过点E作EF⊥BC于点F, SARCD=BCEF,SARC=BC.EF, ∴.SABCD=2 SARCE; (2)解：过点D作DG⊥AE于点G,连接DE, ,∠AEF=∠EFD=90°， ∴四边形DGEF是矩形， DG=EF=8」 .AD=10,DG⊥AE, ·AG=VAD2-DG=6 .乙=AE-AG=9, ∴.DE2=DG2+GE2=82+9=145. ,四边形ABCD是矩形， ,∠B=∠BCD=90°，AB=CD,BC=AD=10, 设BE=X,则EC=BC-BE=10-X, ..AB2=CD2, ..AE2-BE2=DE2-EC2, 即152-×2=145-(10-x2: 解得x=9, BE=9, ·AB=AE2-BE=12 D B (3)解：如图所示，连接AE,AF,过点A作AM⊥BF于点M,作AN⊥DE于点N, G 由(1)知S。ABCD=2 SAABF=2 SA ADE, S=S4e,即吃BFAM=DE·AW。 BF=DE, ..AN=AM. ∴点A在∠BGD的平分线上，即AG平分∠BGD. 11.(1)证明：在正方形ABCD中， AD=AB=BC=DC,∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠C=90°， ED=QC, ∴.AE=DQ, .∴.△ADQ≌△BAE SAS， ∴.BE=AQ,∠AEB=∠AQD, :∠DAQ+∠AQD=90°， ∴.∠DAQ+∠AEB=90°， ∴.BE⊥AQ, ∴.BE=AQ且BE⊥AQ: (2)解：EF=GH, 理由如下： 作BM‖EF交AD于M,作ANGH交CD于N,如图所示： ME Ars D P AB CD,AD BC H B ∴.四边形AGHN、四边形BMEF都是平行四边形， ∴.BM=EF,AN=GH, 由(1)的证明过程可知△ABM≌△DAN,则BM=AN, ∴.EF=GH; (3)解：连接AE，,如图所示： M D E EDC B N 为 的中点， ·DE=cD=51cml 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE=VAD'+DE-55cm” 由折叠性质可知MN⊥AE,则由(2)的证明过程可知MN=AE=5VScm, 设DM=xcm,则由折叠性质可知AM=ME=10-xcm, 在Rt△DME中，由勾股定理可得DM+DE'=ME2,则X+5=10-x, 解得x=15 ∴.线段DM的长为 5 cm. 12.(1)解：，AE⊥BF, .∠EMB=90, .∠FBC+∠BEM=90°， ,四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=∠C=90°， .∠FBC+∠BFC=90° ∴.∠BEM=∠BFC, 在△ABE和△BCF中， ∠ABE=∠BCF ∠BEA=∠CFB AB=BC .△ABE≌△BCFAAS, .AE=BF: (2)解：①四边形AHNH是正方形，理由如下： 如图3，连接CH,过点D作DG‖MN交BC于点G G 图3 则四边形DMNG是平行四边形， .DG=MN,DG‖MW, .DG⊥AE, 由(1)的结论可知，DG=AE, .AE=MN, ,四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线， :.∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC, BH=BH, ∴.△ABH≌△CBH SAS, .∠BAH=∠BCH,AH=CH, .∠ABN+∠AHN=180°， ∴.∠BAH+∠BNH=180°， .∠BNH+∠HWC=180°， .∠BAH=∠HNC, .∠HNC=∠NCH, .NH=CH. 由折叠可知，AH=AH,NH=NH, ∴.NH=CH=AH=AH=NH, ·四边形AHNH是菱形， .∠AHN=90°， ∴.菱形AHNH是正方形： ②如图4，作HQ⊥BC交CB的延长线于点Q,作HF⊥BC于点F, ∴.∠HQN=∠HFB=90°， 由上知四边形AHNH是正方形， ∴.AH=HN=HN,∠HNH=90°， .∠HNQ+∠HNF=∠HNF+∠NHF=90°， ∴.∠HNQ=∠NHF, ÷△HQN≌△NFH(AAS') ..H Q=NF,QN=HF .∠HBF=45°，∠HFB=90°， ∴，△BHF是等腰直角三角形， .HF=BF =QN=NF +BN, .QN=QB+BN, ∴.NF=QB=QH, .∠HBQ=45°， .∠HBD=180°-45°-45°=90°： 如图4，作P关于BH的对称点P,则PH=PH,过点P作PK⊥AB交AB延长线于点 K,则△PBK是等腰直角三角形， B 图4 ∴.PH+AH=PH+AH≥AP, ∴当A,H,P三点共线时，PH+AH最小，最小值为AP的长， AB=8, 由勾股定理得 D=VAB2+AD2=82 .BD=4 BP ∴BP=BP=2V2, PK-BK-BF-2 ∴.AK=AB+BK=8+2=10, 六AP=VAK2+PK=102+2=2V26:即PH+AH的最小值为226 13.(1)解：由折叠得∠AFE=∠CFE, .∠AFB=60°， ∴.∠AFE=∠CFE=×1800-60=60, 2 ,矩形ABCD中AD‖BC, .∴.∠AEF=∠CFE=60°， .∠AEF=∠AFE, ∴.AE=AF: (2)解：.四边形DFBG是菱形，证明如下： ,四边形ABCD是矩形， .AD‖BC, 又DG BF, .∴.四边形DFBG是平行四边形： :AD‖BC, '.∠FDB=∠CBD 由折叠得∠CBD=∠EBD, ∴.∠FDB=∠EBD, ∴FD=FB, .四边形DFBG是菱形： (3)解：，四边形ABCD是矩形， .AD=BC,AB=CD=3V2,∠C=∠ABC=90°， ,Rt△BCD中，∠CBD=30°，CD=32, .∴.BD=2CD=6V2, .BC=BD2-CD2-62-32P=36=AD 由折叠得∠CBD=∠EBD=30°，ED=CD=3V2,∠=∠C=90°， .∠ABF=90°-∠CBD-∠EBD=30, 又'.∠BAF=∠g=90°，∠AFB=∠EFD, .∴.∠ABF=∠EDF=30°， 如图，过点E作EG⊥AD于点G, E F D EG=ED=号V2 2 B 2 ..DG=VDE2-EG2-32P- =36 -2 AG=AD-DG=3R6-36=26, 2 ∴.AE=√AG2+EG2= 132 26 =32 2 14.(1)解：如图，连接AE, ,在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴.∠ADC=∠ABC=60°，AD=DC ∴△ADC是等边三角形， .∠ACD=60°，AC=DC ,在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是OD上一点， .∴EA=EC .CF=DF=CE ∴.CE=CF,AE=DF ∴.△ACE≌△DCF SSS .∴.∠DCF=∠ACE .∴.∠ECF=∠DCF+∠ECD=∠ACE+∠ECD=∠ACD=60° （2)解：①如图所示， E D M ②aM-D 如图，延长FC至N使得CN=CF,连接BN M EC=FC ∴.NC=EC ,点M是BF的中点， CM-]BN. 由(1)可得∠ECF=60° 设∠DCF=C,则∠ECD=∠ECF-∠DCF=60°-a ,在菱形ABCD中，∠ABC=60°， .∠BCD=120°，CB=CD .∴.∠NCB=180°-∠BCD-∠DCF=60°-a .∴.∠NCB=∠ECD ∴.△NCB≌△ECD|SAS ∴.BN=ED :GM-ED (3)解：如图所示，过点E作ET⊥CD于点T, D N ,在菱形ABCD中，∠ABC=60, .∠ADC=60°，∠BDC=30°，AB‖CD,AD=CD, ,'△NCB≌△ECD ∴.∠NBC=∠EDC=30° 又∠ABC=60° .∠ABN=90° ∴.BN⊥AB :MC‖BN .∴.MC⊥AB :AB‖CD ∴.MC⊥CD,则∠MCD=90 又ET⊥CD ∴.MC‖ET :∠EDC=30,则ET号ED XCM-ED ∴.MC=ET ∴四边形MCTE是平行四边形， ∴.CT=ME, 在Rt△ETD中，ED=2ET,则TD=VED-TE=3TE ..AD=CD=CT+TD=ME+3 MC,ME+3MC=AD 15.(1)解：在矩形ABCD中，AD‖BC,AD=BC,则∠GAE=∠HCF, ,G,H分别是AD,BC中点， ∴Ac-AD,CI-Bc. ∴.AG=CH, 由题意得AE=CF=t, 在△AEG和△CFH中， AG=CH ∠GAE=∠HCF AE=CF .∴.△AEG≌△CFH SAS, ∴.EG=FH,∠AEG=∠CFH, ∴.∠FEG=∠EFH, ∴EG‖HF, .EG=FH, .四边形EGFH是平行四边形： (2)解：四边形EGFH为矩形， 理由如下： 在Rt△ABC中，AB=6'BC=8:则由勾股定理可得AC=/6+8=10' 当t=8时，AE=CF=8,连接GH,如图所示： 图2 由(1)得AG=BH,AG‖BH,∠B=90 ∴.四边形ABHG是矩形， .∴.GH=AB=6,CH⊥BC, 由(1)知四边形EGFH是平行四边形，则OE=OF=号EP,OH=OG=GH=3, 在Rt△OHC中，OH=3,HC=4:则由勾股定理可得OC=3+4-=5: ∴.OF=CF=0C=8-5=3, 则EF=2OF=6, ∴.在▣EGFH中，EF=GH=6, 则四边形EGFH为矩形： (3)解：令M,N分别是AD,BC的中点，连接AH,CG,GH,AC与GH交于O, 如图所示： M GD ∴.AM=CN B H N 图3 由题意知MG=NH,则AG=CH, '在矩形ABCD中，AD‖BC, .AG‖CH, 则四边形AGCH是平行四边形， ,四边形EGFH为菱形， ∴.GH⊥EF, .四边形AGCH为菱形， ∴.AG=CG, 设AG=CG=x,则DG=8-x, 在Rt△CDG中，由勾股定理可得CD2+DG2=CG2:则62+8-x=X 解得x=25 MG=25-4= 4即t=9 9 ·当t=4时，四边形EGFH为菱形. 16.(1)证明：如图，过点P作PE⊥BC于点E,作PF⊥CD于点F, E C ,四边形ABCD是正方形， ∴.CA平分∠BCD,∠BCD=90°， ,PE⊥BC,PF⊥CD ,PE=PF,∠PFD=∠PFC=∠PEQ=90°， ∴.∠FPE=360°-∠BCD-∠PFC-∠PEQ=90°， ,将PD绕点P顺时针旋转到PQ, ..PQ=PD. 在Rt△PFD和Rt△PEQ中， , .Rt△PFD≌Rt△PEQ|HL, .∠DPF=∠QPE, ∴.∠DPF+∠FPQ=∠QPE+∠FPQ, :.∠DPQ=∠FPE=90°，即当点P在线段CO上运动时，∠DPQ的大小是定值. (2)①证明：如图，过点P作PG⊥BC于点G,作PH⊥CD于点H, P GC ,四边形ABCD是菱形， :.CA平分∠BCD,∠BCD=180°-∠ABC=180°-60°=120， ,PG⊥BC,PH⊥CD .PG=PH,∠PHD=∠PHC=∠PGQ=90° .∠GPH=360°-∠BCD-∠PHC-∠PGQ=60°， ,将PD绕点P顺时针旋转到PQ, ..PQ=PD. 在Rt△PHD和Rt△PGQ中， , ∴.Rt△PHD≌Rt△PGQ HL, .∠DPH=∠QPG, .∠DPH-∠HPQ=∠QPG-∠HPQ, .∠DPQ=∠GPH=60°，即当点P在线段CO上运动时，∠DPQ的大小是定值. ②证明：如图，连接BP,过点P作PM‖AB,过点M作MN‖AC, MGC ,四边形ABCD是菱形， .AC垂直平分BD,AB=BC, ..PB=PD, .PD=PQ, ..PB=PQ, .PG⊥BQ, ..BG=GQ, ,∠ABC=60°，AB=BC, “△ABC是等边三角形， .∠ACB=60°， PM‖AB, .∠PMC=ㄥABC=60°， ∴.△PMC是等边三角形， ..MG=GC, ∴.BG-MG=GQ-GC, ..BM=CQ, PM‖AB,MN‖AC, ∴.四边形APMN是平行四边形，∠NMB=∠ACB=60°， :.MN=AP,△BMN是等边三角形， ..BM=MN=AP, ..CQ=PA 17.（1)证明：DE‖AB, .∠EDC=∠ABM, .CE‖AM, .∠ECD=∠ADB, ,点M为BC中点，且D与M重合， ..BD=DC .△ABD≌△EDCASA, .AB=ED, AB‖ED, ∴，四边形ABDE是平行四边形： (2)证明：如图2，过点M作MG‖DE交CE延长线于点G, G CE‖AM 图2 ∴.四边形DMGE是平行四边形， .ED=GM, ED‖GM,AB‖ED, .AB‖MG 由(1)同理可证：△ABM≌△GMC, ..AB=GM, ..AB=DE, 又AB‖ED, ∴.四边形ABDE是平行四边形， ,∠BDE=90 “.四边形ABDE是矩形； (3)解：如图3，取线段CH的中点I,连接MI,过点M作MG‖DE交CE于点G, CE‖AM 图3 ∴.四边形DMGE是平行四边形， ∴ED=GM, :ED‖GM,AB‖ED, .AB‖MG 由(1)同理可证：△ABM≌△GMC, ..AB=GM, ..AB=DE, 又AB‖ED, .四边形ABDE是平行四边形， .EF‖BH, ,DF⊥AE,即DF⊥EF, .DF⊥BH,∠F=90°， .∠FDH=90, 又，BH⊥AC, .∠BHA=90°， .四边形AFDH是矩形： .BM=MC, .M是△BHC的中位线， ∴M‖BH,MM=BH, :BH⊥AC,且BH=V2AM, M-竖M,M上AC .∠AIM=90°， 在Rt△AMI中，AM2=MI2+AI2, 12 ·AM= 2 A-AM. 2 ..AI=MI, ∴.△AMI是等腰直角三角形， .∠MAI=45, :,△AHD是等腰直角三角形， .AH=DH, .四边形AFDH是正方形 18.解：(1)选择①，证明如下： 证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,∠ADE=∠DCF=90, .∠ADF+∠CDF=90, ,AE⊥DF, .∠AHD=90° .∴.∠ADF+∠DAE=90°， ∴.∠DAE=∠CDF, 在△ADE和△DCF中， ∠DAE=∠CDF AD=DC ∠ADE=∠DCF .∴.△ADE≌△DCF ASA, ∴AE=DF; 选择②，证明如下： 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC, 在Rt△ADE和Rt△DCF中， AD=DC AE=DF' .∴.Rt△ADE≌Rt△DCF HL, ∴.∠DAE=∠CDF, ∴.∠ADF+∠CDF=∠ADF+∠DAE=90°， ∴.∠AHD=90°， .∴.AE⊥DF: (2)①解：.四边形ABCD是正方形，AB=4, .AD=AB=4,∠ADE=90°， 在Rt△ADE中，AE=AD2+DE=32+42=5' 由翻折得，AE垂直平分DD, 记AE与DD相交于点O,则AE⊥DD,且DD'=2DO, B 在Rt△ADE中， ×ADDE=xAED0,吃×43=}X5×D0, SAADE-2 解得，D0=2 ·DD=2D0=2 : ②证明：由翻折得，AD=AD,∠AED=∠AED,∠ADE=∠ADE=90°， ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=AD,ABCD, '.∠BAG=∠AED, BG‖DE, ∴.∠BGA=∠AED, ∴.∠BAG=∠AED=∠AED=∠BGA, ∴.∠BAG=∠BGA, ∴.AB=GB 19.(1)解：如图， D E G B F C H 四边形ABCD是矩形，.∴.∠B=∠BCD=∠DCH=90°， :GH‖EF, .∠EFB=∠GHC, .BE=CG. .∴.△EBF≌△GCH AAS, ∴.GH=EF=5: (2)解：如图1， B D 图1 连接CQ,连接BD,交AC于O, ,点MN分别是PQ、CP的中点， MN-CQ. ∴.当CQ⊥AB时，CQ最小，从而MN最小， ,四边形ABCD是菱形， 'BD L AC,OA=OC=-AC=3,BD=20B, .0B=VAB2-0A2=V5-32=4 ∴.BD=8, 由Sg5ACD=AB:CQ=号AC~BD., 2 50Qx6×8, 0 、MN办 （3)解：如图2， 图2 取AB的中点T,作射线TQ,交CD延长线于H,在DC的延长线上截取CW=DE,连接 GW, ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠ADC=∠ACD=∠BCW=90°，ABCD,AB=CD, :AT=号AB,DE=CD,Q为AP的中点， 2 ∴.AT=DE,TH‖BP, ∴.∠ATH=∠ABP=60°， ∴四边形ATED是平行四边形， 口ATED是矩形，∴.∠DET=∠ATE=90°， ∴.∠ETH=30°，∠THD=∠ATH=60°， :EH=5E=405米. 3 3 DF=CG, ∴.△g≌△CWGSAS, ∴.GW=EF, ∴.GQ+EF=GQ+GW, ,Q是AP的中点， ∴.FHPB, .∴.∠ATH=∠ABP=60°， 作WW⊥TH于V, 则GQ+EF最小值是WV的值，此时W、G、H三点共线， .∠ATH=60°，AB‖CD .∴.∠THW=∠ATH=60°， ∴.∠WH=30°，即∠GWC=30°， .CW=DE=200米， ..CG--GW, 2 在Rt△CGW中，CG+CW2=GW2, cG2+2002=2CG2 解得CG=205米 20.(1)解：：由折叠有AE=BE=号AB,BM=BA,∠AEF=∠BEF=90, BEM. 取BM的中点为N,连接EN,如图1： .·∠BEM=90° 图1 .EN-BN-MN-BM, .∴.BE=EN=BN, ∴.△BEN是等边三角形， ∴∠MBE=60°， ,在矩形ABCD中，∠ABC=90°， .∠MBC=∠ABC-∠MBE=90°-60°=30°. (2)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠的性质得：AB=BM,∠PMB=∠A=90°， .∴.BM=BC,∠BMQ=180°-∠PMB=90°. ①.'BM=BC,BQ=BQ,∠BMQ=∠C=90°， .∴.Rt△BQM≌Rt△BQC HL, ∴.∠MBQ=∠CBQ, 由(1)同理可得∠MBC=30°，， A∠MBQ=∠CB0-7<MBC=15 ②∠MBQ=∠CBQ,理由如下： ,BM=BC,BQ=BQ,∠BMQ=∠C=90°， .Rt△BQM≌Rt△BQC|HL, ∴.∠MBQ=∠CBQ: (3)解：当点Q在点F的下方时，如图31， Ar-- D OFQ=1cm DF-FC=CD=5cm AB=CD=10cm 图3.1 .'QC=CD-DF-FQ=10-5-1=4 cm), DQ=DF+FQ=5+1=6cm, 由(2)有△BMQ≌△BCQ,则QM=QC=4cm, 设AP=PM=Xcm, PD=AD-AP=10-xcm,PQ=PM+MQ=x+4cm, ,在Rt△DPQ中，PD2+DQ=PQ, 10-x+62=x+42 解得：x=30 71 AP= 7cm: 当点Q在点F的上方时，如图3.2， A- 0 FQ=1cm DF=FC=5cm AB=10cm 图3.2 .QC=FQ+FC=6cm,DQ=DF-FQ=4cm, 由(2)有△BMQ≌△BCQ,则QM=QC=6cm 设AP=PM=xcm, PD=AD-AP=10-xcm,PQ=PM+MQ=x+6cm, ,在Rt△DPQ中，PD+DQ=PQ, 10-x2+42=x+62 都：多 :AP=5 cm, 综上所述，AP=30c >m或Cm