山东省泰安泰山中学2025-2026学年高二下学期期末考试冲刺训练

**基本信息** 高二期末冲刺训练卷，涵盖函数、概率统计、导数等核心知识，通过医学统计案例（如鼻骨缺失胎儿染色体检测）与函数零点证明等题，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数导数、概率统计|基础概念辨析，如相关系数与线性相关性判断| |多选题|3/18|条件概率、排列组合|多选项设计，考查逻辑严谨性，如不同箱子摸球概率计算| |填空题|3/15|分段函数、二项式定理|简洁设问，如存在性问题求参数范围| |解答题|5/77|导数应用、独立性检验|分层设计，导数题从极值到恒成立再到证明，概率统计题结合医学数据，体现实际应用价值|

山东省泰安泰山中学2025-2026学年高二下学期期末考试冲刺训练 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（本题5分）下列结论正确的是（   ） A．已知随机变量，则 B．已知随机变量，则 C．若利用最小二乘法得到的回归直线方程为，且，，则 D．相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的线性相关性越强 4．（本题5分）已知函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）现安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，则不同的安排方法共有（    ）． A．480种 B．1080种 C．1560种 D．2640种 6．（本题5分）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 7．（本题5分）随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（    ） A．y与x呈负相关关系 B．经验回归直线经过点 C．经验回归方程为 D．y与x的线性相关程度较强 8．（本题5分）已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）下列说法正确的是（ ） A． B．被8除的余数为7 C．甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有120种排法 D．现有6本不同的书，分成三份，每份2本，则共有90种分法 11．（本题6分）已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若，则__________. 13．（本题5分）已知，则________ 14．（本题5分）函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16．（本题15分）已知的展开式按的降幂排列，且只有第3项的二项式系数最大. (1)直接写出的值； (2)求展开式中各项系数的和； (3)判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，说明理由. 17．（本题15分）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 18．（本题17分）部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：      是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（本题17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合. 【详解】因为，， 故. 2．A 【分析】求导，代入计算. 【详解】，则，所以. 故选：A. 3．D 【分析】根据超几何分布的期望公式代入验证选项A；根据正态分布在均值处的对称性判断选项B；根据回归直线必过样本均值点，代入验证选项C；根据相关系数绝对值与线性相关性的关系判断选项D. 【详解】根据超几何分布的期望公式：，故A错； 正态分布，均值是对称中心，故，因此，故B错； 回归方程必过样本均值点，代入，得：，故C错. 相关系数r的绝对值范围为，绝对值越大，线性相关性越强，故D对. 故选：D. 4．B 【分析】根据对数函数和二次函数的性质，列出不等式组求解即可. 【详解】由在单调递增，应满足，当时，为增函数，则， 当时，为增函数，则，且， 综上所述，解得， 故选：B． 5．C 【分析】首先将6名大学生分组，使得每所学校都有大学生去实习，然后对每一组利用排列数和组合数求出安排方法种数，然后它们的和即是答案. 【详解】为满足题意，将6名大学生分为3，1，1，1或2，2，1，1四组， 所以不同的安排方法共有种. 故选：C． 6．C 【分析】根据对称性可得函数的图像关于直线成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从而可判断和的大小，从而得结论. 【详解】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 7．D 【分析】利用正负相关的概念即可作出选项A的判断，利用经验回归直线经过样本中心点，可通过计算判断B，利用公式求参数和，即可判断C，利用相关系数接近于1可判断D. 【详解】由样本相关系数可得y与x呈正相关关系，故A错误； 由数据可得: , 故经验回归直线经过点，故B错误； 由， 则，故经验回归方程为，故C错误； 由于样本相关系数较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，故D正确； 故选：D. 8．B 【分析】令，将原方程有4个根转化为与有1个交点，与有3个交点；或者与有2个交点，与有2个交点，再结合函数的单调性及值域判断可得. 【详解】由函数，当时，单调递增，值域为； 当时，，当时，单调递减，值域为 当时，单调递增，值域为.所以当时，.如图： 又由，令，则，解得. 要使原方程有4个不同实根， ①与有1个交点，与有3个交点； 所以且，即，符合题意； ②与有2个交点，与有2个交点. 当且，即，符合题意； 当且，因为，故不存在，不符合题意； 综上所述，或 故选：B 9．ACD 【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 10．BC 【分析】根据组合数性质、二项式定理展开式、排列组合的定序问题及分组问题的相关知识，对选项逐一求解判断即可. 【详解】对于选项A：由组合数性质可知，所以A错误； 对于选项B：因为， 所以即被8除的余数为7，所以B正确； 对于选项C：先从6个位置中选3个位置给甲、乙、丙，由于顺序固定，这3个位置的排法只有1种， 剩下3个位置排丁等其他3人，有种排法.根据组合数公式， 所以总排法种数为，所以C正确； 对于选项D：根据题意，分法种数有，所以D错误. 故选：BC. 11．BCD 【分析】A根据判断；B根据单调性的定义判断；C利用计算；D将问题转化为，结合单调性可求. 【详解】令，则，得， 故不是奇函数，故A错误； 任取，且，则， 则 ， 则，故在上单调递增，故B正确； 令，则， 则 ， 故C正确； 因为，所以， 故可化为， 因为在上单调递增，所以，得，故D正确. 故选：BCD 12．1 【分析】对于给定的分段函数，先计算的值，再计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 13． 【分析】通过赋值法即可求解. 【详解】将代入原式得：①， 将代入原式得：②， ①②得：，即. 故答案为： 14． 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故的取值范围为． 15．(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 16．(1)4 (2)0 (3)存在，-4 【分析】（1）依据题意直接判断即可； （2）使用赋值法，令可得结果； （3）列出通项，然后简单计算即可. 【详解】（1）由题可知：只有第3项的二项式系数最大，所以 （2）令，所以展开式中各项系数的和为0 （3）展开式的通项为, 令，所以存在常数项， 17．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 18．(1)有关 (2)分布列见解析， 【分析】(1)根据列联表及所给公式计算出，对照附表做出相应判断. (2)用列联表中所给的频数，算出相应频率，并以此估计概率.显然，服从二项分布，据此可写出其分布列，并求出其数学期望. 【详解】（1）解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关. 由题知. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于. （2）由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为, 以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为， 即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为 为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为, 且，故. 则的分布列如下 0 1 2 3 故的数学期望. 19．(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值； （2）对和分类讨论，当时由知条件不满足，当时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到的取值范围是； （3）由条件可直接得到，然后通过导数判断在上的单调性，再证明，即可通过反证法得到结论. 【详解】（1）当时，，从而. 故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 从而有唯一的极值点，且是极小值点，对应极小值为，无极大值. （2）由，知. 若，则. 而对有，所以在上递减. 故，从而对不成立，不满足条件； 若，则对有，所以在上递增. 从而对任意，有，满足条件. 综上，的取值范围是. （3）据（2）的结果，当时对有，故对有. 此即，所以对任意的，在中取就有. 回到原题. 若在区间上存在唯一零点，根据（2）的结果，首先有. 此时对有，对有. 所以，在上递减，在上递增. 而，故上的零点满足. 由于，而对任意的，都有，取，就有，从而. 所以. 假设，由及有，所以. 由在上递增，且，即可从，推知. 但这与是的零点矛盾，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $