第2章 特殊三角形 考点解惑 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义以思维导图为核心构建特殊三角形知识体系，系统梳理图形的轴对称、等腰三角形、直角三角形等内容，通过定义、性质、判定的逻辑链条呈现知识脉络，突出三线合一、勾股定理等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念如等腰三角形边长计算，中等题通过折叠问题培养几何直观，优质题如赵爽弦图、动点问题发展推理意识与应用意识。配套月考至期末覆盖题，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第2章 特殊三角形 思维导图 2.1 图形的轴对称 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 要点提示：轴对称图形是单个图形自身具有的对称性质，对称轴可以有1条，也可以有多条甚至无数条（如圆有无数条对称轴）。 两个图形关于直线对称（轴对称）的定义 如果两个图形沿着一条直线折叠后能够完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 要点提示：轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形与轴对称的区别是：前者针对单个图形，后者针对两个图形；联系是：都沿某条直线折叠后能够重合，若把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是轴对称图形。 轴对称的性质 1. 成轴对称的两个图形是全等图形，对应边相等，对应角相等； 2. 对称轴垂直平分任意一对对称点的连线，即对称点到对称轴的距离相等； 3. 对应线段所在的直线如果相交，交点一定在对称轴上。 画轴对称图形的步骤 1. 定：确定原图形中的关键点（如顶点、端点）； 2. 作：作出每个关键点关于对称轴的对称点； 3. 连：按照原图形的顺序依次连接对称点，得到轴对称图形。 2.2 等腰三角形 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 特殊情况：等边三角形（三条边都相等的三角形）是特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。 等腰三角形的基本性质（对称性） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线（也可以表述为底边上的中线所在的直线、底边上的高所在的直线，这三条线重合，后续性质会详细说明），因此等腰三角形只有一条对称轴；等边三角形有三条对称轴，分别是三条角平分线所在的直线。 等腰三角形三边关系 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，等腰三角形中腰长必须满足：，否则无法构成三角形。 例：已知等腰三角形两边长为2和5，周长只能为，若取腰长2，则，不能构成三角形。 2.3 等腰三角形的性质定理 性质定理1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。 符号表述：在中，若，则。 推论：等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于。 性质定理2：三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 符号表述（三种等价形式）： 1. 若，，则AD⊥BC，； 2. 若，，则，AD⊥BC； 3. 若，AD⊥BC，则，。 要点提示：三线合一仅针对等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高，腰上的高与中线并不重合，非特殊情况不能混用。 等腰三角形性质的常见结论 1. 等腰三角形两底角的平分线相等； 2. 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等； 3. 等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边。 2.4 等腰三角形的判定定理 判定定理：等角对等边 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”。 符号表述：在中，若，则。 等边三角形的判定定理 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形（定义判定）； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，这里分两种情况：若顶角为，可推出底角为；若底角为，可推出顶角为，三个角都是，因此是等边三角形。 等腰三角形判定的常用技巧 1. 证明边相等时，若两边在同一个三角形中，优先考虑用“等角对等边”证明； 2. “三线合一”逆用：如果三角形中一个角的平分线垂直于对边，或者一边上的中线垂直于这边，或者一边上的中线平分对角，都可以判定这个三角形是等腰三角形。 2.5 逆命题和逆定理 命题与逆命题 1. 定义：对某一件事情作出正确或不正确判断的语句叫做命题，命题由条件和结论两部分组成，一般可以写成“如果……那么……”的形式。 2. 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。 要点提示：任何命题都有逆命题，原命题是真命题，逆命题不一定是真命题。例：“对顶角相等”是真命题，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题。 定理与逆定理 1. 定理：经过证明正确的真命题叫做定理。 2. 逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 要点提示：定理不一定有逆定理，只有逆命题为真时才有逆定理。例：“对顶角相等”没有逆定理，因为逆命题是假命题；等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”是互逆定理。 线段垂直平分线的性质与逆定理 1. 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 2. 逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 结论：线段垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 2.6 直角三角形 直角三角形的定义 有一个角是直角（）的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“”表示，如。夹直角的两条边叫做直角边，直角对的边叫做斜边。 直角三角形的性质 1. 角的性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角和为。符号表述：在中，，则。 2. 边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。符号表述：在中，，CD是斜边AB的中线，则。 推论：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这是直角三角形的判定定理。 3. 角的特殊性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么角对的直角边等于斜边的一半。符号表述：中，，，则。 逆性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 直角三角形的判定 1. 定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2. 角判定：两个锐角互余的三角形是直角三角形； 3. 边判定：勾股定理逆定理（见下一节）； 4. 中线判定：一边上的中线等于该边一半的三角形是直角三角形。 等腰直角三角形 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角相等，都等于，是特殊的等腰三角形，也是特殊的直角三角形。 2.7 探索勾股定理 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 1. 内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 符号表述：若中，，直角边，，斜边，则有 变形：，，可用于已知两边求第三边。 要点提示：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形三边不满足该关系。 勾股定理的验证 常用验证方法为面积法，通过拼接图形，利用整体面积等于各部分面积之和推导得出，常见拼接方法有赵爽弦图、青朱出入图等。 勾股定理的逆定理 1. 内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 2. 符号表述：在中，三边长分别为a,b,c，若，则，是直角三角形。 3. 作用：勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，可以通过边长关系判断三角形是否为直角三角形。 勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)等；一组勾股数都扩大相同的正整数倍后，仍然是勾股数。 勾股定理的应用 1. 已知直角三角形两边，求第三边长度； 2. 解决航海、折叠、梯子下滑、最短路径（平面展开图求两点距离）等实际问题； 3. 证明线段之间的平方关系。 2.8 直角三角形全等的判定 一般三角形全等的判定回顾 三角形全等的判定方法：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角对边对应相等），这四种方法对直角三角形同样适用。 直角三角形全等的特殊判定：HL定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”，这是直角三角形特有的全等判定方法。 符号表述：在和中，若（斜边相等），（一条直角边相等），则。 要点提示 1. HL定理仅适用于直角三角形，使用前必须先说明两个三角形都是直角三角形； 2. 判定直角三角形全等，优先考虑HL定理，若不满足HL，再用一般三角形的全等判定方法； 3. “SSA”不能判定一般三角形全等，但对于直角三角形，HL本质上就是SSA的特殊情况，因为直角是两边的夹角，所以成立。 角平分线性质的逆定理补充 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，该定理证明中会用到直角三角形HL判定。 【类型一】轴对称的图形与性质 1．下列图案中，是轴对称图形的有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2．如图，与交于点，与关于直线对称，点，的对称点分别是，，交于点．下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由轴对称的性质可得，，，， ∴， 故说法中不一定正确的是． 3．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 【答案】 /60度 【分析】根据成轴对称的两个对应点与对称轴上点的连线和对称轴的夹角相等这一性质，所以直线是和的角平分线，可分别求出和的度数，利用，代入上述两个角的度数即可得到结果． 【详解】解：如图所示， ∵和关于直线对称， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【类型二】等腰三角形的长度与角度 1．已知等腰三角形的两边长是5和11，则此三角形的周长是（     ） A．21 B．27 C．23 D．21或27 【答案】B 【分析】本题需根据等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论边长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长即可． 【详解】解：等腰三角形两边长为和，需分两种情况讨论： ①若腰长为，底边长为，则三边长为5，5，11， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； ②若腰长为，底边长为，则三边长为11，11，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴此三角形周长为． 2．已知是等腰三角形，若，则的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，已知，未明确是顶角还是底角，因此需要分情况分类讨论计算底角度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当是等腰三角形的底角时，底角即为，符合三角形内角和定理； ②当是等腰三角形的顶角时，∵三角形内角和为，等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为； 综上，的底角度数为或，故选D． 3．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 【类型三】等边三角形的长度与角度 1．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 2．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【类型四】三线合一 1．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图可知，根据等腰三角形的性质得到、，利用三角形内角和定理求出，从而求出的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， ，， ， ． 2．如图，在中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，由三线合一可得，则，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． 3．如图，在中，是边上的中线，是的边上的高，连接，是的边上的中线．若，的面积为15，则的面积为________． 【答案】 【分析】由得，，先证明，则，，设，，则，，根据求出的值，再用含的式子表示，从而求出的面积． 【详解】解：∵，是的边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【类型五】逆命题与逆定理 1．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 2．下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 3．命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题． 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 【类型六】斜中定理 1．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，求解即可． 【详解】解：由刻度尺的读数可知，， 在中，点是斜边的中点， ∴． 2．如图，直线，含角的三角板的直角顶点在直线上，角的顶点在直线上．如果边与的交点恰好是的中点，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，利用等边对等角求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质求出的度数． 【详解】解：，是的中点， ， ， ， ， ． 3．如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴. 【类型七】勾股数与构成直角三角形的条件 1．下列各组数中，属于“勾股数”的是（     ） A． B．4，6，8 C．12，16，20 D．8，10，12 【答案】C 【分析】勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的一组正整数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A，，，不是正整数，不符合勾股数定义，不符合题意； 选项B，，，， 不是勾股数，故不符合题意； 选项C，，，且三个数都是正整数， ，，是勾股数，故符合题意； 选项D，，，， 不是勾股数，故不符合题意． 2．若的三个内角分别为，三条边分别为a、b、c，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【详解】解： A．∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； B．∵，，总份数为， ∴，，， ∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意； C．∵，，， ∴，，即， ∴是直角三角形，此项不符合题意； D．∵， ∴，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，此项不符合题意． 3．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 【类型八】直角三角形的性质与判定 1．如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余求得，利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°． 【答案】56 【分析】由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵在中，， ∴． 3．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 （2）解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【类型九】全等三角形的证明—HL 1．如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据等角对等边得到，再利用即可证得结论. 【详解】证明：， ， 在和中， ，       ．   2．如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 【答案】证明：连接， ，， ． 在和中， ． ． 点在的角平分线上． 【分析】连接，可通过证明从而得到结论． 【详解】略 3．如图，在中，，点是线段上一点，连接BP并延长至点，连接，过点作于点，过点作于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等角对等边得到，证明，得到，进而得到即可； （2）根据得到，，根据三角形内角和得到，进而得到，证明，得到，可知． 【详解】（1）略． （2）略． 【类型十】等腰(边)三角形的证明 1．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2)解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）知， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判断的形状． 【详解】（1）略 （2）略 2．等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】等边三角形， 理由：为等边三角形， ． 在与中， ， ． ，． ， ， 是等边三角形． 【分析】先证得，再证，从而得出是等边三角形． 【详解】略 3．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 【类型一】镜面对称 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 2．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 3．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 【类型二】等腰三角形的个数 1．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 2．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，，，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 3．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【类型三】三线合一+斜中定理 1．已知：如图，分别是的中点．求证：． 【答案】证明：如图：连接， ∵分别是的中点． ∴在中，，在中，， ∴ 又∵N是的中点， ∴． 【分析】如图：连接，利用直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半可得、，即；再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：略． 2．已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． （1）①根据直角三角形斜边中线的性质得出，再根据等腰三角形“三线合一”即可证明；②易证，则，，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； （2）易证，则，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； 【详解】（1）解：①证明：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴； ②解：∵M是线段的中点，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，N是的中点， ∴． 故答案为：． 3．如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形外角定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）由直角三角形斜边中线可得，，继而等量代换即可证明； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 【类型四】线段垂直平分线的判定 1．已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)证明：平分，，， ， (2)证明：平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线 【分析】（1）由角的平分线性质得，再由等边对等角即可证明； （2）由平分得，由，得，结合共用可证，可得，，由垂直平分线判定定理得出是的垂直平分线即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】证明：平分，， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【分析】先证明，求解，，进一步证明即可得到结论． 【详解】略 3．如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三线合一定理得到，利用三角形内角和定理求得，再证明，得到，求得，得到，即可证明； （2）由得到，，即可得到垂直平分． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴，， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴垂直平分． 【类型五】角平分线的判定 1．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 2．已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． 3．如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可知，根据等腰三角形三线合一即可求解； （2）根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ∴, 垂直平分； （2）， ． 又，， 即，， 平分． 【类型六】勾股定理的应用 1．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【答案】(1)答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． (2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）略 2．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 3．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝上升的高度米 【分析】（1）根据题意可得米，，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 米， 此时风筝的垂直高度为米； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 风筝上升的高度米． 【类型七】勾股定理的逆定理 1．某住宅小区有一块如图所示的四边形空地，为迎接“五一”劳动节的到来，小区欲在此空地上种植盆景造型，并将盆景铺满这块空地．某校园艺兴趣小组义务帮助小区进行测量，测得米，米，米，米，，盆景造价每平方米300元．试问该小区的这个盆景造型的价值应为多少元？ 【答案】10800元 【分析】连接，根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可． 【详解】解： 如图，连接， ∵在中，米，米，， ∴米， 又∵ 米，米， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∴(平方米)， ∴(元)． 答：该小区的这个盆景造型的价值应为元． 2．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 3．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【类型八】尺规作图 1．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作角平分线交于点D，判断线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)解：如图，为所求． (2)． 证明：如图，在上截取，连接． ∵是的平分线， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）根据作角平分线的作图方法作图即可； （2）在上截取，连接．证明，得到，，结合，可得，因此，即可推出． 【详解】（1）略 （2）略 2．已知：如图，中，，，为上一点，平分交于． (1)使用尺规完成基本作图：作于点交于点．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)求证：． 证明：， 平分 ① ． ，② 在和中 ． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2)解：，， 【分析】（1）过点作的垂线，分别交于点即可； （2）根据证明过程结合图形填空即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，在中，，． (1)用尺规作线段的垂直平分线，分别交和于点E，F； (2)在上述图中连接，求的度数． 【答案】(1)如图：线段的垂直平分线即为所求， (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在线段两旁分别交于点、，过点、作直线，直线即线段的垂直平分线，分别交和于点E，F； （2）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵在中，，， ∴， 由（1）可得垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【类型九】勾股定理的网格作图 1．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图，适当保留作图痕迹． (1)在图①中，确定点C，使，点C在格点上； (2)在图②中，确定点D，使． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，取格点，可得，且，即为等腰直角三角形，所以； （2）取点，连接交于点，可得，即，则． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一条线段的长度为； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边为． 【答案】(1)解：线段即为所求作； (2)解：即为所求作； 【分析】（1）根据网格特点以及即可画出图形； （2）根据网格特点以及即可画出图形． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，每一个小正方形的边长为， (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先作出三个顶点的对称点，和，再顺次连接即可； （2）先作出点A的对应点，连接，交于点，此时的值最小，即为的值； （3）延长交于点，此时最大，即为的长； （4）根据勾股定理，计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：作出点A的对应点，连接，交于点，点即为所求， 此时的值最小，即为的值，图形略； （3）解：延长交于点，点即为所求， 此时最大，即为的长，图形略； （4）解：由图可得，， 的最大值为． 【类型一】折叠问题 1．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：， 设，则， ， 四边形沿折叠形成四边形， ， ， 四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 解得， 即的度数为． 故选：A． 2．如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 3．如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【类型二】赵爽弦图 1．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 3．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【答案】 【分析】根据，得出，证明，得出，,勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， ∴， ∴，, 在中， ∴． 【类型三】勾股定理中的半圆问题 1．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴阴影部分的面积 ． 故选B． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、半圆面积公式，解题思路是先由半圆面积公式表示出各半圆面积与对应边长的关系，再利用勾股定理得出边长平方的等量关系，结合求解；解题关键是建立边长平方与半圆面积的联系并运用勾股定理，易错点是半圆面积公式的应用及勾股定理的变形，运用了方程思想与几何公式结合的方法技巧． 【详解】解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 3．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 【答案】(1)①；② (2)还成立，理由见解析 (3)8 【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案； ②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解； （2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解； （3）由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 由网格可知：，，， 、、之间的关系是， 故答案为：； ②，理由如下： ，，，， ； 故答案为：； （2）解：还成立，理由如下： ，，，， ； ； （3）解：图中阴影部分的面积，， ． 故答案为：8． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键． 【类型四】等腰三角形中的手拉手问题 1．如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． (1)如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作，且，连接，求证：； (2)如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形．且．延长交于F，证明：F为线段的中点； (3)如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴； (2)证明：如图2，连接，过点A作，交的延长线于点H， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为线段的中点； (3) 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）连接，过点A作，交的延长线于点H，证明，得到，，则可证明，证明是等腰直角三角形，得到，，则可证明，推出，则为线段的中点； （3）证明，得到，证明，当时，最短，证明是等腰直角三角形；延长交于点O，过点O作交于点M，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则，证明，得到；证明，得到；过点C作交的延长线于点N，证明，得到，则可证明；再证明，得到，则，即． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最短， 如图所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 如图所示，延长交于点O，过点O作交于点M，连接， ∵点D为的中点，， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作交的延长线于点N， 同理可证明， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．三角形的探究与实践 (1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； (2)如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：， 即， 在和中， ． (2)，；理由如下： ， ，即， 在和中， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． (3)6 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形的面积为： ． 3．如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，得到，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）解：证明：和均为等边三角形， ． ． 在和中，， ， ； （2）①证明：由（1）可知，， 又． ， ； ②猜想：，理由： ，， 是等边三角形， ， ， ． 【类型五】勾股定理的证明 1．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 2．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 3．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 【类型六】勾股定理的平方关系 1．如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了三线合一、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据三线合一，得出，证明，再通过边相等和全等性质推出，得出，推出，最后根据勾股定理和等量代换求解即可． 【详解】解：证明：连接， ∵，于点， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵与交于点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， 又∵， ∴，即， ∴． 2．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形； （2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可； ②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 即； ②解：过作交于点，作交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 【类型七】等腰三角形的动点求t 1．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或或 【分析】（1）先利用勾股定理求出直角三角形边长，再根据垂直平分线定义建立方程求解运动时间； （2）根据角平分线性质，通过全等三角形得到线段相等关系，进而建立关于的方程求解； （3）利用平移性质得到平行线，结合中点与垂直平分线的关系，推导出线段相等，再利用等腰三角形性质建立方程求解； （4）对为等腰三角形的三种情况（、、）分别讨论，结合几何性质和线段长度关系，求出对应的值． 【详解】（1）解：在中，， 运动秒后，，，， 垂直平分时，， 即， 解得：； （2）解：如图，连接， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由平移的性质可得， ，即， ， 点为的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：当时，过点作于点， 在图①中，， ， ， 由平移的性质得， ， 在和中， ， ， 点和点重合， ，， ， ； 当时，； 当时，则点在的垂直平分线上， 同理可得，， ， 综上所述，的值为或或9． 【点睛】本题考查了角平分线性质、垂直平分线性质、等腰三角形分类讨论以及动点运动过程中的几何图形变化，熟练运用相关几何定理和分类讨论思想是解答本题的关键． 2．如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线C—A—B—C运动．设点P的运动时间为t秒． (1)______； (2)当点P在边上时，用含t的代数式表示的长并写出t的取值范围； (3)若点P在的平分线上，求t的值． (4)在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2) (3)或 (4)1或或 【分析】（1）因为是直角三角形，所以可利用勾股定理计算的长度． （2）当点P在上时，先计算点P从C到A的运动时间，得到t的起始范围；再根据的长度和点P的运动速度，用含t的代数式表示，同时确定t的终止范围． （3）若点P在的平分线上，可利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，过P作于，根据列关系式，求出的长，时间t则可获解． （4）对于是以为腰的等腰三角形，需分两种情况：和，分别针对点P在、上的不同位置，结合线段长度和运动路程列方程求解t． 【详解】（1）在直角三角形中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）当点P在边上时，∵，， ∴， ∵， . （3）作于，如图1， 为的平分线，，， ， 设， ， 解得， ， ∴； 当点与点重合时，点也是落在的平分线上， 此时， 综上所述，的值为或． （4）当为等腰三角形时，的值为1或或． 当在上时，如图2， ， 只有时，可以使为等腰三角形． 此时， ； 当在上时，且为腰，可分两种情况，，． 当时，如图3， ∴， ； 当时，过点作于点，如图4， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得:， 在中，由勾股定理得: ∴， 即， 解得 ∴ ∴ ∴； 综上:当为等腰三角形时，t的值为1或或． 【点睛】能够准确根据点P的位置进行分类讨论是解题的关键． 3．如图1，在中，，，，若点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）． (1)当点分别运动在线段、上时，用的代数式表示的长度； (2)当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)当点在边上运动时，；当点在边上运动时 (2) (3)或或或 【分析】(1)利用勾股定理求出，要分当点在边上运动时和当点在边上运动时，两种情况求解； (2)过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，利用可证，根据全等三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出，可得点运动的路程为，根据点运动的速度为即可求出运动的时间； (3)根据为等腰三角形，分四种情况求出点运动的时间． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 由题意得，点运动的路程为， 当点在边上运动时， 可得：； 当点在边上运动时， 可得：； （2）解：如下图所示，过点作， 平分， ， 在和中，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 点运动的路程为， ； （3）解：为等腰三角形， 当点在边上，且时，如下图所示， 可得：， ； 当时，如下图所示， 点运动的路程为， ； 当点在边上，且时，如下图所示， 过点作， ， ， ， ， ， 点运动的路程为， ； 当时，如下图所示， 过点作， 则有，， ， ， ，， ， ， ， 点运动的路程为， ； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解决本题时需要利用分类讨论的思想把可能出现的情况全部考虑到． 【类型八】等腰三角形的新定义 1．阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 (1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”． 2．【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 3．阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去， ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去，； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． 【类型九】勾股定理的新定义 1．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 2．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)①不是，②该三角形是可爱三角形，理由见解析； (2)的长为或． 【分析】本题考查了新定义“可爱三角形”，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长，根据“可爱三角形”的定义即可判断； ②直接根据“可爱三角形”的定义即可判断； （2）分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长， ， ∴等腰直角三角形一定不是“可爱三角形”， 故答案为：不是； ②由题意得：， ，， ， ∴该三角形是可爱三角形； （2）解：是直角三角形，， ，即， ∵是可爱三角形，， ∴有三种情况： ，即 ， ， （负值已舍去）； ，即 （负值已舍去）； ，此种情况不成立． 综上，的长为或． 3．定义：若某三角形的三边长a，b，c满足，则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：    (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； (3)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形”． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先设等边三角形的三边长分别为，，，则，然后进行计算可得：，即可解答； （2）根据已知和“类勾股三角形”的定义可得，从而可得，进而可得是直角三角形，且，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答； （3）过点作，垂足为，在上截取，连接，可得是的垂直平分线，从而可得，进而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，，然后利用线段的和差关系可得，最后分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，， 则， ， 等边三角形不是否“类勾股三角形”； （2）解：等腰三角形是“类勾股三角形”， ，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 的度数为； （3）证明：过点作，垂足为，在上截取，连接，   是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 为“类勾股三角形”． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察各选项图形： A选项中的图案沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形；B、C、D选项中的图案均找不到这样的直线，不是轴对称图形． 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，1，1 D．，， 【答案】D 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，验证每组中两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：A 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. B 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. C 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. D 最长边为，，，，能构成直角三角形，符合题意. 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分情况讨论已知内角的位置，排除不符合三角形内角和的情况即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 分两种情况讨论： ①若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去； ②若为顶角，则两个底角和为， ∴单个底角为． 因此该三角形底角度数为． 4．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，可得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ∴， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 此时． 5．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果，那么 的逆命题为_____________________ 【答案】 如果，那么 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“如果，那么”中，条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：如果，那么． 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·阶段检测）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 【答案】 【分析】设尺，则有尺，然后对运用勾股定理建立方程． 【详解】解：设尺， 由题意可知：尺，尺，尺， 尺， 尺， 在中，， ． 7．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，，，．求的值． 【答案】 【分析】在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，． 9．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； 10．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 1．（25-26八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理验证：各选项计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否组成直角三角形． 【详解】A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形． 2．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ． 3．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 5．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 【答案】12 【分析】熟练掌握勾股定理，直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：另一直角边长 ． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 【答案】 或 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：根据题意，由非负数的性质得，， 解得：，， ①当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为； ②当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为． 7．（25-26八年级下·北京·期中）如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质及正方形的性质可得出，；由勾股定理得出，设，解方程，得出，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 8．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为中的角平分线，，，延长至F，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得到，由三角形内角和定理得到，则，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ∴， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 1．（24-25八年级下·北京·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，1， D．1，1，1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，若三角形三边长，，（为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，只需计算两短边的平方和，与最长边的平方比较即可判断． 【详解】解：选项A，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； 选项B，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； 选项C，最长边为，∵，，∴，满足，能构成直角三角形，符合题意； 选项D，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意． 2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（    ）米． A．13 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【详解】解：∵，， ∴（米）． ∴树折断之前有18米． 3．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 4．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 5．（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 【答案】/59度 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，在中，平分 ， 平分，过点作分别交，边于点、，的周长为18，的周长为25，那么边 的长为_________ 【答案】7 【分析】利用角平分线和平行线的性质可得、，从而得到、．将的周长转化为．已知 的周长为 25，即可求出． 【详解】∵平分平分， ∵， 的周长为18， 即 ∵的周长为 25， ， ． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为________________ ．    【答案】2或3或8 【分析】根据长方形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：，为的中点， ， 四边形是长方形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于，    此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于，    由勾股定理得：， 即；， 所以的长是2或3或8． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用三角形内角和定理求出角的度数证明． 【详解】解：是等边三角形，平分，， ，，， ． 又， ， ， ． 【点睛】重点掌握三线合一． 9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由，，，根据“”证明，得，，所以，推导出，则； （2）连接并延长交于点，由，，推导出，而，，可根据“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）点、分别在边、上，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （2）连接并延长交于点， ，， ， ， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ，平分， ． 10．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）根据图形，探究以下问题： (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①探究与的数量关系：__________________（直接填写结论） ②线段、之间的数量关系：__________________（直接填写结论）． (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D、E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】(1)①② (2)；，理由如下： 和都是等腰直角三角形， ，，，， ， ， （）， ， ， ， ， ． （）， ． ，， ， ． (3) 【分析】（1）结合等边三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质即可求解； （2）结合等腰直角三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质和三角形的外角性质即可求解； （3）结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质和三角形的外角性质即可求解． 【详解】（1）解：①和都是等边三角形， ，，， ， ， ②∵，，， （）， ． （2）解：略 （3）解：和都是等腰三角形，， ， 同理可证，（）， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形 思维导图 2.1 图形的轴对称 轴对称图形的定义 如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 要点提示：轴对称图形是单个图形自身具有的对称性质，对称轴可以有1条，也可以有多条甚至无数条（如圆有无数条对称轴）。 两个图形关于直线对称（轴对称）的定义 如果两个图形沿着一条直线折叠后能够完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 要点提示：轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形与轴对称的区别是：前者针对单个图形，后者针对两个图形；联系是：都沿某条直线折叠后能够重合，若把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是轴对称图形。 轴对称的性质 1. 成轴对称的两个图形是全等图形，对应边相等，对应角相等； 2. 对称轴垂直平分任意一对对称点的连线，即对称点到对称轴的距离相等； 3. 对应线段所在的直线如果相交，交点一定在对称轴上。 画轴对称图形的步骤 1. 定：确定原图形中的关键点（如顶点、端点）； 2. 作：作出每个关键点关于对称轴的对称点； 3. 连：按照原图形的顺序依次连接对称点，得到轴对称图形。 2.2 等腰三角形 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 特殊情况：等边三角形（三条边都相等的三角形）是特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。 等腰三角形的基本性质（对称性） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线（也可以表述为底边上的中线所在的直线、底边上的高所在的直线，这三条线重合，后续性质会详细说明），因此等腰三角形只有一条对称轴；等边三角形有三条对称轴，分别是三条角平分线所在的直线。 等腰三角形三边关系 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，等腰三角形中腰长必须满足：，否则无法构成三角形。 例：已知等腰三角形两边长为2和5，周长只能为，若取腰长2，则，不能构成三角形。 2.3 等腰三角形的性质定理 性质定理1：等边对等角 等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。 符号表述：在中，若，则。 推论：等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于。 性质定理2：三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 符号表述（三种等价形式）： 1. 若，，则AD⊥BC，； 2. 若，，则，AD⊥BC； 3. 若，AD⊥BC，则，。 要点提示：三线合一仅针对等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高，腰上的高与中线并不重合，非特殊情况不能混用。 等腰三角形性质的常见结论 1. 等腰三角形两底角的平分线相等； 2. 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等； 3. 等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边。 2.4 等腰三角形的判定定理 判定定理：等角对等边 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”。 符号表述：在中，若，则。 等边三角形的判定定理 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形（定义判定）； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，这里分两种情况：若顶角为，可推出底角为；若底角为，可推出顶角为，三个角都是，因此是等边三角形。 等腰三角形判定的常用技巧 1. 证明边相等时，若两边在同一个三角形中，优先考虑用“等角对等边”证明； 2. “三线合一”逆用：如果三角形中一个角的平分线垂直于对边，或者一边上的中线垂直于这边，或者一边上的中线平分对角，都可以判定这个三角形是等腰三角形。 2.5 逆命题和逆定理 命题与逆命题 1. 定义：对某一件事情作出正确或不正确判断的语句叫做命题，命题由条件和结论两部分组成，一般可以写成“如果……那么……”的形式。 2. 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。 要点提示：任何命题都有逆命题，原命题是真命题，逆命题不一定是真命题。例：“对顶角相等”是真命题，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题。 定理与逆定理 1. 定理：经过证明正确的真命题叫做定理。 2. 逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 要点提示：定理不一定有逆定理，只有逆命题为真时才有逆定理。例：“对顶角相等”没有逆定理，因为逆命题是假命题；等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”是互逆定理。 线段垂直平分线的性质与逆定理 1. 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 2. 逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 结论：线段垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 2.6 直角三角形 直角三角形的定义 有一个角是直角（）的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符号“”表示，如。夹直角的两条边叫做直角边，直角对的边叫做斜边。 直角三角形的性质 1. 角的性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角和为。符号表述：在中，，则。 2. 边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。符号表述：在中，，CD是斜边AB的中线，则。 推论：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这是直角三角形的判定定理。 3. 角的特殊性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么角对的直角边等于斜边的一半。符号表述：中，，，则。 逆性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于。 直角三角形的判定 1. 定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2. 角判定：两个锐角互余的三角形是直角三角形； 3. 边判定：勾股定理逆定理（见下一节）； 4. 中线判定：一边上的中线等于该边一半的三角形是直角三角形。 等腰直角三角形 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角相等，都等于，是特殊的等腰三角形，也是特殊的直角三角形。 2.7 探索勾股定理 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 1. 内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 符号表述：若中，，直角边，，斜边，则有 变形：，，可用于已知两边求第三边。 要点提示：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形三边不满足该关系。 勾股定理的验证 常用验证方法为面积法，通过拼接图形，利用整体面积等于各部分面积之和推导得出，常见拼接方法有赵爽弦图、青朱出入图等。 勾股定理的逆定理 1. 内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 2. 符号表述：在中，三边长分别为a,b,c，若，则，是直角三角形。 3. 作用：勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，可以通过边长关系判断三角形是否为直角三角形。 勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)等；一组勾股数都扩大相同的正整数倍后，仍然是勾股数。 勾股定理的应用 1. 已知直角三角形两边，求第三边长度； 2. 解决航海、折叠、梯子下滑、最短路径（平面展开图求两点距离）等实际问题； 3. 证明线段之间的平方关系。 2.8 直角三角形全等的判定 一般三角形全等的判定回顾 三角形全等的判定方法：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角对边对应相等），这四种方法对直角三角形同样适用。 直角三角形全等的特殊判定：HL定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”，这是直角三角形特有的全等判定方法。 符号表述：在和中，若（斜边相等），（一条直角边相等），则。 要点提示 1. HL定理仅适用于直角三角形，使用前必须先说明两个三角形都是直角三角形； 2. 判定直角三角形全等，优先考虑HL定理，若不满足HL，再用一般三角形的全等判定方法； 3. “SSA”不能判定一般三角形全等，但对于直角三角形，HL本质上就是SSA的特殊情况，因为直角是两边的夹角，所以成立。 角平分线性质的逆定理补充 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，该定理证明中会用到直角三角形HL判定。 【类型一】轴对称的图形与性质 1．下列图案中，是轴对称图形的有（     ） A． B． C． D． 2．如图，与交于点，与关于直线对称，点，的对称点分别是，，交于点．下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 【类型二】等腰三角形的长度与角度 1．已知等腰三角形的两边长是5和11，则此三角形的周长是（     ） A．21 B．27 C．23 D．21或27 2．已知是等腰三角形，若，则的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 3．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【类型三】等边三角形的长度与角度 1．如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【类型四】三线合一 1．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的中线，是的边上的高，连接，是的边上的中线．若，的面积为15，则的面积为________． 【类型五】逆命题与逆定理 1．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 2．下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 3．命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【类型六】斜中定理 1．如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，直线，含角的三角板的直角顶点在直线上，角的顶点在直线上．如果边与的交点恰好是的中点，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 【类型七】勾股数与构成直角三角形的条件 1．下列各组数中，属于“勾股数”的是（     ） A． B．4，6，8 C．12，16，20 D．8，10，12 2．若的三个内角分别为，三条边分别为a、b、c，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D． 3．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【类型八】直角三角形的性质与判定 1．如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°． 3．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 【类型九】全等三角形的证明—HL 1．如图，在四边形中，，E是上的一点，，连接，，．求证：． 2．如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 3．如图，在中，，点是线段上一点，连接BP并延长至点，连接，过点作于点，过点作于点．求证： (1)； (2)． 【类型十】等腰(边)三角形的证明 1．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 2．等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 3．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【类型一】镜面对称 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 2．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 3．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【类型二】等腰三角形的个数 1．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【类型三】三线合一+斜中定理 1．已知：如图，分别是的中点．求证：． 2．已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） 3．如图，和分别位于异侧，，点是的中点，连接，，． (1)求证：为等腰三角形 (2)若，，求的度数： (3)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【类型四】线段垂直平分线的判定 1．已知：如图，是的平分线上一点，，，垂足分别为，． 求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 2．如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 3．如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【类型五】角平分线的判定 1．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 2．已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 3．如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分． 【类型六】勾股定理的应用 1．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 2．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 3．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【类型七】勾股定理的逆定理 1．某住宅小区有一块如图所示的四边形空地，为迎接“五一”劳动节的到来，小区欲在此空地上种植盆景造型，并将盆景铺满这块空地．某校园艺兴趣小组义务帮助小区进行测量，测得米，米，米，米，，盆景造价每平方米300元．试问该小区的这个盆景造型的价值应为多少元？ 2．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 3．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【类型八】尺规作图 1．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作角平分线交于点D，判断线段，，之间的数量关系，并证明． 2．已知：如图，中，，，为上一点，平分交于． (1)使用尺规完成基本作图：作于点交于点．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)求证：． 证明：， 平分 ① ． ，② 在和中 ． 3．如图，在中，，． (1)用尺规作线段的垂直平分线，分别交和于点E，F； (2)在上述图中连接，求的度数． 【类型九】勾股定理的网格作图 1．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图，适当保留作图痕迹． (1)在图①中，确定点C，使，点C在格点上； (2)在图②中，确定点D，使． 2．如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图1中，画一条线段的长度为； (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边为． 3．如图，每一个小正方形的边长为， (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)直接写出的最大值为 ． 【类型一】折叠问题 1．如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【类型二】赵爽弦图 1．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 3．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【类型三】勾股定理中的半圆问题 1．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是__________． 3．勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 【类型四】等腰三角形中的手拉手问题 1．如图，为等腰直角三角形，，，点D为平面内一点，连接． (1)如图1．当点D在边上运动时，过点C在右侧作，且，连接，求证：； (2)如图2，当点D在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形．且．延长交于F，证明：F为线段的中点； (3)如图3，若点D为中点，连接，过点B作的平行线，E为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于G，连接，，当线段最短时，求的值． 2．三角形的探究与实践 (1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； (2)如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 3．如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【类型五】勾股定理的证明 1．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 2．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 3．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【类型六】勾股定理的平方关系 1．如图，，，，垂足为点，交于点，交于点，求证：． 2．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 3．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【类型七】等腰三角形的动点求t 1．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线C—A—B—C运动．设点P的运动时间为t秒． (1)______； (2)当点P在边上时，用含t的代数式表示的长并写出t的取值范围； (3)若点P在的平分线上，求t的值． (4)在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 3．如图1，在中，，，，若点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）． (1)当点分别运动在线段、上时，用的代数式表示的长度； (2)当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【类型八】等腰三角形的新定义 1．阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 (1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 2．【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 3．阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【类型九】勾股定理的新定义 1．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 2．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 3．定义：若某三角形的三边长a，b，c满足，则称该三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：    (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； (3)如图，在中，，且．证明：为“类勾股三角形”． 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，1，1 D．，， 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则该三角形的底角度数为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果，那么 的逆命题为_____________________ 6．（25-26八年级下·安徽芜湖·阶段检测）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 7．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 8．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，，，．求的值． 9．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 10．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 1．（25-26八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，点F、G是边上的两点，分别以线段、为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点、点，若线段、在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 5．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）直角三角形斜边长13，一直角边长5，另一直角边长为____． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 7．（25-26八年级下·北京·期中）如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 8．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为中的角平分线，，，延长至F，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 1．（24-25八年级下·北京·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，1， D．1，1，1 2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（    ）米． A．13 B．15 C．18 D．20 3．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 4．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．（25-26七年级下·河南安阳·期末）如图，将一张长方形纸条折成图中的形状，若，则的度数为______． 6．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，在中，平分 ， 平分，过点作分别交，边于点、，的周长为18，的周长为25，那么边 的长为_________ 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为________________ ．    8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 10．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）根据图形，探究以下问题： (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①探究与的数量关系：__________________（直接填写结论） ②线段、之间的数量关系：__________________（直接填写结论）． (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D、E在同一条直线上，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $