暑假作业09 导数的极值与最值（含实际应用）（巩固培优,2知识9题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦导数应用核心，以极值、最值概念为基础，通过8类典型题型构建从概念理解到实际应用的完整训练体系，培养数学思维与建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心知识点|含极值/最值定义、特征及常用结论|从局部极值到整体最值，构建概念内在联系，明确导数与极值点的逻辑关系| |题型|8类典型题型（含选择、填空、解答及实际应用）|涵盖图像判断、直接求解、含参讨论、实际优化等|按“概念理解→基础应用→综合拓展”递进，典例覆盖高频考法与易错点，强化知识迁移能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 用导数研究函数的极值、最值 （含实际应用） 【知识点1 函数的极值】 1.函数的极值的相关概念 条件 f'(x0)＝0 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为 x0为 极值 f(x0)为 f(x0)为 极大值点与极小值点统称为 ，极大值与极小值统称为 . 2.函数的极值极值与极值点的特征 　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点. (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 【知识点2 函数的最值】 1.函数的最值的相关概念 (1)最值点 最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值 都 f(x0). 最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值 都 f(x0). (2)最值：函数的 和 统称为最值. 　函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 2.常用结论 (1)对于可导函数f(x)，“f'(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的 条件. (2)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的 . 【题型1 结合函数（导函数）图像判断极值与最值点】 1．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（   ）   A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 2．（25-26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）设函数在上可导，其导函数为，且函数图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．为的极小值 B．为函数的极大值 C．有一个极大值 D．为的极小值 4．（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【题型2 求已知函数的极值与极值点】 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 3．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数有三个零点 D．点为函数的对称中心 4．（多选）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 5．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期中）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个零点 C．恰有2个极值点 D．曲线在点处的切线方程为 【题型3 求已知函数在固定区间最值】 1．（2026·山东滨州·二模）已知函数，，则函数的最大值为__________. 2．（25-26高二下·吉林延边·期中）函数，的最小值是______． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)求在区间的最值． 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 【题型4 求含参函数的极值与最值】 1．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 3．（22-23高二下·吉林长春·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，求在区间的最小值. 4．（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知函数，． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）求函数的最大值． 【题型5 已知极值求参数】 1．若函数在处取得极值3，则__________. 2．已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 3．若是函数的一个极值点，则_____. 4．已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 5．若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是__________. 【题型6 已知极值点个数求参数】 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）若函数在处取得极值3，则__________. 2．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 3．（24-25高二下·江西·阶段检测）已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 4．（23-24高二上·河北邢台·阶段检测）若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是__________. 【题型7 由函数的最值求参数】 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，则________. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 4．（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 5．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【题型8 用导数解决生活中的优化问题】 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车最高速度为，要使从相距甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（   ） A． B． C． D． 4．（20-21高二下·广东珠海·期中）一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 2．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） .3．（25-26高二下·天津静海·期中）已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．时，的最小值是0 D．在内有且只有4个极值点 8．（多选）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 9．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为______. 10．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 11．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知函数. (1)求; (2)已知，函数，当时，求的最小值. 12．（2026·辽宁朝阳·三模）已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)设函数，若为的极小值点，求实数a的取值范围． 1．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 3．（25-26高三上·全国·期中）函数在区间上的极值点的个数为（    ） A．252 B．253 C．504 D．505 4．（2026高三下·天津·专题练习）已知且，则函数的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二下·山东临沂·期中）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．点是的对称中心 B．过可以作两条直线与图象相切 C．在区间（）上有最大值，则m的取值范围是 D．在上单调递减，则 6．（2019·河南开封·三模）已知函数，，（常数且）. （1）当与的图象相切时，求的值； （2）设，若存在极值，求的取值范围. 7．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，令求函数在区间上的最大值； (3)记为的从小到大的第个极值点，若对一切，恒成立，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 用导数研究函数的极值、最值 （含实际应用） 【知识点1 函数的极值】 1.函数的极值的相关概念 条件 f'(x0)＝0 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 2.函数的极值极值与极值点的特征 　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点. (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 【知识点2 函数的最值】 1.函数的最值的相关概念 (1)最值点 最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不超过f(x0). 最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不小于f(x0). (2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值. 　函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 2.常用结论 (1)对于可导函数f(x)，“f'(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. (2)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 【题型1 结合函数（导函数）图象判断极值与最值点】 1．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是（   ）   A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 【答案】D 【分析】分析出的正负，进而得出的单调区间和极值即可求解． 【详解】当时，，所以在和上单调递增，故A错误； 当时，，所以在和上单调递减，故C错误； 所以当和3时，取得极大值，又与的大小未知，故无法判断最大值， 当时，取得极小值，故B错误，D正确． 2．（25-26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图象，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 【答案】D 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）设函数在上可导，其导函数为，且函数图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．为的极小值 B．为函数的极大值 C．有一个极大值 D．为的极小值 【答案】C 【分析】结合函数的图象，确定满足不等式，的的范围，判断函数的单调性，结合极值的定义判断结论. 【详解】，并结合其图象，可得到如下情况， 当时，，故，故在单调递减； 当时，，故，故在单调递增； 当时，，故，故在单调递增； 当时，，故，故在单调递减； ∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点， 故函数的极小值为，极大值为， 故A、B、D错，C正确. 4．（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小到大依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 【题型2 求已知函数的极值与极值点】 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ， 令，得，解得. 因为为增函数， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 2．（25-26高二下·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 【答案】D 【分析】求导，令，再根据单调性确定极值点判断即可． 【详解】， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则0不是极值点，A错误； 是极小值点，B错误； 是极大值点，C错误； 是极大值点，D正确． 3．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数有三个零点 D．点为函数的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，通过求导即可分析单调性与极值；B选项，利用单调性即可比较函数值大小；C选项，利用零点定义即可求出函数的零点；D选项，利用即可验证对称中心. 【详解】对于A：因为， 由，得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 对于B：因为当时，单调递增， 而当时，，所以，故B错误； 对于C：令，得或，所以函数有两个不同的零点，故C错误； 对于D：因为，即， 所以点为函数的对称中心，故D正确. 4．（多选）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，对任意，函数是偶函数，故A正确. 当时，，， 当时，，故，在上单调递减，无极值点，故B错误. 当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又，所以当时，；当时， ， 因此是在上唯一的极小值点，为，故C正确. 当时，结合C选项可知，在处取得最小值，方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 5．（多选）（25-26高二下·陕西西安·期中）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个零点 C．恰有2个极值点 D．曲线在点处的切线方程为 【答案】ABD 【分析】求导，令，得，即可判断A；利用导数的几何意义求解判断D；利用导数的正负分析函数的单调性，进而求解判断BC. 【详解】由，得， 令，得，解得，故A正确； 则，，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即，故D正确； 由于的定义域为，且， 令，得，令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有1个极值点，故C错误； 而， ， ， 结合的单调性可得恰有2个零点，故B正确. 【题型3 求已知函数在固定区间最值】 1．（2026·山东滨州·二模）已知函数，，则函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】先求函数的导数，再列表判断可得函数的最大值. 【详解】由函数，得， 令，解得或者， 列表： 所以是函数在上唯一极大值点，也是最大值点， 因此函数的最大值为. 2．（25-26高二下·吉林延边·期中）函数，的最小值是______． 【答案】 【分析】通过求导确定函数在区间上的单调性，结合单调性分析最小值即可. 【详解】因为，，则， 令，则，解得；令，则，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且，，即， 所以函数在上的最小值为. 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)求在区间的最值． 【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，然后可求极值； （2）比较函数极值与区间端点处函数值的大小关系，据此可得函数最值. 【详解】（1），，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 从而，； （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增. 则， 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）设，已知函数，若曲线在点处的切线斜率为． (1)求实数的值，并求该切线方程； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1)，切线方程为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出及切线方程. （2）确定函数在给定区间上的单调性，进而求出最大值及最小值. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线斜率为，得，因此， ，，所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【题型4 求含参函数的极值与最值】 1．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解； （2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 已知在处取极值，则，解得． 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. （2）函数的导数为， 已知，，则， 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 综上可得： ． 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 3．（22-23高二下·吉林长春·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，求在区间的最小值. 【答案】(1)， (2)当时的单调增区间为，，单调减区间为； 当时在R上单调递增； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值； （2）求导函数，分，，讨论可得结果； （3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值. 【详解】（1）当时定义域为R， 且， 所以当或时，当时， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 即，； （2）函数定义域为R，则， 令，解得或， ①当时，则当或时，， 当时，， 所以的单调增区间为，，单调减区间为； ②当时，恒成立，所以在R上单调递增； ③当时，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为； 当时在R上单调递增； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； （3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为， 若，即时在上单调递减， 所以在上的最小值为， 若，即时，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为， 所以. 4．（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知函数，． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）求函数的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可； （2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 【详解】（1）当时，， ，单调递增； ，，令，解得， 的单调减区间为 （2）， 当，在递增， 当，在和递增，在递减， 当，在和递增，在递减， ，，，. 当时，在和递增，在递减， ，故 综上：. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 【题型5 已知极值求参数】 1．若函数在处取得极值3，则__________. 【答案】12 【详解】因为，所以， 因为函数在处取得极值3， 所以，解得， 检验：当，时，函数，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当或时，，函数在，上单调递增， 所以函数在处取得极大值， 在处取得极小值， 经检验，满足题意， 所以. 2．已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 【答案】0 【分析】对函数求导，根据极大值求出的值，然后求出极小值即可. 【详解】由， 由，有，可得或6． 当时，， 当或时，;当时，, 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极小值点，不合题意； 当时，， 同理可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极大值点，符合题意． 可得的极小值为． 3．若是函数的一个极值点，则_____. 【答案】 【分析】对函数进行求导，是极值点，则，计算出的值代入原函数计算即可. 【详解】， 因为是函数的极值点， 所以，即， 故，所以，. 故答案为： 4．已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据导函数在极值点处函数值为0，计算求参，再代入检验求值. 【详解】由题意得，则，得或． 当时，令， 得或，单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，令，得或， 单调递增，单调递减， 在处取得极大值，符合题意． 故答案为：. 5．若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用函数极小值与导数的关系，列式计算即可. 【详解】因为在区间内只有极小值，无极大值， 所以0在区间内只有一个左负右正的异号根， 即关于的方程在区间内只有一个左负右正的异号根， 所以，得. 故答案为：. 【题型6 已知极值点个数求参数】 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）若函数在处取得极值3，则__________. 【答案】12 【详解】因为，所以， 因为函数在处取得极值3， 所以，解得， 检验：当，时，函数，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当或时，，函数在，上单调递增， 所以函数在处取得极大值， 在处取得极小值， 经检验，满足题意， 所以. 2．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 【答案】0 【分析】对函数求导，根据极大值求出的值，然后求出极小值即可. 【详解】由， 由，有，可得或6． 当时，， 当或时，;当时，, 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极小值点，不合题意； 当时，， 同理可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极大值点，符合题意． 可得的极小值为． 3．（25-26高二上·云南昭通·期末）若是函数的一个极值点，则_____. 【答案】 【分析】对函数进行求导，是极值点，则，计算出的值代入原函数计算即可. 【详解】， 因为是函数的极值点， 所以，即， 故，所以，. 故答案为： 4．（24-25高二下·江西·阶段检测）已知函数在处取得极大值，则实数的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据导函数在极值点处函数值为0，计算求参，再代入检验求值. 【详解】由题意得，则，得或． 当时，令， 得或，单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，令，得或， 单调递增，单调递减， 在处取得极大值，符合题意． 故答案为：. 5．（23-24高二上·河北邢台·阶段检测）若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用函数极小值与导数的关系，列式计算即可. 【详解】因为在区间内只有极小值，无极大值， 所以0在区间内只有一个左负右正的异号根， 即关于的方程在区间内只有一个左负右正的异号根， 所以，得. 故答案为：. 【题型7 由函数的最值求参数】 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可． 【详解】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，则________. 【答案】 【分析】求出导函数，由的解是极值点，利用极大值为0，建立关于的方程并求解即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无最大值，不合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故为极大值点，也是最大值点， 依题意，最大值，解得. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 (2) 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 4．（2026·山东淄博·三模）已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 5．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得解析式，分别讨论和两种情况，根据的正负，可得的单调区间，综合分析，即可得答案. （2）分别讨论、、和四种情况，根据的正负，可得的单调性，求出的最小值，根据条件，求出a值，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）因为，函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，则在上单调递减， 所以，解得，不合题意，故舍去； 当时，若即，则在上单调递增， 所以，解得，符合题意； 若即，则在上单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若即，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1时，. 【题型8 用导数解决生活中的优化问题】 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到利润函数，利用导数求最值判断. 【详解】由题知总收入 ，成本 ， 因此利润 ， 则，令 ，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此时利润取得最大值. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的体积公式，圆的周长公式以及利用导数和二次函数性质求最值. 【详解】设圆柱的底面半径为米， 则底面周长，两个底面的总周长为. 钢筋总长为，所以用于做母线的钢筋总长度为：, 母线共有段，所以圆柱的高为:, 圆柱的体积, 对进行求导：,令 得(舍),, 当时，此时，圆柱体积最大. 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车最高速度为，要使从相距甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出电力消耗费用与速度的关系，再列出总费用与速度的函数关系，通过导函数分析单调性，求出最小值求解. 【详解】设火车每小时电力消耗费用，将代入可得， 设火车从甲城开往乙城的速度为， 则总费用，（）， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 即当时，总费用最低，故A正确． 4．（20-21高二下·广东珠海·期中）一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设，设圆的半径为x，矩形高，得窗户的周长，利用导数研究单调性，即可确定窗户周长最小时圆的半径. 【详解】设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，则， ∴， 窗户的周长， ，由，得， 时，即递减；时，即递增， 当时，L取最小值， 故选：C． 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（    ） A．0是极大值点 B．是极大值点 C．是极小值点 D．是极大值点 【答案】D 【分析】求导，令，再根据单调性确定极值点判断即可． 【详解】， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则0不是极值点，A错误； 是极小值点，B错误； 是极大值点，C错误； 是极大值点，D正确． 2．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．曲线在处的切线斜率小于零 B．的极值点有 3个 C．在区间上单调递减 D．3是的极小值 【答案】A 【分析】根据函数的图象，结合导数的几何意义，以及函数的单调性与极值（点）的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 所以曲线在处的切线斜率小于零，所以A正确； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 且是函数的极小值， 所以函数只有两个极值点，所以B，C，D都错误. 3．（25-26高二下·天津静海·期中）已知三次函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，再求，利用导数研究单调性进而求得函数的极大值，进而求解. 【详解】由题意得：，所以，解得， 所以， 所以， 令，解得或， 由或，由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为：. 4．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的极小值点为3，求得，利用导数确定函数的单调性及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，解得或， 当时，， 此时当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值，不满足题意； 当时，， 函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意； 当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且函数的极小值点为3，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，    所以的解集为. 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据极值的概念可知，再解方程即可． 【详解】解：，又在处取得极值， ，解得或， 经检验符合题意， 时，单调递增无极值，故舍去， 则． 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】因为，，定义域为. 所以. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值为. 当，所以函数的值域为. 要使函数的值域为, 则，解得， 故选：D. 7．（多选）（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．时，的最小值是0 D．在内有且只有4个极值点 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的概念可判断A，通过求导确定单调性，再结合函数对称性可判断BCD. 【详解】A选项：定义域为， ，是奇函数，选项正确； B选项：，，， 故在上单调递增，选项错误； C选项：当，，， 故在单调递增，所以的最小值是，选项正确； D选项：，，解得：或， 当时，，当，， 当时，， 即在，单调递增，在单调递减， ∴在内有且只有2个极值点， 结合奇函数的对称性，在内有且只有4个极值点，选项正确. 8．（多选）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 【答案】AC 【详解】已知，求导得， 选项A：因为，有两个不同的实根， 且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确； 选项B：令，得，即，解得， 因此直线与图象有个公共点，B选项错误； 选项C：的极大值为（恒成立）， 极小值为有三个零点等价于极小值小于， 即，结合得，即，C选项正确； 选项D：当时，，所以在上恒成立， 在单调递减，， 当时，，不满足，D选项错误. 9．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）如图，一块边长为6cm的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚度）的最大值为______. 【答案】 【分析】先应用正四棱锥的体积公式得出，再构造函数，利用求导推得函数单调性求得最值即可． 【详解】设该容器的底面边长为，则该容器的高为， 设该容器的容积为，则该容器的容积． 设函数，得． 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 则，所以. 10．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 11．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知函数. (1)求; (2)已知，函数，当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数求导，代入求出的值，再代入计算. （2）先确定的表达式，代入得到，对求导并因式分解，根据导数的符号分情况讨论的取值范围，分析在上的单调性，进而求出最小值. 【详解】（1）对求导，得. 令，得，解得. 故. （2）由，得， 则，. ，其中恒成立. 当时，，，在上单调递减，. 当时，令，得. 若，即，，在上单调递增，. 若，即，，在上单调递减，. 若，即，在上单调递减，在上单调递增， . 综上，. 12．（2026·辽宁朝阳·三模）已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)设函数，若为的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， 令，则，恒成立， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增． (2) 【分析】（1）通过多次求导，即可判断单调性； （2）求导，通过，，，讨论单调性，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）， 由（1）知当时，，即， 又，且，所以为奇函数，其图象关于对称， 所以当时，，即． ①若，则，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ②若，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ③若，则与同号，所以， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． ④若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意． 综上，实数a的取值范围为． 1．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由推得，代入函数解析式消元后，求出导数，根据的取值分类讨论验证，即得参数的范围. 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 2．（2026·河北保定·二模）已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（   ） A．2026 B．2025 C．1014 D．1013 【答案】D 【分析】根据函数极值点的定义，结合等比数列下标的性质、对数的运算性质进行求解即可. 【详解】， 令，解得或， 所以函数的单调递增区间为和， 令，解得，所以函数的单调递减区间为， 因此是函数的两个极值点，因此， 3．（25-26高三上·全国·期中）函数在区间上的极值点的个数为（    ） A．252 B．253 C．504 D．505 【答案】B 【分析】通过求导转化极值点条件为正切函数与分式函数的交点问题，结合正切函数的周期性与区间范围，统计交点个数得到极值点数量. 【详解】依题意，， ， 令，整理得， 画出与的图象如下图所示， 的周期， 由图可知，在区间上， 两个函数图象分别有个交点，区间上没有交点， 且在每个交点的左侧，， 在每个交点的右侧，，所以每个交点的横坐标都是极值点， ，所以极值点共个. 故选：B 4．（2026高三下·天津·专题练习）已知且，则函数的图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，判断函数的单调性和极小值的范围即可确定结果. 【详解】当时，，又因为，所以， 而，那么. 对函数求导得，令， 对求导得，因为，所以，即在上单调递增. 又因为，所以由零点存在定理可知， 存在，使得，即此时，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极小值，也是最小值. 将代入上式可得. 令，求导得. 当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递增，在上单调递减，所以.. 当时，，所以选项A的图象不可能，B图象可能. 当时，，所以D图象可能. 当时，，所以C图象可能. 5．（多选）（24-25高二下·山东临沂·期中）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．点是的对称中心 B．过可以作两条直线与图象相切 C．在区间（）上有最大值，则m的取值范围是 D．在上单调递减，则 【答案】ABD 【分析】求解“拐点”即可求解A，根据点斜式求解切线方程，代入求解或，即可判断A，根据函数的单调性即可求解CD. 【详解】对于A, ，令，，故是的对称中心，故A正确， 对于B，设切点为，则切线方程为， 将代入可得，解得或，故过可以作两条直线与图象相切，B正确， 对于C, 令，则或，故在上单调递增，在单调递减，在单调递增，，要使在区间（）上有最大值，故，故C错误， 对于D, 在上恒成立，故，解得，故D正确， 故选：ABD. 6．（2019·河南开封·三模）已知函数，，（常数且）. （1）当与的图象相切时，求的值； （2）设，若存在极值，求的取值范围. 【答案】(I) (Ⅱ) 【分析】（Ⅰ）设切点为，再利用导数的几何意义求出a的值；（Ⅱ）由题得，再对a分类讨论，利用导数分析函数极值情况得到的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）设切点为，， 所以过点的切线方程为，即， 所以，解得. （Ⅱ）依题意，，， 当a＞0时，令，则， 令，，令，， 所以，当时，单调递减；当时，单调递增. 若存在极值，则，即， 又时，， 所以，时， 在存在零点，且在左侧，在右侧， 即存在变号零点. 当a＜0时，当时，单调递增；当时，单调递减. 若存在极值，则，即， 又时，， 所以，时， 在存在零点，且在左侧，在右侧， 即存在变号零点. 所以，若存在极值，. 7．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，令求函数在区间上的最大值； (3)记为的从小到大的第个极值点，若对一切，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】(1)先求导得切线斜率，结合切点坐标，用点斜式得到曲线在该点的切线方程. (2)对求导，结合的范围判断单调性，确定最大值. (3)先求极值点，然后将不等式转化为函数最值问题，通过导数求函数最大值，再求得的范围. 【详解】 （1）当时，，， 又，， ∴曲线在点处的切线方程为. （2）由已知， 则， 设， 其中. 当时，，在区间上单调递减， ∴对任意有，即， 在区间上单调递减， 因此函数在区间上的最大值为. （3）， 令，由得，即， 而对于， 若，， 即，，则； 若，， 即，，则； 因此，在区间与上， 的符号总相反， 于是当时，取得极值， ∴， 此时，． 对一切恒成立， 即恒成立，即恒成立， 设，则，令得，. 当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 且当时，， ∴， 因此，恒成立，当且仅当，解得， 故实数a的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $