专题3.4 导数之极值点偏移-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数极值点偏移高考核心考点，涵盖对称化构造、差值比值换元、对数平均不等式及拐点偏移，按“概念-方法-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建解题框架，突破导数综合题难点。 资料以分层教学和多策略融合为特色，如用对称化构造证明x1+x2>2x0，培养学生数学思维与推理能力。设置基础例题、综合练习分层训练，配合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题3.4导数之极值点偏移 3.4.1极值点偏移-对称化构造 金知识点梳理 1.极值点偏移的含义 若单峰函数f(x)极值点，则极值点的偏移问题的图式及函数值的大小关系如下所 示： (1)极值点不偏移：若函数y=f(x)是连续函数，在区间x1,x2内有且只有一个极 X1+X2 值点x,且f(x1)=f(x2),若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点x,2 ,称这种状态为极值点不偏移（比如二次函数，如图1所示）； XX0 X2 图1 X1+X2 (2)极值点左移：X,< 2 ①峰口向上：f(x1)<f（2x,-x2,如图4所示. ②峰口向下：fx1)>f(2x-x2),如图5所示 x十x 图4 图5 C3)极值点右移：X,>十是 2 ①峰口向上：fx1)>f(2x-x2),如图6所示 ②峰口向下：fx1)<f(2x-x2),如图7所示. 图6 图7 3.对称化构造常见题型解决步骤 (1)求导，分析fx)的单调性，作出fx)的图像，由f(X1)=f(X2)得x与x的取值范 围 (2)构造辅助函数(x为fx)的极值点). ①对于结论x1tx>2xo(或x1+x<2),构造函数g(x)=fx)-f(2x。-x): ②对于结论x1>x,(或xx<x),构造函数 lx)-F(x)-F (3)求导：判断9(x)的单调性，限定x1或x的范围，判断g(x)的正负，得到不等式 的证明结论 典型例题 例1.已知函数f(x)=e-ax有两个不同的零点x1、x2 (1)求a的取值范围. (2)求证：X1+X2>2 23 2已知函数fx=-lnx+x-。 (1)若f(x)≥0，求a的取值范围 (2)证明：若fX)有两个零点x1,X2,则X1X2<1 3 @ 课后练习-巩固加强 1.已知fx)=xlnx,若f(x1)=fx2),x1≠x2,求证：x1+x2>2. 2.已知函数f(x)=xlnx,f(x1)=f(x2,0<x1<1<x2,求证：x1x2>1. 3.已知函数f(x=x-1-alnX有两个零点X1,X,求证： (@x+x2>a (2)X1X2>1. 4 4已知网数(x)=x+号X-X.若'(x,)=-0(f'(x)为f(x)的导离数)，方程 f(x)=m有两个不等实根x1、X2,求证：x1+x2>2x0. 5.已知函数fx)=x-alnx,a∈R. (1)研究函数f(x)的单调性， (2)设函数fx有两个不同的专点x1、X,且x1<x) (i)求a的取值范围：()求证：Xx>e2 5 6.已知函数f(x=x-lnx-a有两个不同的零点x1,X2. (1)求实数a的取值范围； (2)求证：X1+X2>2 7.已知函数fx)=nx,f代x)=f(x,x<e<x,求证：xx>e2 6 g电微fx+产e (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：当f(x1)=f(x2)（x1≠x2)时，x1+x2<0. 9.已知函数fx=(x-2)e'+a(x-1有两个零点 （1)求a的取值范围， (2)设x1,X2是f(x)的两个零点，证明x1+x2<2 3.4.2极值点偏移-差值换元或比值换元 囹知识点梳理 比值或差值换元的一般步骤： 步骤一：根据f(x)=f(x2)写出等式（等量关系中如果含有参数，可考虑消参：如果 含 有指数式，可考虑两边取对数)· 步骤二：根据函数形式预选比值=X或差值=X一X,咸均值、差值组合)， X, 步骤三：利用原等式解出1,2关于的表达式（可能显式或隐式含参）. 步骤四：将待证不等式用表示 步骤五：构造关于的单变量函数利用导数证明 步骤六：注意定义域的范围（由X1≠x2及大小关系得t>1或0<t<1等. ®典型例题 例1.已知函数f(x)=aln(x+2)-x(a∈R).】 (1)讨论f(x)的单调性和最值， 2)若关于x的方程C品加Xm>0有两个不等的实数根X,求证了 e"tex>2 0a(a≠0 例2.已知函数f(x)=axInx+ (1)讨论fx)的单调性 2)若函数fx有两个零点X1,X且X<X证明：名+X之 @ 课后练习-巩固加强 1.已知fx)=xlnx,若f(X1=fx2),x1≠x2,求证：x1+x2>2. OE 「T-∂<鱼玛‘(0<1)x-X=祖匹年則（亿） :2<XX:的弧4潍郭H() x≠x(x)J=(x)H‘X西=(x)H鲜纪市 ZX:严￥xx学童塑X知-Xu=(X)J28 DI<I+T 乙->x+X:￥x≠x(x)月=(x月2X=(x)4z 5已知函数f代x)=xe(x∈R若x≠x'且f(X)）=f(x小证明：x+x>2 6.已知函数f(x=lnx-ax+b(a,b∈R有两个不同的零点x1,x2. (1)求f(x的最值 1 (2)证明：X1X2<2. 11 7.己知函数f(x=X+lnx-ax,其中e为自然对数的底数 (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： 2)若函数9x)=fx)。益有两个零点x名x下X,证明：Xx,>e 8已知函数f(x)=xnx-a,g(x)=fx+a-ox X (1)当x≥1时，fx)≥-lnx-2恒成立，求a的取值范围. (2)若gx的两个相异零点为x1,X灯求证xX,>e2 12 9.已知函数f(X)=1nx-axa为常数若函数f(x有两个零点x1,X,试证明x,X,>e2, 10.已知函数f(x)=x(1-lnx). (1)讨论f(x的单调性， (2)设a,b为两个不相等的正数且blna-alnb=a-b,证明：2<+二<e a b 13 3.4.3极值点偏移-对数平均不等式 知识点梳理 基本均值不等式：若a>0,b>0那么： ,2,≤Vab≤a+b<Q+b 1.1 2Y2 a b 当且仅当a=b时取等，即：调和平均数<几何平均数≤算术平均数<平方平均数 对数平均不等式：当ab时，定义，a-b,为a,b的对数平均数且若a>b>0.那 Ina-Inb 么：b<,2,<ab<a-b<a+b<a2+b 11 Ina-Inb 22 <a.即除去a,b外，调和平均数≤几何 a b 平均数<对数平均数<算术平均数≤平方平均数. 其中几何平均数对数平均数算术平均数这部分比较常用，即： Vab<、,a-b<a+b Ina-Inb 2 常见等价变形：①lna-lnb _2(a-bl(azb-0h a+b 14 ②na-nb≤ a-b(a≥b>0: ③令 a=e,b=e可得：e<c-ee+e,此试也被称为指数平均不等式指 x-y 2 数平均不等式与对数平均不等式本质上是同一个不等式. 利用对数平均不等式求证极值点偏移问题的步骤： (1)(x1)=f(x2)建立等量关系； (2)等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； (3)通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用X1,x2表示），证明对数平均不等式， 然后代入对数平均不等式求解. 注意：对数平均不等式还能用来解决部分不等式证明题、比大小题等 金典型例题 例1已知函数f(x=ox-是-lhxa>0 (1)已知f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=x-1,求实数a的值； (2)已知fx)在定义域上是增函数求实数a的取值范围， (3)已知g(x)=f(x)+C有两个零点x1,X2,求实数a的取值范围并证明x,X,>e2. 15 例2.已知函数f(x=lnx-aX (1)讨论函数fx)的单调性 (2)若x1,x,是方程f(x)=0的两不等实根求证：x+X>2e 课后练习-巩固加强 1.已知fx=xe'fx)=f(x,x≠x求i证：x+x,<-2 2已知=fx=xx求：Xe 16 1+1>2k 3.已知f(x)=xnX-kX2+x有两个零点X1,X,求证：元+名 4已知函数f(x)=9-lnx+x-a. X (1)若f(x)≥0，求a的取值范围： （2)证明：若f(x)有两个零点X1,X2,则x1X2<1. 17 5已知函数fx)=lnx-axa为常数若函数f(x有两个零点x1,X试证明x,X,>e2. 6.已知f(x)=2x-sinx-Valnx (1)当a=1时，讨论函数f(x的极值点个数. (2)若存在x1,X20<X1<x2,使f(x1)=f(x2),求证：X1x2<a. 18 7.已知函数f(x=2x-sinx-alnx. (1)当a=0时，Vx∈(0，乃]，f(x)≤mx,求实数m的取值范围， (2)若x,X,∈(0，+o,X≠x使得f(x)=fx求证x,x,<a2 8.已知函数f(x=nx-aX (1)讨论函数f(x)的单调性. (2)若x,x,是方程f(x=0的两不等实根，求证X+X2e 19 S 3.4.4拐点偏移 珍知识点梳理 1.拐点指函数图像凹凸性改变的点，若函数的二阶导数在某一点左右异号，那么该点 即为函数图像的拐点，即若函数(x)在定义域内连续且二阶可导，且f(x)0则 (xo,f(x)是函数f(x)的一个拐点. 2.(1)若函数图像在拐点两侧的变化速度相同，那么函数图像关于拐点中心对称，这 种称为拐点不偏移.即若f(x1)+f(x2)=2f(x),有x= X1+X) ,则拐点不偏移 2 (2)若变化速度不同，则图像会出现偏移，我们把这种称为拐点偏移. ①若(x)+f(xF2f(x,有x二 ,则拐点左偏. @若x,片f0飞，广2(.有x2,则陈拐点右痛 3.解此类问题和极值点偏移相似，相当于前面所讲对称化构造，而且一阶导f(x)极 值点右偏（左偏）对应拐点右偏（左偏），偏移方向是相同的，所以一般的解题步骤如 下： (1)讨论函数f(x)单调性，也就是讨论f(x): (2)求解函数拐点，即令f(x)=0求出拐点Xo. (3)构造函数F(x)=f(x)+f(2x,-x),证明F(x)≥或≤2f(x)恒成立. (4)得出结论. 典型例题 21 例1.已知函数f(x)=2nx+x2+x,若正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)=4.证明：X1+X2≥2 例2已知函数r(x=eX-9-2定义域为0，+0 X (1)求函数f(x的单调递增区间. (2)若函数f(x)为定义域的增函数，且f(x1)+f(x2)=-4,证明：x1+x2≥2. 22 课后练习-巩固加强 1.已知函数f(x)=x-3x+1nxx>0'f(x)+f(x)=2f(x,》x,为唯一拐点，求证： X1+X2>X0 2 2.已知西数fx)=mx+X(x>0,满足fx)+fx,=21.求证：X主>1 2 3.已知函数f(x)=x2-3x2+1nxx>0,X为拐点，fx)+fx)=2fx,求证： X1+X2>Xo 2 23 4已知函数f(x)=21nx+X2-1 (1)求f(x)的最小值. (2)若X1,X2是两个不相等的正数，且f(x1)+f(x2)=0,证明：X1+x2>2. 5已知函数x刘=ca--+ef× (1)求f(x的单调区间； (2)若存在x1,XX1<x,使得fx+fx=1求证x+x,<2 24 6.f(x)-e-jx+ax+1,aER. (1)若fx)为R上的增函数求a的取值范围： (2)若a>0,X≠x且fx+fx=4证明fx+x,<2 25 专题3.4 导数之极值点偏移 3.4.1 极值点偏移-对称化构造 1.极值点偏移的含义 若单峰函数f(x)极值点x0，则极值点的偏移问题的图式及函数值的大小关系如下所示： （1）极值点不偏移：若函数是连续函数，在区间内有且只有一个极值点，且，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点，称这种状态为极值点不偏移（比如二次函数，如图1所示）； 图1 （2）极值点左移：. ①峰口向上：，如图4所示. ②峰口向下：，如图5所示. 图4 图5 （3）极值点右移：. ①峰口向上：，如图6所示. ②峰口向下：，如图7所示. 图6 图7 3.对称化构造常见题型解决步骤 （1）求导，分析f(x)的单调性，作出f(x)的图像，由得x1与x2的取值范围. （2）构造辅助函数（x0为f(x)的极值点）. ①对于结论x1+x2>2x0(或x1+x2<2x0),构造函数; ②对于结论x1x2>x02(或x1x2<x02),构造函数. （3）求导：判断的单调性，限定x1或x2的范围，判断的正负，得到不等式的证明结论. 例1.已知函数有两个不同的零点. （1）求的取值范围. （2）求证：． 解: （1）函数的导数为. 若,则,在上单调递增,至多有一个零点, 舍去. 则必有,得在上递减,在上递增,要使有两个不同的零点,则须有的最小值,即,解得. (严格来讲, 还需补充两处变化趋势的说明: 当时, ;当时, ). （2）证明:函数有两个不同的零点. 即有两个不等实根,可得有两个不等实根,设, 构造函数, 则. 当时,,但因式 的符号不容易看出, 引出辅助函数, 则,得在上递减,当时, , 即,则 ,即：. 得在上递减,有, 即 ().将 代入不等式得, 又在上递增,故，所以． 例2.已知函数. （1）若, 求的取值范围; （2）证明: 若有两个零点, 则. 解：(1)由题意知函数 的定义域为 . 由 可得函数在上单调递减,在上单调递增. 所以. 又,所以,解得：, 所以的取值范围为. （2）证明:方法一:不妨设,则由(1)知, . 令, . 则. 令.则. 所以当时, , 单调递增. 所以当时, . 所以当时, .所以在上单调递增. 所以.即在上. 又所以即 由(1)可知, 函数 在 上单调递增, 所以 , 即 1.已知，若，求证：. 解：定义域，，令，唯一极小值点； 单调性：时递减；时递增.不妨设. 构造辅助函数： 求导： 时，，则； 由均值不等式，当且仅当取等， 时，故，得. 在单调递增，故，即. 由，得； ，时单调递增，因此，整理得. 结论：不等式得证 2.已知函数，，求证：. 解：极值点，目标证明；递减，递增. 构造， 时，故，即. ；时单调递增，故，整理得. 结论：不等式得证. 3.已知函数有两个零点，求证： (1)； (2). 解：(1)和型偏移证明： ，存在唯一极值点；构造，判定单调性得；结合极值点范围，故. (2)积型偏移证明： 构造，可证，； ，结合单调性得，即. 结论：(1)(2)均得证. 4.已知函数．若（为的导函数），方程有两个不等实根，求证：． 证明: 因为,,所以. 因为在上为增函数,所以在上单调递减, 上单调递增. 由方程有两个不等实根,则可设. 欲证,即证. 即证.而 , 即证:. 即:. 设, 其中, 则: 设 , 则. 所以函数在上单调递增. 所以, 所以在上单调递减. 所以, 即, 故. 得证. 5.已知函数，. （1）研究函数的单调性. （2）设函数有两个不同的零点，且. （i）求的取值范围；（ii）求证：. 解: （1） 的定义域 , . ① 若, 则 恒成立, 在单调递增函数. ② 若, 令解得:,则在单调递减, 在单调递增. （2）证明: 因为有两个不同的零点, 由(1) 知:. 且, 要证, 即证 由于, 则 , 即证 设, , 只需证即可. , . 可知在 是单调递减函数, 故,得证 . 6.已知函数有两个不同的零点. （1）求实数的取值范围; （2）求证:. 解：（1）的定义域为. 因为， 所以当时，，当 时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值. 又当趋近于或时， 趋于. 所以，要使有两个不同的零点，只需满足，即. 所以实数的取值范围为. （2）证明：不妨设，由(1)可知，，，则. 要证，只需证. 又在上单调递增， 所以只需证，即证. 记，. 则. 当时，， 单调递增. 又. 所以，即. 所以. 7.已知函数，，求证： 解：极值点 ，目标证 ，构造 . 在 单调递增，，. ； 时 递减，，即 . 结论：不等式得证. 8.已知函数. （1）求的单调区间； （2）证明：当时，． 解：（1）. 因为对于函数 , 有 , 所以当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减. 所以 的单调递增区间为 , 单调递减区间为 . （2）证明:由（1）知,只需要证明当 时 即可, . 令 , 则 . 令 , 则 , 所以 在 上单调递减, 所以 , 所以 在 上单调递减, 所以 , 所以 在 上单调递减, 但 当 时, , 故 , 即 . 所以当 且 时, . 9.已知函数有两个零点. （1）求的取值范围; （2）设是的两个零点,证明:. 解：（1）解: 显然不是函数的零点, 当时,方程等价于, 设,求导, 故函数在上单调递减,在上单调递增, 函数在上的值域为,在上的值域为, 当时, 函数有两个零点, 故所求取值范围为. （2）证明: 根据(1)的结果,不妨设,则只需证, 考虑函数在上单调递增, 于是只需证明, 即, 接下来证, 即, 令, 当时有 , 所以 , 所以在上, 单调递增, 所以, 因此原命题得证. 3.4.2 极值点偏移-差值换元或比值换元 比值或差值换元的一般步骤： 步骤一：根据写出等式（等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含 有指数式，可考虑两边取对数）. 步骤二：根据函数形式预选比值或差值(或均值、差值组合). 步骤三：利用原等式解出关于的表达式(可能显式或隐式含参). 步骤四：将待证不等式用表示. 步骤五：构造关于的单变量函数利用导数证明. 步骤六：注意定义域的范围(由及大小关系得或等). 例1.已知函数. （1）讨论的单调性和最值. （2）若关于的方程有两个不等的实数根求证:. 解: (1) 函数 (), 若 , 则 在 上恒成立, 故 在 上为减函数,故 无最值. 若 , 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减, ∴ （2）方程 (), 即为 因为∴ ∴ ， ∴ 不妨设 ∴， ， ，， ， ∴∴∴ ∴∴，. 例2.已知函数 (). （1）讨论的单调性. （2）若函数有两个零点,且,证明: . 解：（1）解: 函数的定义域为, . ① 当时,令,得,则在上单调递减; 令,得,则在上单调递增. ② 当时,令, 得,则在 上单调递减; 令,得,则在上单调递增. 综上所述,当时,在上单调递减, 在上单调递增; 当时,在上单调递减,在上单调递增. （2）证明：证明: 因为为的两个零点,所以, . 两式相减,可得,即, . 因此,令,则： 令,则 所以函数在上单调递增, 所以,即. 因为,所以故得证. 1.已知，若，求证：. 解：定义域，，极值点. 不妨设，由，令，则. 代入等式：， 整理：， 待证，两边取自然对数：， 代入：， 两边乘，不等号方向不变：， 构造 求一阶导：当时，，且，故. 在单调递减，，因此时，说明该换元直接变形较绕，改用标准对称偏移证法更清晰：构造对称函数， . ，故，在单调递增， ，即. 由，得， 又在单调递增，故. 2.，，求证：. 解：，极值点，不妨设. 由，两边取对数：，令（均负），. 代入：，取对数：， ， 待证，代入：. 构造，， .在递增，，故在递增，，不等式成立.得证. 3.已知两零点，求证： 解：，相减：，令，. 左边，待证：. 约去正数，等价于：. 构造，. 在递增，，不等式成立. 4.已知， (1)比值换元证明：； (2)差值换元设，证明. 解：(1)比值换元证明：，设，令，. ， ，待证， 即，构造函数证明过程省略，故. (2)差值换元证明：极值点，，， 反证：若，则. 构造，，， 即，与矛盾，故. 5.已知函数.若，且，证明：. 证明：（差值换元） 由题意,, 即,化简得：, 不妨设, 由知. 令,则,所以,反解出, 则,故要证,只需证, 又因为, 等价于证, 构造函数, 则, 故 在上单调递增,, 从而也在 上单调递增,, 故原式得证. 6.已知函数有两个不同的零点. （1）求的最值. （2）证明:. 解:（1）, 有两个不同的零点, 在内必不单调,故. 此时,在上单增, 上单减. 无最小值. （2）由题知. 两式相减得,即. 故要证,即证,即证, 不妨设,令,则只需证. 设,则. 设, 则, 在上单减, . 在上单增, . 即, 在时恒成立,原不等式得证. 7.已知函数,其中为自然对数的底数. （1）当时, 求的单调区间; （2）若函数有两个零点(),证明:. 解:（1）已知,函数定义域为, 当时,,可得, 当时,单调递增; 当 时,单调递减, 所以的单调递增区间为, 单调递减区间为; （2）证明:若函数有两个零点, 满足,即,整理得, 要证,即证,满足, 需证,不妨令,即证, 不妨设, 函数定义域为,可得, 所以在定义域上单调递增,所以,满足,故不等式成立. 8.已知函数, . （1）当时,恒成立,求的取值范围. （2）若的两个相异零点为, 求证:. 解: (1) 当 时, 恒成立, 即当 时, 恒成立.设 ,所以 , 即 . .设 , 则. 所以, 当 时, , 即 在 上单调递增. 所以 . 所以, 当 时, , 即 在 上单调递增. 所以 . 若 恒成立, 则 . 所以 时, 恒成立, 的取值范围为 . 证明: (2) 不妨设 , 由， 则：，令 , 即：, 要证, 只需证, 只要证, 即证 (). 即证, 令,. 所以在 上单调递增. 当时, , 所以 成立.故. 9.已知函数,为常数.若函数有两个零点,试证明. 解：（比值换元）不妨设：. 则,可得: , 故 设, 所以在上单调递增, 所以,所以原式得证. 10.已知函数. （1）讨论的单调性; （2）设为两个不相等的正数,且,证明: . （1）解: 由函数的解析式可得, 单调递增, 单调递减, 则在单调递增,在单调递减. （2）证明: 由 , 得 , 即, 由(1)在单调递增,在单调递减, 所以 , 且 , 令, 则为的两根,其中 . 不妨令, 则, 先 , 即证 , 即证, 令, 则在单调递减, 所以, 故函数在单调递增, ,得证. 以下证明.（比值换元法） 不妨设,则. 由得,反解出. 要证,只需证,两边取对数得. . . , , . . 3.4.3 极值点偏移-对数平均不等式 基本均值不等式: 若, 那么：. 当且仅当时取等, 即: 调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数. 对数平均不等式: 当 时, 定义为的对数平均数, 且若, 那么：.即除去外, 调和平均数几何平均数对数平均数算术平均数平方平均数. 其中几何平均数对数平均数算术平均数这部分比较常用, 即：. 常见等价变形: ①; ②； ③令 , 可得：，此式也被称为指数平均不等式.指数平均不等式与对数平均不等式本质上是同一个不等式. 利用对数平均不等式求证极值点偏移问题的步骤: （1）建立等量关系; （2）等量关系中如果含有参数, 可考虑消参; 如果含有指数式, 可考虑两边取对数; （3）通过恒等变形转化出对数平均数(的值或仍用表示), 证明对数平均不等式, 然后代入对数平均不等式求解. 注意：对数平均不等式还能用来解决部分不等式证明题、比大小题等. 例1.已知函数 （1）已知在点处的切线方程为,求实数的值; （2）已知在定义域上是增函数, 求实数的取值范围. （3）已知有两个零点,求实数的取值范围并证明. 解: (1) 已知, 函数定义域为,可得, 所以,又在点处的切线方程为, 所以, 解得; (2 ) 因为在定义域上为增函数, 所以在上恒成立,即恒成立, 整理得,即, 不妨设, 函数定义域为,可得, 所以极大值,故; （3）证明：易知，函数定义域为可得， 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递减；当 时，，单调递增， 所以的最小值为， 要使函数存在两个零点的必要条件是，即， 又，所以在上存在一个零点且， 当 时，， 所以在上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数的取值范围为: 不妨设两个零点，因为， 所以 ，， 所以， 整理得，要证 ，即证， 只需证， 因为， 此时要证，只需证，即证 令此时要证 不妨设 函数定义域为可得 所以 在上单调递增,此时即 故成立. 例2.已知函数. （1）讨论函数的单调性. （2）若是方程的两不等实根,求证:. 解: (1) 由题意得, 函数 的定义域为 . 由 得: , 当 时, 在 上单调递增; 当 时, 由 得 , 由 得 , 所以 在 上单调递增, 在 上单调递减. （2）证明: 因为是方程的两不等实根, , 即是方程的两不等实根, 令, 则, 即是方程 的两不等实根. 令, 则, 所以在上递增, 在上递减,, 当时, ; 当 时, 且 . 所以, 即. 令 , 要证, 只需证, 先证：令 , 只需证： 只需证： 令 所以在 上单调递减,所以. 因为所以 所以, 即,所以. 1.已知，，求证：. 解：求导得，极值点为，函数在单调递减，在单调递增，不妨设. 由，两边取自然对数：. 换元：令（），代入得：，整理：. 由对数平均不等式：，代入得，即. 还原换元：，即，命题得证. 2.已知，，求证：. 解：求导得，极值点为，不妨设. 由得：，交叉相乘移项：. 恒等变形：. 由对数平均不等式：，代入化简得：. 结合均值不等式，联立得：，化简得. 令，构造函数可证，即，故，命题得证. 3.已知有两个零点，求证： 解：函数零点满足：，约去得：. 故，两式相减：， 整理得：. 换元：令，结合对数平均变形公式，代入推导得：. 即，还原得，命题得证. 4.已知函数. （1）若,求的取值范围: （2）证明:若有两个零点,则. 解: （1）的定义域为, 令,解得：,故函数在单调递减, 单调递增, 故 , 要使得恒成立,仅需, 故, 故的取值范围是; （2）证明: 由已知函数要有两个零点,故,即, 不妨设,要证明,即证明, , 即证明: ,又因为在单调递增, 即证明:， 构造函数, ， 构造函数 ， 故在恒成立,故在单调递增, 故， 又因为,故 在恒成立,故在单调递增, 又因为, 故, 故 5.已知函数,为常数.若函数有两个零点,试证明. 解：（对数平均不等式）由题可知满足：，所以. 根据比例的性质可得：. 不妨设,由对数平均不等式(需证明),. 两边取倒数得:，所以. 从而,即得证. 6.已知. （1）当时,讨论函数的极值点个数. （2）若存在,使,求证:. 解: (1) 当时, , 则, 当时, , 故在上单调递增, 不存在极值点; 当时, , 故函数在上单调递增, , 根据零点存在定理可知, 在上存在唯一零点, 故在上存在唯一极值点, 即当时, 函数的极值点有且仅有一个; （2）证明: 根据知, , 即 , 令 , 则 , 故在上单调递增, 当 时, 有, 即, 那么, 因此, 转化为, 接下来证明,即证明, 不妨令, 令, 则在上单调递减,, 故, 由不等式的传递性知, 即. 7.已知函数. （1）当时, ,求实数的取值范围, （2）若,使得,求证:. 解: (1) 由得, 即, 其中. 令, 得，设, 则, 所以在上单调递增, 所以, 所以, 所以在上单调递增, 所以在上有最大值, ，所以的取值范围为. 证明: (2),即, 整理为,令, 则,所以在上单调递增, 不妨设,所以, 从而, 所以,所以, 下面证明, 即证明. 令,即证明,其中,只要证明, 设,则, 所以在上单调递增, 所以，所以, 所以，所以. 8.已知函数. （1）讨论函数的单调性. （2）若是方程的两不等实根，求证:. 解: (1) 由题意得, 函数的定义域为. 由得: , 当时, , 在上单调递增; 当时, 由 得, 由 得, 所以在上单调递增, 在上单调递减. （2）证明: 因为是方程的两不等实根, ， 即是方程的两不等实根, 令,则 即是方程的两不等实根. 令,则 所以在上递增,在上递减, 当时, ; 当 时, 且 所以, 即 令 要证, 只需证 先证, 令, 只需证, 只需证, 令, 所以在上单调递减所以. 因为,所以, 所以,即,所以. 3.4.4 拐点偏移 1.拐点指函数图像凹凸性改变的点，若函数的二阶导数在某一点左右异号，那么该点即为函数图像的拐点，即若函数在定义域内连续且二阶可导，且，则是函数的一个拐点. 2.（1）若函数图像在拐点两侧的变化速度相同，那么函数图像关于拐点中心对称，这种称为拐点不偏移.即若，有，则拐点不偏移. （2）若变化速度不同，则图像会出现偏移，我们把这种称为拐点偏移. ①若，有，则拐点左偏. ②若，有，则称拐点右偏. 3.解此类问题和极值点偏移相似，相当于前面所讲对称化构造，而且一阶导极值点右偏（左偏）对应拐点右偏（左偏），偏移方向是相同的，所以一般的解题步骤如下： （1）讨论函数单调性，也就是讨论. （2）求解函数拐点，即令求出拐点. （3）构造函数，证明恒成立. （4）得出结论. 例1.已知函数,若正实数满足.证明：. 解：设 若， 即证:. 设 , 则== ∵. 例2.已知函数，其定义域为. （1）求函数的单调递增区间. （2）若函数为定义域的增函数，且，证明：. 解：（1）， ① 若, 由,得, ∴函数的单调递增区间是; ② 若, 由,得或，∴函数的单调递增区间是和; ③ 若, ，∴函数的单调递增区间是; ④ 若,由, 得或,∴函数的单调递增区间是和. 综上, 若,函数的单调递增区间是; 若,函数的单调递增区间是和; 若,函数的单调递增区间是; 若,函数的单调递增区间是和. （2）函数为定义域上的增函数,由(1)可知,,∴. ∴ ∴. 不妨设,欲证,只需证, 即证, 又只需证, 即证.令,只需证, ∴, ∴.∴. ∴. ∴. ∴单调递增,即,从而得证. 1.已知函数，，为唯一拐点，求证：. 解：求二阶导：； 在单调递增，，拐点； 构造，求二阶导：. 由均值不等式，结合，得时； 在处取得最大值，，且时； 不妨设，， 又，代入得； 在单调递增，故，整理得，拐点左偏. 已知函数，满足，求证：. ：求导：；令，拐点； 构造， 求一阶导： 时；时，； 时，设，； ； 在单调递增，故，即，拐点左偏. 已知函数，，求证：. 解：，单调递增，存在唯一使； 构造， ； 时，； ，； 在单调递增，故 4.已知函数. （1）求的最小值. （2）若是两个不相等的正数，且，证明：. 解：(1)对已知函数求导,得: (2)证法一:由(1)知, 则单调递增, 且.不妨设， 要证明, 只需要考虑时情况, 即证明： 因为,因此证明： 构造函数：， 其中 , 令. 由不等式 知 . 命题得证. 5.已知函数. （1）求的单调区间; （2）若存在,使得,求证:. 解：（1） 令, 则,解得. ∴ ∴ ∴时,函数取得极小值即最小值, ∴ ∴函数在上单调递增. （2）， ， ， ， ， ， ， ， . 6. （1）若为上的增函数,求的取值范围; （2）若,且,证明:. 解：（1），若在上为增函数，则恒成立， 即恒成立.设，则. 当时，；当时，. 在 上单调递减，在上单调递增. ，故.实数的取值范围为. （2）证明：若，由(1)知在上单调递增. 由于，已知，，不妨设. 设函数，.. 则. 则. 设，则. 由于，故在上为增函数. . 在上为减函数. . . 而在上为增函数. ，故，从而，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $