湖北省荆州市松滋市2025-2026学年下学期高二年级期末自编练习卷1

**基本信息** 立足高二选择性必修内容，融合赵爽勾股圆方图文化传承与企业生产统计实践，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|直线与圆、空间向量、概率、函数图像|第3题以“勾股圆方图”考查几何概型，体现文化数学眼光| |多选题|3|统计量、立体几何、函数性质|第9题辨析统计量性质，培养数学思维严谨性| |填空题|3|椭圆方程、球与圆柱、数列集合|第14题探究等差等比数列交点，考查创新应用| |解答题|5|数列、立体几何、概率统计、椭圆、导数|第17题结合企业生产数据，第19题导数综合问题，体现数学语言解决实际与复杂问题能力|

2025-2026学年下学期高二年级期末自编练习卷1 考试范围：选择性必修一，选择性必修二，选择性必修三 一、单选题 1．已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 2．关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图像大致是（    ） A．B．C． D． 5．已知数列满足，，则=（   ） A．-6 B．6 C．-2 D．2 6．若圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设为双曲线上且在第一象限内的点，，分别是双曲的左、右焦点，，轴上有一点且，是的中点，线段与交于点.若，则双曲线的离心率是 A． B． C． D． 二、多选题 9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 10．已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 11．已知函数，则（    ） A．函数有且只有两个零点 B．函数在上为增函数 C．函数的最大值为 D．若方程有三个实根，则 三、填空题 12．设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ． 13．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_____. 14．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 四、解答题 15．设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 16．如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且. (1)已知点在上，且，求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？ 17．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 58 60 63 64 件数（单位：件） 5 25 45 20 5 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件． （ⅰ）求抽取的零件为废品的概率； （ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率． 参考数据：若随机变量，则，， 18．已知椭圆的焦距为2，点在直线上. （1）求椭圆的标准方程； （2）若为坐标原点，为直线上一动点，过点作直线与椭圆相切点于点，求面积的最小值. 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围； (3)当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 参考答案 1．D 【详解】由题意，可得，即解得或1 因为，所以，故选B. 2．C 【详解】 由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 3．A 【解析】根据几何概率的求法:一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值. 【详解】观察这个图可知:大正方形的边长为2，总面积为4， 由直角三角形中较小的锐角，可知直角三角两直角边长为1，， 所以阴影区域的边长为，面积为， 故飞镖落在阴影区域的概率为. 故选：A 4．A 【分析】根据函数的性质及特殊点的函数值的符号进行判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 5．D 【分析】有题意可计算出，，，，，则可知数列为以4为周期的周期数列，则，由此即可计算出答案 【详解】， ， 同理 而, 故选：D. 6．B 【分析】由题意可知直线必过圆心，从而得，再利用二次函数性质求解最小值即可. 【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以． 所以， 所以，时，取到最小值为.故选：B． 7．C 【分析】根据题意，转化为与的图象有2个交点，分、和，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解. 【详解】由题意，关于的方程有2个不相等的实数解， 即与的图象有2个交点，如图所示，      当，直线与的图象交于点， 又当时，，故直线与（）的图象无公共点， 故当时，与的图象只有一个交点，不合题意； 当，直线与曲线（）相切时， 此时与的图象有2个交点， 设切点，则，又由过点， 所以，解得，所以； 当时，若，则，由，可得， 所以当时，直线与的图象相切， 由图得当时，直线与的图象有2个交点． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C． 8．A 【详解】由题意得，∴，∴直线的方程为， 令，可得，∵是的中点，线段与交于点，，∴，∴，∵，∴，故选A. 9．BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10．ABD 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】解方程，求函数的零点，判断A，求函数的导函数，解不等式可得函数的递增区间，判断B，结合函数的单调性， 作函数的图象，结合图象，判断CD. 【详解】令，则，∴，， 所以函数有且只有两个零点，故A正确；由已知， 令，得，令，得或， ∴在上为增函数，在，上为减函数，故B正确； ，， 解不等式，得或， 解不等式，得， 当时，，当时，， 作出的图象，由图象得，无最大值，故C错误； 方程有三个实根，即与的图象有三个不同的交点， ∴，故D正确， 故选：ABD． 12． 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 13． 【详解】 当侧面积最大时， ， 则, 14．①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 15．(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 16．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立； （2）先由题意，得到，取的中点为，连接，则，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】(1)∵，，∴， ∵底面是直角梯形，，， ∴，即， 又，∴， ∵，，∴， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴， ∵底面，∴， ∵，，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面； (2)∵，，，，平面， ∴平面，则为与平面所成的角， 若与平面所成的角为45°， 则，即， 取的中点为，连接，则，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， ∴，，设平面的法向量为， 则，即，令，则，，∴， ∵是平面的一个法向量，所以， 故结合图形，当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为. 17．【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先求出，再利用正态分布曲线的对称性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用条件概率公式求解. 【详解】（1）由题意可知:， 则， 所以 （2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 18．（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）利用椭圆 的焦距为2，点在直线上，求出，，，即可求椭圆的标准方程；（2）设出切线方程和代入椭圆方程，求得关于的一元二次方程，，求得，求得和的关系，根据三角形的面积公式将面积表示为关于的函数， 利用导数可求得其最小值. 试题解析：（1）椭圆 的焦距为2， ，又点在直线上， ， .故椭圆的标准方程是. （2）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设，. 由得，相切， ，且，，. ， . 当时，，又，， . 令 ，则 ， 由得，在上单减，在单增， .即当的斜率为时，面积的最小值为. 同理当时，，当的斜率为时，面积的最小值为. 综上，面积的最小值为. 19．(1) (2) (3). 【分析】（1）先求出函数在处的函数值与导数值，再利用点斜式写出切线方程； （2）先对因式分解，分析 的零点个数与的关系，再通过分类讨论不同下的单调性与极值点情况，确定的取值范围； （3）先求出的表达式，构造差函数 ，再通过求导分析的单调性与端点极限，从而确定 的取值范围. 【详解】（1） ，所以， 又 ，所以，所以切线方程为， 即. （2） 当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点； 当时，令，得或， 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 当时，与的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 综上：的取值范围为. （3）由（2）可得， ， 令，， 令，则在恒成立， 所以在单调递增，即在单调递增， ，单调递减，又时，，时，. 所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $