第05讲 反比例函数（3大知识点+16大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第05讲 反比例函数（3大知识点+16大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 判断(画)反比例函数图象 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十 判断反比例函数的增减性 题型十一 判断反比例函数图象所在象 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十五 根据图形面积求比例系数(解析式) 题型十六 求反比例函数解析式 知识点01 反比例函数的定义 反比例函数的定义：形如y = k/x（k为常数，且k ≠ 0）的函数称为反比例函数。 知识点02 图像特征 图像特征：反比例函数的图像是双曲线，分布在第一和第三象限或第二和第四象限，取决于k的正负。 知识点03 解析式求解 解析式求解：通过已知的变量对应值，可以求解k的值，从而确定反比例函数的具体形式。 【典型例题一 用反比例函数描述数量关系】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·二模）已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ． 4．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）若某城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为 ． 5．（22-23九年级下·山东·课后作业）举出生活中变量具有反比例函数关系的实例（1～2例）． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【典型例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列函数①；；③；④；⑤中，y是x的反比例函数的有 （填序号）． 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 5．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）关系式 中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由． 6．（2023八年级下·浙江·专题练习）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题三 根据反比例函数的定义求参数】 1．（22-23九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 2．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）反比例函数的图象经过点，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南永州·模拟预测）已知反比例函数经过点，则的值是 ． 4．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 5．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个反比例函数为，求的值． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【典型例题四 求反比例函数值】 1．（2024·重庆·一模）函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁大连·一模）已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（    ） A．12 B．24 C．20 D． 3．（2024·浙江舟山·一模）已知，则关于的函数为 ． 4．（2024·海南省直辖县级单位·二模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点，那么点和点是否在这个函数的图象上？为什么？ 6．（2023·浙江湖州·一模）已知与y成反比例，且当时， （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值. 【典型例题五 由反比例函数值求自变量】 1．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）双曲线要经过点，则m的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知点，在反比例函数的图象上，则 ． 4．（2023·重庆·三模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点，则 ． 5．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期末）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图是该反比例函数的图象，且. (1)求关于的函数表达式； (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度. 【典型例题六 判断(画)反比例函数图象】 1．（2024·重庆·二模）函数 的图象一定不经过点（　　） A． B． C． D． 2．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 3．（22-23九年级下·四川绵阳·期中）反比例函数的图象在 象限． 4．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知点，在反比例函数的图象上，则 （填“>”、“<”或“=”）． 5．（22-23八年级下·福建莆田·期末）在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，利用这两个图象回答：取什么值时，比大? 6．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）已知关于的反比例函数 (1)若该函数的图象经过点，求的值，并在下图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． x 1 2 3 4 y 1 2 4 【典型例题七 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知反比例函数的图像分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是（    ） A． B．1 C．0 D． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 4．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 6．（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【典型例题八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（22-23九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则代数式ab－5的值为（    ） A．－3 B．0 C．2 D．－5 2．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）若一次函数y=mx与反比例函数的图象相交于点（，2），那么该直线与双曲线的另一交点为 ． 4．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A（1，3）、B（x，y），则x＝ ． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)画出这个反比例函数的图象． (2)利用所画图象求当时，x的取值范围． (3)已知是所画图象上的三个点．比较的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，在图像的任一个分支上任意取些点，如，然后在直角坐标系中分别作出它们关于原点的对称点．你发现了什么？你认为反比例函数的图象具有怎样的对称性？ 【典型例题九 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象在二、四象限，则m可能的值为 ． 2．（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）已知反比例函数，则可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个图像位于第二、四象限的双曲线的函数表达式 ． 4．（2024九年级下·重庆·专题练习）如图是反比例函数的图象，那么实数m的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限，求m的取值范围． 6．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 【典型例题十 判断反比例函数的增减性】 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津西青·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）已知反比例函数，当时，函数y随x的增大而 ； 4．（2023·福建福州·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m n（用“”或“”号连接）． 5．（2024·福建南平·一模）反比例函数图象经过点，． (1)求的值； (2)若点在反比例函数图象上，其中，求的取值范围． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数（为常数,）的图像经过点． (1)求这个函数的解析式; (2)判断点,是否在这个函数的图像上,并说明理由; (3)当时,求的取值范围． 【典型例题十一 判断反比例函数图象所在象】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 2．（2024·云南文山·一模）下列反比例函数的图象经过第二、四象限的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）函数的图象是 ，分别位于第 象限． 4．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）已知反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，写出一个符合条件的的值： ． 5．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 【典型例题十二 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（2024·湖南长沙·三模）在双曲线的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是 ． 4．（2024·陕西咸阳·二模）反比例函数（为常数，且）的图象经过点，已知在每个象限中，函数值都随自变量的增大而增大，则的值是 5．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）已知反比例函数为常数且），若在每个象限内，函数值随的增大而减小，求的取值范围． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，求的取值范围． 【典型例题十三 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（2024·江苏南通·二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东临沂·二模）若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海徐汇·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么的值是 ． 4．（2024·辽宁·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 6．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【典型例题十四 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）点 是反比例函数 上一点，过点 A 分别做 x轴、y轴的垂线，点 B、C 分别为垂足，则四边形的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．2 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 3．（2024·福建南平·一模）在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，过点A作轴于点B，连接，则的面积是 ． 4．（2024·广东湛江·一模）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为 ． 5．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【典型例题十五 根据图形面积求比例系数(解析式)】 1．（2024·云南昆明·三模）如图，点B是反比例函数图象上的一点，过点B分别作轴于点A，轴于点C．若四边形的面积为2，则k的值是（    ）    A．2 B． C．1 D． 2．（2024·湖南衡阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）点是反比例函数的图象上一点，轴于，若的面积为1，则 ． 4．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是 ． 5．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 6．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【典型例题十六 求反比例函数解析式】 1．（2024·海南海口·二模）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（　　） A． B． C．3 D．4 2．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．3 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知双曲线经过点，那么k的值等于 ． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的表达式是 ． 5．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 6．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一次数学课外活动中，小红所在的小组到眼镜店调查了一些数据，整理成如的统计表： 眼镜度数（度） 200 400 800 镜片焦距（米） 0.5 0.25 0.125 细心的小红发现：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例． (1)求出眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式． (2)若小红的眼镜度数为度，求该镜片的焦距． 【变式训练1 用反比例函数描述数量关系】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列等式中，a和b成反比例的是（   ） A． B． C． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）下面几组量不成反比例的是（　　） A．路程一定，时间和速度 B．长方形面积一定，长和宽 C．圆周长一定，圆的直径和圆周率 D．比的前项一定，比的后项和比值 3．（22-23九年级上·福建龙岩·期末）已知经过某闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时， ． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）函数 （k是常数， ）叫做反比例函数，k叫做 ． 5．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知y是关于x的反比例函数，、和、是自变量与函数的两组对应值．下面关系式中，哪些成立？哪些不成立？你是怎样判断的？ (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式训练2 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）下列函数中，是的反比例函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）在①；②；③；④（a≠－1）四个函数中，为反比例函数的是 ．（填序号） 5．（22-23八年级下·山西临汾·期末）我市到杭州的高速公路大约长，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间和行驶的平均速度之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？ 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【变式训练3 根据反比例函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 2．（2023九年级上·全国·专题练习）反比例函数的比例系数是（   ） A．2 B． C． D．1 3．（2024·上海闵行·三模）若函数是反比例函数，则的值是 ． 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么 ． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 6．（22-23九年级·全国·课后作业）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 【变式训练4 求反比例函数值】 1．（23-24九年级下·重庆开州·期中）反比例函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南楚雄·一模）若点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．1 C． D．3 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）反比例函数的图像经过、两点，则 ． 4．（2024·河南安阳·模拟预测）写出一个在反比例函数的图象上的点的坐标： ． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 6．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【变式训练5 由反比例函数值求自变量】 1．（2023·天津西青·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，则它的图象经过点（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）点在反比例函数的图像上，则m的值为 ． 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知点，在反比例函数上，则 ． 5．（23-24九年级上·吉林·期末）已知是的反比例函数，并且时，． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 6．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点和点． (1)求该反比例函数的解析式和a的值． (2)若点A先向左平移个单位长度，再向下平移m个单位长度得到点，点仍落在该反比例函数的图象上，如图所示，求m的值． 【变式训练6 判断(画)反比例函数图象】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是 ． 4．（2023·广东佛山·一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误 ． 5．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 6．（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：    x … 0 1 2 … y … 3 2 m … (1)绘制函数图象． ①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． 判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）． ①函数图象关于原点对称；（    ） 函数图象与直线没有交点；（      ） ②请写出该函数图象的变化趋势 ． 【变式训练7 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）反比例函数（为常数）的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．若某函数图像上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ． 4．（22-23九年级上·山西·期末）若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，请写出一个满足条件的反比例函数表达式 ．（写出一个即可） 5．（22-23九年级上·广西百色·期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为50kPa时，求V的值； (3)当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点． (1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围． (2)若，求自变量t的取值范围． 【变式训练8 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（22-23九年级下·陕西咸阳·开学考试）已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为（      ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A，B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）反比例函数y=﹣的图象的对称中心的坐标是 ． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，过原点O的直线与反比例函数y＝的图象相交于点A(1,3)、B(x，y)，则点B的坐标为 ． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，与的直径为2，反比例函数的图像与两圆分别交于点A，B，C，D，求图中阴影部分的面积． 6．（22-23九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y， （1）用树状图或列表法表示出坐标(x，y)的所有可能出现的结果； （2）求取出的坐标(x，y)对应的点落在反比例函数y＝图象上的概率． 【变式训练9 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（2024·重庆·三模）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是 ． 4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）反比例函数的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 ．（写出一个符合条件的k值即可） 5．（23-24九年级上·吉林松原·期末）反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的值和反比例函数的解析式． 6．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【变式训练10 判断反比例函数的增减性】 1．（22-23九年级上·福建宁德·期中）反比例函数图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A．函数图象始终经过点 B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 2．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（    ） A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 3．（2023·福建·一模）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 4．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）若、两点都在函数的图像上，且<，则k的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知反比例函数 （m为常数）的图象在每个象限内y随x增大而增大，求m的取值范围． 6．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围． 【变式训练11 判断反比例函数图象所在象】 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，反比例函数的图像其中一支在第一象限，另一支在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知反比例函数，则函数图象所在象限是第 象限． 4．（2024·江苏镇江·一模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电泡时，电流与电阻的函数表达式为．在安全范围内，I的值随着R的值的增大而 （填“增大”、“减小”或“不变”）． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列反比例函数的图象分别在哪两个象限？ (1)． (2)． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知一个反比例函数的图象经过点． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ （2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 【变式训练12 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西·期末）在反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知反比例函数，若当时随的增大而增大，写出一个符合条件的的整数值： . 4．（2023·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在各自象限内，y的值随x值的增大而减小，写出一个符合题意的n的值 ． 5．（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围． 【变式训练13 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（2024·重庆九龙坡·二模）已知点，均在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·三模）点在反比例函数图象上，则 （填“”“”或“”）． 4．（2023·辽宁抚顺·三模）若点，都是反比例函数图象上的点，并且，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 5．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 6．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点，，都在反比例函数的图象上，请直接写出，，的大小关系（用“”连接）． 【变式训练14 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果点为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·山东青岛·单元测试）如图，是反比例函数在第一象限分支上的一动点，轴，随着逐渐增大，的面积将（     ）    A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定 3．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，反比例函数的图象过点A，点A垂直于x轴，则的面积是 ． 4．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ． 5．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 6．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点，，都在反比例函数的图象上，请直接写出，，的大小关系（用“”连接）． 【变式训练15 根据图形面积求比例系数(解析式)】 1．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 2．（22-23八年级下·四川巴中·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（   ） A． B． C．6 D． 3．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为 ．    4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，连接．若的面积等于2.5，则k的值等于      5．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 6．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 【变式训练16 求反比例函数解析式】 1．（23-24九年级下·重庆·期中）反比例函数一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南红河·二模）如图，点A是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·上海金山·二模）反比例函数的图像经过点，则这个反比例函数的解析式是 ． 4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 5．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. (1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 6．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 1．（2023·湖南·中考真题）下列哪个点在反比例函数的图像上？（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）反比例函数中常数k为（　　） A． B．2 C． D． 3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·河南新乡·期中）若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为 ． 7．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 8．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是 ． 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 10．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．当时，的取值范围是 ． 11．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知y与成反比例，当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 13．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 14．（2024·湖南衡阳·一模）一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间（单位：与行驶速度（单位：）满足函数关系式：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． (1)求与的值； (2)受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多长时间？ 15．（23-24九年级上·天津南开·阶段练习）如图，是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)常数的取值范围是 ；图象的另一支在第 象限；在每个象限内随的增大而 ； (2)在该函数图象上取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为 ； (3)若点在反比例函数的图象上，求：的值以及反比例函数解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 反比例函数（3大知识点+16大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 判断(画)反比例函数图象 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型十 判断反比例函数的增减性 题型十一 判断反比例函数图象所在象 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十五 根据图形面积求比例系数(解析式) 题型十六 求反比例函数解析式 知识点01 反比例函数的定义 反比例函数的定义：形如y = k/x（k为常数，且k ≠ 0）的函数称为反比例函数。 知识点02 图像特征 图像特征：反比例函数的图像是双曲线，分布在第一和第三象限或第二和第四象限，取决于k的正负。 知识点03 解析式求解 解析式求解：通过已知的变量对应值，可以求解k的值，从而确定反比例函数的具体形式。 【典型例题一 用反比例函数描述数量关系】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键．根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解． 【详解】解：∵底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为10， ∴， ∴． 故选：C 2．（23-24九年级上·河南安阳·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了判断点是否在给出的反比例函数的图象上，将各点坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即反比例函数图象上的点横纵坐标乘积为， ，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A 3．（2024·陕西西安·二模）已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答； 【详解】解：点与点均在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 故答案为：0 4．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）若某城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据题意平均每人拥有绿地面积，列出函数关系式即可得出答案． 【详解】解：由城市市区人口x万人，市区绿地面积100万平方米， 则平均每人拥有绿地面积为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键． 5．（22-23九年级下·山东·课后作业）举出生活中变量具有反比例函数关系的实例（1～2例）． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可．本题是开放性习题，可以先列出一个反比例函数，再赋予它实际意义． 【详解】解:： 举例：要编织一块面积为2米2的矩形地毯，地毯的长x（米）与宽y（米）之间的函数关系式为（x＞0）． 例子：李明读初中一年级，他家离学校的距离为2000米，如果他上学步行速度为v米/分，从家里到学校的时间为t分钟，则v和t的函数表达式为，其中v＞0． 【点睛】】主要考查了反比例函数的应用．要充分理解反比例函数的意义，知道生活中一些常用的公式，如电流，压强，速度等，知道它们与其他各个量之间的关系． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】设，求出的值，化简即可． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 【典型例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义：一般地，形如（）的函数是反比例函数．进行判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得是反比例函数． 故选：C 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数称为反比例函数是解题的关键． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A．  函数中，y是x的反比例函数，符合题意；     B．  函数中，y不是x的反比例函数，不符合题意； C． 函数中，y不是x的反比例函数，不符合题意；     D．  函数中，y不是x的反比例函数，不符合题意； 故答案为：A． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列函数①；；③；④；⑤中，y是x的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】①是一次函数中的正比例函数；符合反比例函数的定义形式，是反比例函数；③中自变量x的指数是－2，不符合反比例函数的定义形式，不是反比例函数；④符合反比例函数的定义形式，是反比例函数；⑤当时，是反比例函数，缺少此条件则不是反比例函数 【解】②④ 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 【答案】（2）（3）（4）（6）（9） 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】由题意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函数． 故答案为：（2）（3）（4）（6）（9）． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）．也考查了一次函数的定义． 5．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）关系式 中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由． 【答案】是； 【分析】直接利用反比例函数的定义，即形如(k为常数且)的函数，叫做反比例函数，即可判定． 【详解】解：是的反比例函数， 由得，，比例系数等于， 故是的反比例函数，比例系数等于． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题的关键． 6．（2023八年级下·浙江·专题练习）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是反比例函数， (2)不是反比例函数 (3)不是反比例函数 (4)是反比例函数， 【分析】直接利用反比例函数的概念形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，可得答案． 【详解】（1），是反比例函数，； （2），不是反比例函数； （3），不是反比例函数； （4），是反比例函数，． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键． 【典型例题三 根据反比例函数的定义求参数】 1．（22-23九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．把点代入函数解析式来求k的值即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴． 故选：A． 2．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）反比例函数的图象经过点，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标的特征，把点代入反比例函数即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数中， 得， 解得：， 故选：D． 3．（2024·湖南永州·模拟预测）已知反比例函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的的值，解题关键是掌握反比例函数的性质．把代入函数解析式即可求的值． 【详解】解：将点代入反比例函数中， 得：， 故答案为：． 4．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个反比例函数为，求的值． 【答案】 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟记反比例函数的表示形式是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键． 【详解】解：设， 则：， 由题意，得：，解得：， ∴． 【典型例题四 求反比例函数值】 1．（2024·重庆·一模）函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为3， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 2．（2024·辽宁大连·一模）已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（    ） A．12 B．24 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于是解题的关键． 根据反比例函数的系数即可得到结论． 【详解】解：，，三点，反比例函数的图象经过，，三点中的两个点，， 反比例函数的图象经过，两点，． 故选：B． 3．（2024·浙江舟山·一模）已知，则关于的函数为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义和性质，根据，即可得到关于的函数． 【详解】∵， ∴， ∴关于的函数为：． 故答案为：． 4．（2024·海南省直辖县级单位·二模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 【答案】5 【分析】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数图像的点必然满足函数解析式成为解题的关键． 把代入函数表达式即可求出I的值． 【详解】解：当时，． 故答案为：5． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象经过点，那么点和点是否在这个函数的图象上？为什么？ 【答案】都在，理由见解析 【分析】把代入求解的值，可得函数解析式，再计算时的函数值，从而可得点和点是否在这个函数的图象上. 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 反比例函数为：， 当时， 在反比例函数的图象上， 当时， 在反比例函数的图象上， 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，判断点是否在函数图象上，掌握待定系数法求解解析式是解题的关键. 6．（2023·浙江湖州·一模）已知与y成反比例，且当时， （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值. 【答案】（1）;（2）6. 【分析】（1）设，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出解析式； （2）把x=-1代入解析式求出y的值即可． 【详解】解：（1）∵x与y成反比列， ∴设， 当x=-2时，y=3，得，解得：k=-6 ∴y关于的函数解析式是 （2）当x=-1时，=6 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【典型例题五 由反比例函数值求自变量】 1．（22-23八年级下·上海嘉定·开学考试）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出四点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：由题意得：， A.，不符合条件； B.，不符合条件； C.，符合条件； D. ，不符合条件； 故选C． 【点睛】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键． 2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）双曲线要经过点，则m的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】直接把点代入函数解析式即可求得的值． 【详解】解：将代入双曲线得， ， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）已知点，在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数上点的坐标特征，掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：把，代入得：， 解得： 故答案为：． 4．（2023·重庆·三模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点，则 ． 【答案】2 【分析】将点代入反比例函数计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴，解得：． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键． 5．（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 【答案】(1) (2)50升/分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据水池容积不变，得到等式，即可求解； （2）将代入（1）所得方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，有， 解得， 注水的速度为50升/分钟． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期末）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，如图是该反比例函数的图象，且. (1)求关于的函数表达式； (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数的表达式，解题的关键是能熟练掌握待定系数法求反比例函数的表达式； （1）利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）把代入即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为. 把，代入，得. 关于的函数表达式为． （2）解：把代入，得. 解得. 答：该液体的密度为． 【典型例题六 判断(画)反比例函数图象】 1．（2024·重庆·二模）函数 的图象一定不经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为3， ∴四个选项中只有C选项不符合题意． 故选：C． 2．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，利用的正负确定图像的位置是解题的关键． 由可得反比例函数的图象在一、三象限，故不在图像上． 【详解】解： 反比例函数的图象在第一、三象限， 又在第二象限， 四个点中点不在函数的图象上． 故选B． 3．（22-23九年级下·四川绵阳·期中）反比例函数的图象在 象限． 【答案】第二、第四． 【分析】根据反比例函数的k值与图象的关系判断即可． 【详解】当反比例函数k＜0时，函数图象经过二、四象限， 因为-6＜0，则该反比例函数图象经过二、四象限， 故答案为：第二、第四． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，熟记基本性质是解题关键． 4．（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知点，在反比例函数的图象上，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】反比例函数 y=(k＞0) 的图像在一三象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小，结合 A，B坐标，从而可得答案． 【详解】∵反比例函数y= 中，k＞0， ∴此函数的图象在一三象限， ∵A（2，y1），B（﹣3，y2）， ∴点A在第一象限，点B在第三象限， ∴y1＞0，y2＜0， ∴y1＞y2， 故答案为>. 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数所在的象限，增减性是解题的关键． 5．（22-23八年级下·福建莆田·期末）在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，利用这两个图象回答：取什么值时，比大? 【答案】图象见解析；或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，画反比例函数与一次函数图象；首先画出两个函数的图象．当的图象在反比例函数的图象的上边，比大 【详解】解：直线经过点和，    根据函数图象可得，当或，时，比大． 6．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）已知关于的反比例函数 (1)若该函数的图象经过点，求的值，并在下图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质． （1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解； （2）根据时，随的增大而减少，可知，进而求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得． ∴反比例函数的解析式为， 列表， x 1 2 3 4 y 1 2 4 描点，连线，函数图象如图， ； （2）解：在函数图象上，当时，随的增大而减小， ∴， ∴． 故答案是：． 【典型例题七 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1．（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知反比例函数的图像分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图像与的关系：①当时，图像在一、三象限；②当时，图像在二、四象限；从而根据反比例函数的图像分别位于第二、第四象限得到，结合选项即可确定答案． 【详解】解：反比例函数的图像分别位于第二、第四象限， ， 根据四个选项确定，只有， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图像，熟记反比例函数图像与的关系：①当时，图像在一、三象限；②当时，图像在二、四象限；是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点与函数表达式的关系，将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出答案． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 故答案为：． 4．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中,点,,分别位于三个不同象限,若反比例函数的图像经过其中两点,求反比例函数的表达式和的值． 【答案】, 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式．根据已知条件得到在第一象限,可知点一定在第二象限,因点为第四象限点坐标,又因反比例函数经过其中两点,于是得到反比例函数解析式和的值． 【详解】解:∵点,分别在第一、四象限,点不可能在第三象限, ∴点在第二象限,且反比例函数的图像经过,两点, ∴设反比例函数的表达式为, 把代入中: 即,, ∴反比例函数的表达式为, ∴把代入中, 即, ∴． 6．（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 【典型例题八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（22-23九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则代数式ab－5的值为（    ） A．－3 B．0 C．2 D．－5 【答案】A 【分析】由点在反比例函数的图象上，可知，代入进行求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数图象上对应点与对应函数的关系，关键在于本题不必单独求得a，b值，直接求得进行整体代入． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）若一次函数y=mx与反比例函数的图象相交于点（，2），那么该直线与双曲线的另一交点为 ． 【答案】（-，-2）/（-0.5，-2） 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（，2）， ∴另一个交点的坐标是（-，-2）， 故答案为：（-，-2）． 【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 4．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A（1，3）、B（x，y），则x＝ ． 【答案】-1 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】∵点A与B关于原点对称，A（1，3）， ∴B点的坐标为（-1，-3）． ∴x=-1， 故答案为 -1． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)画出这个反比例函数的图象． (2)利用所画图象求当时，x的取值范围． (3)已知是所画图象上的三个点．比较的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据反比例函数所在的象限以及该函数的单调性画出图像． （2）根据图像得出结论． （3）根据函数解析式判断出函数的增减性，再根据反比例函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：画出图像如图所示： （2）解：由图像可知：当时， （3）解：，理由如下： 图像在第二象限内，随的增大而增大， 当时， 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，以及反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握反比例函数图像的性质． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，在图像的任一个分支上任意取些点，如，然后在直角坐标系中分别作出它们关于原点的对称点．你发现了什么？你认为反比例函数的图象具有怎样的对称性？ 【答案】反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线 【分析】根据关于原点的对称点横纵坐标均为相反数，得出对应点的坐标，然后验证是否在反比例函数图像上，从而得出结论． 【详解】解：反比例函数图像上的点关于原点对称点的坐标分别为， 而均在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟知反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线是解本题的关键． 【典型例题九 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象在二、四象限，则m可能的值为 ． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内． 根据反比例函数的性质列式计算即可得解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 则m可能的值为 故答案为：． 2．（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）已知反比例函数，则可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数经过第二、四象限，得出，再与选项的值进行比较，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数经过第二、四象限， ∴ 四个选项的数值，只有C选项是负数， 故选：C 3．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个图像位于第二、四象限的双曲线的函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，反比例函数（为常数，），当时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，随的增大而减小；当时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，随的增大而增大．根据反比例函数的图像和性质写函数即可． 【详解】解：由反比例函数的性质可知，反比例函数的时，图像分别位于第二、四象限， 所以，本题可填：． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024九年级下·重庆·专题练习）如图是反比例函数的图象，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例的函数图象经过第一、三象限，得，直接解答即可．本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：∵反比例的函数图象经过第一、三象限 ∴， 故． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数（m是常数）的图象在第二、四象限，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据时，反比例函数的图象在第二、四象限内求解即可． 【详解】解：∵反比例函数 （m是常数）的图象在第二、四象限， ∴， 解得 ∴m的取值范围是． 6．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数，其函数图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点是该反比例函数图象上的两点，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （2）先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限及增减性，进而可得出结论． 【详解】（1）解：该反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得． （2）解：该反比例函数的图象在第一、三象限， 在每个象限内，随的增大而减小． 又， ． 【典型例题十 判断反比例函数的增减性】 1．（23-24八年级下·上海闵行·期末）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要是考查了学生对一次函数以及反比例函数的图像与性质的理解和掌握情况，解答此题关键是利用比例系数的正负来判断图像的上升与下降即可．根据一次函数以及反比例函数的图像与性质求解即可． 【详解】解：A．,在每个象限内，随的增大而减小； B．,随的增大而减小； C．,随的增大而增大； D．是平行于x轴的一条直线，值不变． 故选：B． 2．（2024·天津西青·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）已知反比例函数，当时，函数y随x的增大而 ； 【答案】减小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，函数y随x的增大而减小． 故答案为：减小 4．（2023·福建福州·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m n（用“”或“”号连接）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性直接解题即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二象限内y随x的的增大而增大， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 5．（2024·福建南平·一模）反比例函数图象经过点，． (1)求的值； (2)若点在反比例函数图象上，其中，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解以及增减性，掌握相关结论是解题关键． （1）根据题意可得，据此即可求解； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点，    ∴     ∴ （2）解：∵点在反比例函数图象上，其中， 当时，     ∵，在每一个象限内y随x的增大而减小. ∴当时，有或． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数（为常数,）的图像经过点． (1)求这个函数的解析式; (2)判断点,是否在这个函数的图像上,并说明理由; (3)当时,求的取值范围． 【答案】(1) (2)点不在这个函数图像上,点在这个函数图像上．理由见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数有关知识． （1）把点的坐标代入已知函数解析式,通过方程即可求得k的值; （2）只要把点､的坐标分别代入（1）中求得的函数解析式,横纵坐标坐标之积等于6时,即证明该点在函数图像上; （3）根据反比例函数图像的增减性解答问题． 【详解】（1）解:∵反比例函数（为常数，）的图像经过点, ∴把代入解析式,得,解得, ∴这个函数的解析式为:． （2）解:点不在这个函数图像上,点在这个函数图像上．理由如下: ∵由（1）得反比例函数解析式为, ∴分别把点､的坐标代入得: ,则点不在该函数图像上; ,则点在该函数图像上． （3）解:∵当时,;当时,, ∵,随的增大而减小, ∴当时,． 【典型例题十一 判断反比例函数图象所在象】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 2．（2024·云南文山·一模）下列反比例函数的图象经过第二、四象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查反比例函数图象的性质：（1）时，图象是位于一、三象限．（2）时，图象是位于二、四象限．熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键． 根据反比例函数图象的性质对各选项逐一判断解答即可． 【详解】解：A．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意， B．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意， C．，反比例函数图象位于二、四象限，故该选项符合题意， D．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意， 故选C． 3．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）函数的图象是 ，分别位于第 象限． 【答案】 双曲线 一、三 【分析】根据反比例函数的定义及性质直接写出答案即可． 本题考查了反比例函数的图像，解题的关键是了解反比例函数的性质． 【详解】解：函数的图象是双曲线，分别位于第一、三象限， 故答案为：双曲线，一、三． 4．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）已知反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，写出一个符合条件的的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质：“时，图象位于一、三象限，在各象限随的增大而减小；时，图象位于二、四象限，在各象限随的增大而增大；”根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限得出，符合条件的数即可． 【详解】解：∵比例函数(为常数，)的图象位于第二、第四象限， ∴ ∴ ∴k可以为 故答案为（答案不唯一） 5．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知关于的反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断该反比例函数图象经过的象限． 【答案】(1)； (2)第一、三象限． 【分析】本题考查了反比例函数关系式及反比例函数的性质； （1）根据图象经过点的意义，代入计算即可； （2）根据反比例函数的符号进行判断即可． 【详解】（1）解：图象经过点， ， 解得：． （2）解：当时， ， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 【答案】(1)第三象限， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质， （1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数大于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而减小，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据反比例图象的性质得，其中一支在第一象限，则另一支在第三象限， ∵图象在第一、三象限，则 ∴， （2）∵函数图象在第一、三象限，在每个象限内随增大而减小， ∴如果，则． 【典型例题十二 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（2024·湖南长沙·三模）在双曲线的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，在每个象限内y随x的增大而增大是解题的关键．根据反比例函数的性质，若在每个象限内y都随x的增大而减小，则可推出k的值为正数，再从选项中找到正数即可． 【详解】解：∵双曲线的任意一支上，y都随x的增大而减小， ∴， 选项中为正数的只有， 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大． ∴， ∴， 故选：D． 3．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数，的值随着的值增大而增大，则常数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据中，，每个象限y随x的增大而增大；，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为：． 4．（2024·陕西咸阳·二模）反比例函数（为常数，且）的图象经过点，已知在每个象限中，函数值都随自变量的增大而增大，则的值是 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据题意，先求的所有的值，在根据单调性确定的具体的值． 【详解】解：函数（为常数，且）的图象经过点 （舍去0） 函数值都随自变量的增大而增大 ． 故答案为：． 5．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）已知反比例函数为常数且），若在每个象限内，函数值随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质得到，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数在每个象限内，函数值随的增大而减小， ， 解得， 的取值范围是． 6．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大， ∴， ∴． 【典型例题十三 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（2024·江苏南通·二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．直接代入求出和，即可求解． 【详解】解： ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（2024·山东临沂·二模）若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由可知，此函数图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：∵， ∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴在第三象限内，在第一象限内， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·上海徐汇·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 4．（2024·辽宁·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查反比例函数的性质，先分别求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式； （2）根据反比例函数的增减性即可； 此题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数图象经过， ∴， ∴； （2）由（1）得：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∴反比例函数图象上两点，，， ∴． 6．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 【典型例题十四 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）点 是反比例函数 上一点，过点 A 分别做 x轴、y轴的垂线，点 B、C 分别为垂足，则四边形的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：如图，， 轴，轴，， 四边形是矩形， ∴，， ， 故选：B． 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ； 故选：C． 3．（2024·福建南平·一模）在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，过点A作轴于点B，连接，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义即可求解； 【详解】解：如图，    ∵点A在双曲线上，过点A作轴于点B，连接， ∴的面积是， 故答案为：1 4．（2024·广东湛江·一模）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接， 轴， 轴， ． 故答案为：． 5．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 6．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 【典型例题十五 根据图形面积求比例系数(解析式)】 1．（2024·云南昆明·三模）如图，点B是反比例函数图象上的一点，过点B分别作轴于点A，轴于点C．若四边形的面积为2，则k的值是（    ）    A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查值的几何意义，根据题意，得到四边形的面积为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵双曲线过第二象限， ∴， ∴； 故选B． 2．（2024·湖南衡阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了的几何意义．用表示的面积是本题的解题关键． 【详解】解：的面积为， 所以． 故选：A． 3．（2024九年级·全国·竞赛）点是反比例函数的图象上一点，轴于，若的面积为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即反比例函数图象上的点与坐标轴所围成的三角形的面积为．根据反比例函数系数的几何意义列出关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：点是反比例函数的图象上一点，轴于， ， 解得：． 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，通过设点的坐标表示矩形的面积是解决本题的关键．设的坐标为，将点代入反比例函数，得出，然后用坐标表示矩形的面积，从而得出关系式，即可求出的值． 【详解】解：设的坐标为， 点在反比例函数上， ， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：2． 5．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 6．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 【典型例题十六 求反比例函数解析式】 1．（2024·海南海口·二模）已知点在反比例函数的图象上，则a的值是（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的性质，将点代入函数求解即可．解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 【详解】解：将点代入函数得，， ∴； 故选：B． 2．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，直接把点的坐标代入进行求解即可． 【详解】解：把点代入解析式，得：； 故选B． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知双曲线经过点，那么k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征∶反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即，从而可得答案． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数解析式是解题的关键． 将代入可求的值，进而可得反比例函数表达式． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的表达式是， 故答案为：． 5．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 【答案】，反比例函数解析式为． 【分析】本题考查了一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，把点代入一次函数求出的值即可得出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数求出的值即可，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：． 6．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一次数学课外活动中，小红所在的小组到眼镜店调查了一些数据，整理成如的统计表： 眼镜度数（度） 200 400 800 镜片焦距（米） 0.5 0.25 0.125 细心的小红发现：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例． (1)求出眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式． (2)若小红的眼镜度数为度，求该镜片的焦距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用： （1）利用待定系数法即可； （2）直接利用代入解析式即可求出答案． 【详解】（1）设与的函数关系式为： 观察表格知： 与之间的函数关系式为： （2） 根据题意：当时，有 解得： 当近视眼镜的度数时，近视眼镜镜片焦距的值为 答：度近视眼镜镜片的焦距是． 【变式训练1 用反比例函数描述数量关系】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列等式中，a和b成反比例的是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例的含义，则a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大，是解答本题的关键．a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大，据此作答即可． 【详解】解：A项，a和b的变化一致，即一起变大或者一起变小，故本项不符合题意； B项，a和b的变化一致，即一起变大或者一起变小，故本项不符合题意； C项，a和b成反比例，即是a变大时b则跟着变小，或者a变小时b则跟着变大；故C符合题意 故选：C． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）下面几组量不成反比例的是（　　） A．路程一定，时间和速度 B．长方形面积一定，长和宽 C．圆周长一定，圆的直径和圆周率 D．比的前项一定，比的后项和比值 【答案】C 【分析】根据两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，进行判断即可． 【详解】A、路程等于速度乘以时间，路程一定，时间和速度成反比例关系，故此选项不符合题意； B、长方形面积一定，长和宽成反比例关系，故此选项不符合题意； C、圆的周长，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项符合题意； D、比的前项一定，比的后项和比值成反比例关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查判断两个变量是否成反比例．熟练掌握两个变量之积为定值时，两个变量成反比例，是解题的关键． 3．（22-23九年级上·福建龙岩·期末）已知经过某闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时， ． 【答案】2.5 A 【分析】根据题意设函数解析式为I＝，再把（5，20）代入可得U的值，进而可得函数解析式，求出答案． 【详解】解：∵经过某闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴设I＝， ∵当I＝5时，R＝20， ∴U＝5×20＝100（Ω）， ∴当R＝40时，I＝＝2.5（A）． 故答案为：2.5A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）函数 （k是常数， ）叫做反比例函数，k叫做 ． 【答案】 0 比例系数 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数，常数k叫做比例系数； 故答案为：；0；比例系数． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 5．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知y是关于x的反比例函数，、和、是自变量与函数的两组对应值．下面关系式中，哪些成立？哪些不成立？你是怎样判断的？ (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)成立 (2)不成立 (3)不成立 (4)成立 【分析】（1）根据反比例函数的性质得，即可判断； （2）根据反比例函数的性质得，可得，即可判断； （3）根据反比例函数的性质得，可得，即可判断； （4）根据反比例函数的性质得，可得，即可判断． 【详解】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，、和、是自变量与函数的两组对应值， ∴成立； （2）解：∵， ∴，故不成立； （3）解：∵， ∴，故不成立； （4）解：∵， ∴成立． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点得特征，掌握反比例函数的性质是关键． 【变式训练2 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的识别，形如（k为常数且）的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【详解】解：A，是一次函数，不是反比例函数，不合题意； B，是一次函数，不是反比例函数，不合题意； C，是二次函数，不是反比例函数，不合题意； D，是反比例函数，符合题意； 故选D． 2．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）下列函数中，是的反比例函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握形如的是反比例函数． 【详解】解：①是反比例函数； ②是反比例函数； ③不是反比例函数； ④是反比例函数； ⑤不是反比例函数； ∴反比例函数有3个， 故选C． 3．（22-23九年级上·安徽宿州·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：在函数中，， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比函数自变量取值范围，掌握反比例函数自变量不等于0，是解题的关键． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）在①；②；③；④（a≠－1）四个函数中，为反比例函数的是 ．（填序号） 【答案】①②④． 【分析】根据反比例函数的定义求解． 【详解】解：根据反比例函数的定义求解． 为反比例函数的是；； （a≠－1）． 所以反比例函数有①②④． 【点睛】反比例函数解析式的一般式y=（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 5．（22-23八年级下·山西临汾·期末）我市到杭州的高速公路大约长，一辆轿车从我市出发开往杭州，轿车到达杭州的时间和行驶的平均速度之间有怎样的关系？v是t的反比例函数吗？ 【答案】，v是t的反比例函数 【分析】根据速度、路程、时间之间的关系列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，这辆汽车行完全程所需时间与行驶的平均速度之间的函数关系式为，v是t的反比例函数． 故答案为：；v是t的反比例函数． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的定义，解题的关键是求出函数关系式，熟练掌握反比例函数的定义． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 【答案】(1)1 (2)0 【分析】 本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 【变式训练3 根据反比例函数的定义求参数】 1．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据条件求出反比例函数解析式的比例系数k的值，代入，求出m即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 代入点，解得：， 代入，解得：， 故选B． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）反比例函数的比例系数是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟记比例系数的定义是解本题的关键． 【详解】解：反比例函数的比例系数是， 故选A 3．（2024·上海闵行·三模）若函数是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数的定义：，列式计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 故答案为： 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如果点是反比例函数图象上一点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式．把代入函数即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ， ， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义列式计算即可． 【详解】解：因为是关于x的反比例函数， 所以， 所以， 所以． 6．（22-23九年级·全国·课后作业）已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可． 本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例， ，， ，当时，，当时，． ， ，， ； （2）解：当，． 【变式训练4 求反比例函数值】 1．（23-24九年级下·重庆开州·期中）反比例函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，将各选项中的横坐标代入，判断y值是否等于纵坐标即可． 【详解】解：A，当时，，在反比例函数图象上，符合题意； B，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意； C，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意； D，当时，，不在反比例函数图象上，不合题意； 故选A． 2．（2024·云南楚雄·一模）若点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，把点代入反比例函数即可求解； 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：C． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）反比例函数的图像经过、两点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，直接把代入可求出的值，进而代入解答即可． 【详解】把代入得， 解得， 把代入得：， 故答案为：． 4．（2024·河南安阳·模拟预测）写出一个在反比例函数的图象上的点的坐标： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题考查反比例函数的性质，取一个不等于0的x的值，求出函数值，即得到答案． 【详解】解：当时，， ∴一个在反比例函数的图象上的点的坐标为， 故答案为：（答案不唯一） 5．（2024九年级下·全国·专题练习）已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的解析式及函数值，解题的关键是掌握待定系数法，题目较容易． （1）设，把，代入即得关于的函数解析式； （2）把代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解： 是的反比例函数， ∴设， 当时，， ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：∵ ∴把代入得：． 6．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)在这个反比例函数的图象上 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，判断点是否在函数图象上． （1）首先设这个反比例函数的解析式为，再把点的坐标代入函数关系式，即可算出的值，进而可得函数关系式； （2）只要把点代入（1）中求的函数关系式，满足关系式，就是函数图象上的点，反之则不在． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，依题意得：， ，这个反比例函数解析式为； （2）由（1）求得， 当时，， 在这个反比例函数的图象上． 【变式训练5 由反比例函数值求自变量】 1．（2023·天津西青·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，，的值，即可解答． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ， 故选：C． 【点睛】本题考查了由反比例函数求自变量的值，求出，，的值是解题的关键． 2．（22-23九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，则它的图象经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数可得：，代入各个选项的坐标点即可求解． 【详解】解：由反比例函数可得： ，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题主要考查反比例函数，能根据反比例函数的解析式判断经过的点坐标是解题关键． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）点在反比例函数的图像上，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点代入反比例函数，即可求出m的值． 【详解】解：把代入得：， 解得， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知点，在反比例函数上，则 ． 【答案】 【分析】此题只需将（，），（，）代入反比例函数，再令其相等就可解得的值． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征：反比例函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的解析式，能够准确代入解出未知数是解题的关键． 5．（23-24九年级上·吉林·期末）已知是的反比例函数，并且时，． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将点代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为 把代入，得 ， 解得， ∴． （2）解：把代入，得 ， 解得． 6．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点和点． (1)求该反比例函数的解析式和a的值． (2)若点A先向左平移个单位长度，再向下平移m个单位长度得到点，点仍落在该反比例函数的图象上，如图所示，求m的值． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用求的值，要注意的取值范围． （1）待定系数法求反比例函数解析式，代入点，求； （2）将点平移后所得点的坐标代入函数解析式求． 【详解】（1）将点代入，得： ， 反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ． （2）将点先向左平移个单位，再向下平移个单位后得点：， 把点代入，得：， 解得：（舍，或． ． 【变式训练6 判断(画)反比例函数图象】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意． 将代入各选项的函数中，若能得即可得解． 【详解】解：选项，函数中时，，该函数图象不经过原点，选项错误； 选项，函数中时，，该函数图象不经过原点，选项错误； 选项，函数是反比例函数，，该函数图象不经过原点，选项错误； 选项，函数中时，，该函数图象经过原点，选项正确． 故选：． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：， 则函数在第二、四象限． 故选：B 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是 ． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 4．（2023·广东佛山·一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误 ． 【答案】图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；对应点的位置不正确等 【分析】根据反比例函数的图象与性质进行观察判断． 【详解】解：观察图象，主要错误有： ①图象形状错误：反比例函数的图象是两支双曲线，不是射线组成； ②不满足函数定义：有一个x值，对应两个y值； ③与y轴有交点：∵中，，，∴图象不可能与坐标轴相交； ④对应点的位置不正确：比如，当时，，即图象需经过点， 故答案为：图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；图象上对应点的位置不正确等． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象特征以及与坐标轴的关系是解答的关键． 5．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 6．（2024·宁夏中卫·一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：    x … 0 1 2 … y … 3 2 m … (1)绘制函数图象． ①列表：上表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． (2)探究函数性质． 判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）． ①函数图象关于原点对称；（    ） 函数图象与直线没有交点；（      ） ②请写出该函数图象的变化趋势 ． 【答案】(1)①1，②③见详解 (2)①；，②每一个分支上，函数值y随x的增大而减小 【分析】本题考查函数的图形及性质． （1）①将代入即得m的值；②描出即可；③把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可； （2）①②根据图象，数形结合即可判断． 【详解】（1）解：①时，， 故答案为：1； ②如图：     ， ∴A即为的点； ③补充图象如图：    （2）解：根据函数图象可得： ①图象关于对称，故“函数图象关于原点对称”的说法错误，应为：， 时，无意义，函数图象与直线没有交点，应为． 故答案为： ；． ②该函数图象的变化趋势：每一个分支上，函数值y随x的增大而减小． 【变式训练7 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）反比例函数（为常数）的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣2＞0，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵反比例函数（m为常数）的图象位于第一、三象限， ∴m﹣2＞0， 解得：m＞2． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出-3＜k＜-2，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：3×（-1）＜k＜（-2）×1， 即-3＜k＜-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 3．（2023·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．若某函数图像上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据新定义可得函数图像不在第一，第三象限，从而可得答案． 【详解】解：∵对于点，若，则称点P为“同号点”． 而某函数图像上不存在“同号点”， ∴函数图像不在第一，第三象限， ∴其函数表达式可以是； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的分别是解本题的关键． 4．（22-23九年级上·山西·期末）若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，请写出一个满足条件的反比例函数表达式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】反比例系数k＞0时，函数图象分别位于第一、三象限，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， 满足条件的反比例函数表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握“当反比例系数k大于0时，函数图象分别位于第一、三象限”． 5．（22-23九年级上·广西百色·期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为50kPa时，求V的值； (3)当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸，为了安全起见，气体的压强不大于多少？ 【答案】(1)函数关系式为P＝ (2)当气球内的气压为50kPa时，气球的体积为2立方米 (3)为了安全起见，气体的压强不大于200kPa 【分析】（1）设P与V的函数关系式为P＝，将点代入求解即可； （2）将P＝50代入P＝中求解即可； （3）根据题意可得V＝0.5m3时，气球将爆炸，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设P与V的函数关系式为P＝，    则  k＝1×100，解得k＝100， ∴函数关系式为P＝． （2）将P＝50代入P＝中， 得＝50， 解得V＝2， ∴当气球内的气压为50kPa时，气球的体积为2立方米． （3）当气球内的体积小于0.5m3时，气球爆炸， ∴V＝0.5m3时，气球将爆炸，   ∴ ＝0.5， 解得 P＝200 kPa 故为了安全起见，气体的压强不大于200kPa． 【点睛】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意，根据图象确定函数解析式是解题关键． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点． (1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围． (2)若，求自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可． （2）先求出时对应的的值，再根据反比例函数图像特征写出时，自变量x的相应的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴该曲线所表示的函数的解析式； （2）把代入得，， 由图像得，当时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，以及从点入手思考自变量的取值范围． 【变式训练8 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（22-23九年级下·陕西咸阳·开学考试）已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点A（m,4）代入中，可得m=-1，根据正比例函数与反比例函数交点坐标关于原点对称可求． 【详解】解：将点A（m,4）代入中， 得： 解得：m=-1 ∴点A坐标为（-1，4） ∵A、B两点关于原点成中心对称 ∴点B坐标为（1，-4）． 故选：A． 【点睛】本题是反比例函数与正比例函数交点问题，掌握反比例函数图象的中心对称性，以及正比例函数图象上点坐标特征是解题的关键． 2．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A，B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，A、B关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标． 【详解】解：∵过原点的一条直线与反比例函数 的图象分别交于A，B两点，点A的坐标为（3，-5）， ∴A、B关于原点对称， ∴B点坐标为（-3，5）． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）反比例函数y=﹣的图象的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象是双曲线，其对称中心是原点解答即可． 【详解】反比例函数的图象的对称中心是原点，其坐标为（0，0）． 故答案是：（0，0）． 【点评】考查了反比例函数的图象．反比例函数图象是双曲线，它既是轴对称图形，也是中心对称图形． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，过原点O的直线与反比例函数y＝的图象相交于点A(1,3)、B(x，y)，则点B的坐标为 ． 【答案】(－1，－3) 【分析】根据反比例函数的中心对称性求解即可. 【详解】∵点A与B关于原点对称，A(1,3)， ∴B点的坐标为(－1，－3)． 故答案是(－1，－3)． 【点睛】本题考查了反比例函数的中心对称性，反比例函数是中心对称图形，反比例函数的图像与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称. 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，与的直径为2，反比例函数的图像与两圆分别交于点A，B，C，D，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图像是中心对称图形，那么阴影部分的面积可看作半径为1的半圆的面积． 【详解】解：由题意得：图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是根据所给的图形的对称性得到阴影部分的面积为一个半圆的面积． 6．（22-23九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y， （1）用树状图或列表法表示出坐标(x，y)的所有可能出现的结果； （2）求取出的坐标(x，y)对应的点落在反比例函数y＝图象上的概率． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； (2)由(1)中的列表求得点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】(1)列表如下 2 3 4 6 2 (3，2) (4，2) (6，2) 3 (2，3) (4，3) (6，4) 4 (2，4) (3，4) (6，4) 6 (2，6) (3，6) (4，6) 则共有12种可能的结果； (2)各取一个小球所确定的点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的有(6，2)，(4，3)， (3，4)，(2，6)四种情况， ∴点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的概率为=． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式训练9 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（2024·重庆·三模）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图像判断出的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得：， 故选D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．让反比例函数的比例系数大于0列式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， 解得． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的一个分支在第二象限， ∴，解得： ． 故答案为：． 4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）反比例函数的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 ．（写出一个符合条件的k值即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此可得，即，由此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象位于第二，四象限可知，， ， 的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 5．（23-24九年级上·吉林松原·期末）反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的值和反比例函数的解析式． 【答案】， 【分析】本题考查了反比例函数的概念，根据反比例函数的定义计算即可；解题的关键是熟悉反比例函数的定义． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第二、四象限， ， 解得， 反比例函数的解析式为． 6．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【答案】(1)，不在 (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题． （2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给函数图象可知， 该反比例函数位于第一、三象限， 所以． 点在第二象限， 所以点不在该反比例函数的图象上． 故答案为：，不在； （2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点， 所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象． 故答案为：． 【变式训练10 判断反比例函数的增减性】 1．（22-23九年级上·福建宁德·期中）反比例函数图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A．函数图象始终经过点 B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴， A. 由于， ∴函数图象始终经过点，说法正确； B. ，函数图象分布在第一、三象限，故说法正确； C. 当时，y随x的增大而减小，说法正确； D. 当时，y随x的增大而增大，说法错误． 故选D． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（    ） A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的增减性，掌握当时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：反比例函数，随着值的增大，的值减小， 故选A． 3．（2023·福建·一模）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】/． 【分析】 根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，且这两点都在第三象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 4．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）若、两点都在函数的图像上，且<，则k的取值范围是 ． 【答案】k<0 【分析】根据 ，且<，可得随 的增大而增大，即可求解 【详解】解：∵ ，且<， ∴ 随 的增大而增大， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握对于反比例函数 ，当 时，在每一象限内， 随 的增大而减小，当 时，在每一象限内， 随 的增大而增大是解题的关键． 5．（23-24九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知反比例函数 （m为常数）的图象在每个象限内y随x增大而增大，求m的取值范围． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数 （m为常数）的图象在每个象限内y随x增大而增大， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，再每一象限内，y随x的增大而减小；时，再每一象限内，y随x的增大而增大． 6．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，． (2)当时，y的取值范围为． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的解析式，可以求得比例系数k，从而确定反比例函数的解析式，再进一步求得当时，y的值； （2）可以借助函数图象的特点，确定当时函数y的取值范围．再求出横坐标分别是1和4的函数值即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为． ∴当时，． （2）∵当时，；当时，， 又∵反比例函数，在时，y值随x值的增大而减小， ∴当时，y的取值范围为． 【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【变式训练11 判断反比例函数图象所在象】 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数，当时，图象位于一、三象限，反之图象位于二、四象限．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：B． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，反比例函数的图像其中一支在第一象限，另一支在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图像的特征进行判定即可． 本题主要考查反比例函数的图像的特征．反比例函数的图像，时，两支曲线分别位于一、三象限；时，两支曲线分别位于二、四象限．熟练掌握反比例函数的图像的特征是解题的关键． 【详解】由图知，反比例函数的图像其中一支在第一象限， ∴， ∴另一支在第三象限． 故选：C． 3．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知反比例函数，则函数图象所在象限是第 象限． 【答案】一、三/三、一 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，的时，反比例函数经过第一、三象限，据此即可作答． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象所在象限是第一、三象限 故答案为：一、三 4．（2024·江苏镇江·一模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电泡时，电流与电阻的函数表达式为．在安全范围内，I的值随着R的值的增大而 （填“增大”、“减小”或“不变”）． 【答案】减小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质； 根据函数表达式可知函数图象在第一象限，然后根据反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：电流与电阻的函数表达式为，，， ∴反比例函数的图象在第一象限， ∴随的增大而减小． 故答案为：减小． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列反比例函数的图象分别在哪两个象限？ (1)． (2)． 【答案】(1)的图象在第一、三象限； (2)的图象在第二、四象限． 【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得答案； （2）根据反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大可得答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴的图象在第一、三象限； （2）解：， ∵， ∴的图象在第二、四象限． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质． 6．（22-23九年级下·全国·课后作业）已知一个反比例函数的图象经过点． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ （2）点，，是否在这个函数的图象上？为什么？ 【答案】（1）函数的图象位于第二、第四象限，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；（2）点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式． 【分析】（1）设函数关系式为，把点代入即可求出解析式，根据反比例函数的性质得出图象分布的象限；根据反比例函数的性质得出增减性； （2）根据反比例函数的特点可得出，再判断点，点和点是否在反比例函数的图象上． 【详解】解：（1）设函数关系式为， 反比例函数的图象过点， ， ， 这个反比例函数图象分布在第二、四象限；在图象的每一支上，随的增大而增大； （2）∵可化为 又∵，，， ∴点B和点C在函数的图象上，因为它们的坐标都满足函数解析式；点D不在这个函数的图象上，因为它的坐标不满足函数解析式． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式训练12 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查反比例函数的性质，根据函数的增减性判断k的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江西·期末）在反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用反比例函数图象增减性得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得：点在同一象限，且y随x的增大而增大， 所以， 解得：， 故选:D． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知反比例函数，若当时随的增大而增大，写出一个符合条件的的整数值： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及反比例函数图像增减性与常数符号的关系，熟记当时随的增大而增大，则即可得到答案，熟记反比例函数图像增减性与常数符号的关系是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数，当时随的增大而增大， ， 一个符合条件的的整数值可取（写出任意负整数即可）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2023·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在各自象限内，y的值随x值的增大而减小，写出一个符合题意的n的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】判断反比例函数的图象经过一、三象限，即点在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象，在各自象限内，y的值随x值的增大而减小， ∴，即反比例函数的图象经过一、三象限， ∵反比例函数的图象经过点， ∴点在第一象限， ∴n的值可以是1， 故答案为：1(答案不唯一，n的值是正数)． 【点睛】本题考查了反比例的性质，开放题，判断点在第一象限是解题的关键． 5．（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例的性质， 根据反比例函数得性质得，求解不等式即可； 将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式． 【详解】（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小， ∴， 解得； （2）∵点在反比例函数图象上， ∴， 则， 故反比例函数解析式为． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入函数解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得：； （2）解：∵反比例函数，， ∴在每一象限内，y随着x的增大而减小， ∵，且当时，，时，， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【变式训练13 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（2024·重庆九龙坡·二模）已知点，均在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，代入求值，再判断即可． 【详解】在反比例函数上 将点代入得： 故选：A． 2．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．根据反比例函数经过点，求出其解析式，然后把，，，分别代入解析式，求出函数值，进行比较即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵它的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故选：A． 3．（2024·四川成都·三模）点在反比例函数图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比例反比例函数的函数值大小，直接求出函数值比较即可． 【详解】解：当时，，当时，； ∵， ∴； 故答案为：． 4．（2023·辽宁抚顺·三模）若点，都是反比例函数图象上的点，并且，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限及其增减性，再根据判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴点，位于第四象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得； （2）①由题意，结合，求得，代入，即可求得； ②求得，由得到，即，解得． 【详解】（1）解：反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ， ， ； （2）解：①点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ， ， ， ， 代入得，， 解得， ； ②， ， ， ， ， ． 6．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点，，都在反比例函数的图象上，请直接写出，，的大小关系（用“”连接）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质； （1）待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意， ∴反比例函数解析式为； （2）∵，反比例函数在一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴在第三象限，在第一象限， ∴ 【变式训练14 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果点为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，然后把代入计算． 【详解】解：根据题意得． 故选：D．    【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为． 2．（22-23九年级下·山东青岛·单元测试）如图，是反比例函数在第一象限分支上的一动点，轴，随着逐渐增大，的面积将（     ）    A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】设点，根据在反比例函数上，则，根据，根据点反比例函数上，都有，即可得到答案． 【详解】设点， ∵在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数上， ∴无论点在哪，都满足， ∴随着逐渐增大，的面积都为：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 3．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，反比例函数的图象过点A，点A垂直于x轴，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数k值的几何意义即可求解． 【详解】由反比例函数k值的几何意义可得 ∴ 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 4．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得，即可求得结果． 【详解】解：∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 5．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． （1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得； （2）①由题意，结合，求得，代入，即可求得； ②求得，由得到，即，解得． 【详解】（1）解：反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ， ， ； （2）解：①点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ， ， ， ， 代入得，， 解得， ； ②， ， ， ， ， ． 6．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)已知点，，都在反比例函数的图象上，请直接写出，，的大小关系（用“”连接）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质； （1）待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意， ∴反比例函数解析式为； （2）∵，反比例函数在一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴在第三象限，在第一象限， ∴ 【变式训练15 根据图形面积求比例系数(解析式)】 1．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图、点A是第一象限内反比例函数 图象上的一点，轴，垂足为点B，点C在x轴上，的面积是4， 则k 的值等于（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是利用两平行线间的距离相等得到，再结合反比例函数的几何意义解答． 【详解】解：连结，如图， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵反比例函数图像在一、三象限， ∴，即 故选D． 2．（22-23八年级下·四川巴中·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由，可以得出矩形的面积，矩形的面积等于点A的横纵坐标的积的绝对值，即可得出答案. 本题考查的是反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：由，可得矩形的面积， ∴， 即， 又∵函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 3．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为 ．    【答案】6 【分析】由反比例函数k的几何意义可得，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵M为反比例函数的图象上的一点，轴，的面积为3， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6 【点睛】本题考查的是反比例函数中比例系数k的几何意义，理解k的几何意义是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，连接．若的面积等于2.5，则k的值等于      【答案】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值． 【详解】解：设点P的坐标为 ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 5．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 6．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据三角形面积求出的值是解此题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义可得，再结合反比例函数所在象限即可确定的值； （2）由可得点的横坐标为2，代入反比例函数求得纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ， ； （2）解：由（1）得：， 反比例函数解析式为：， ， 设， 将代入得：， ． 【变式训练16 求反比例函数解析式】 1．（23-24九年级下·重庆·期中）反比例函数一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，将选项中各点的坐标代入验证即可得到答案，熟记反比例函数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、，则反比例函数不经过该点，不符合题意； B、，则反比例函数经过该点，符合题意； C、，则反比例函数不经过该点，不符合题意； D、，则反比例函数不经过该点，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·云南红河·二模）如图，点A是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，根据图象性质，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点A是反比例函数图象上的一点，且， ∴把代入， 得， 解得， 故选：A． 3．（2024·上海金山·二模）反比例函数的图像经过点，则这个反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 设反比例函数解析式为，把点代入即可求得的值． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 函数经过点， ， 解得． 反比例函数解析式为． 故答案为：． 4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，适合函数解析式的某点一定在函数的图象上．把P的坐标代入一次函数的解析式求得P的坐标，然后求得关于y轴的对称点，然后代入反比例函数的解析式即可求得答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 则P的坐标是：，P关于y轴的对称点是：，． 把代入反比例函数的解析式得： 解得：． 故答案为：． 5．（2024·浙江台州·二模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中. (1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求函数关系式，根据函数关系图，以及路程与速度、时间之间的关系，确定v与t的函数关系为反比例函数是解题的关键． （1）根据路程，甲、乙两地距离为定值，可知v与t的函数关系为反比例函数，再用待定系数法即可求解； （2）分别求出在10时40分和11时到达，两个时间段对应的速度，即可求出平均速度的范围； 【详解】（1） 路程，甲、乙两地距离为定值， v与t的函数关系为反比例函数， 设v与t的函数关系式为，将代入解析式， 得：，解得：， v与t的函数关系式为， ； （2）若当天10时40分到达乙地，则所用时间， ， 若当天11时到达乙地，则， ， 客车平均速度的范围为． 6．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每天至少要卸载48吨． 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将代入，进而得出答案． 【详解】（1）解： 与是反比例函数关系， 设， 图象过点， ， 与之间的函数解析式为：； （2）解：当时，， 当时，随的增大而减小， 当时，， 答：平均每天至少要卸载48吨． 1．（2023·湖南·中考真题）下列哪个点在反比例函数的图像上？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图像上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； B．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； C．∵，∴不在反比例函数的图像上，故选项不符合题意； D．∵，∴在反比例函数的图像上，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）反比例函数中常数k为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查房比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”时解题的关键． 【详解】解：反比例函数中常数k为， 故选D． 3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，把代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选C 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数与正比例函数的图像都是中心对称图形，则它们的交点关于原点对称． 【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点， ∴点与关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的中心对称性，熟练掌握关于原点中心对称的点的横纵坐标分别互为相反数是解答本题的关键． 5．（22-23九年级上·陕西延安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意，由结合图象可以得到答案． 【详解】解：由题意，根据反比例函数过点，结合图象可得， ∴当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 6．（22-23八年级下·河南新乡·期中）若点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab﹣4的值为 ． 【答案】-9 【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出ab=-5，将其代入代数式ab-4中即可得出结论． 【详解】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝的图象上 ∴ab=-5 ∴ab-4=-5-4=-9． 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出ab=2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 7．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 【答案】3 【分析】本题考查了求反比例函数值； 把代入函数表达式即可求出I的值． 【详解】解：当时，， 故答案为：3． 8．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．利用反比例函数的性质得到，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∴， ∴k可取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得到的面积为即可求解． 【详解】解：∵点A是函数在第一象限内的图像上一点，轴于点B， ∴的面积为， 故答案为：． 10．（2023·广西南宁·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后结合函数图像，写出反比例函数图像在一次函数图像下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵，在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，，即， ∴， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．掌握利用图像法解不等式是解题的关键． 11．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1)比例系数是 (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数可知比例系数为； （2）解：把代入得：； （3）解：把代入得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知y与成反比例，当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数表达式，准确的运算是解题的关键． （1）用待定系数法即可解决问题． （2）将代入即可． 【详解】（1）因为y与成反比例， 所以设， 把代入，得， 所以 （2）当时，． 13．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双曲线y＝﹣（x＜0）、y＝（x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积． 【答案】S△AOB＝． 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAP＝，S△OBP＝＝2， ∴S△AOB＝S△OBP+S△OAP＝+2＝． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，属于中考常考题型． 14．（2024·湖南衡阳·一模）一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间（单位：与行驶速度（单位：）满足函数关系式：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． (1)求与的值； (2)受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要多长时间？ 【答案】(1)， (2)汽车通过该路段最少需要 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式． （1）把代入，求出，得出反比例函数解析式，把代入求出即可； （2）把代入解析式，求出t的值即可． 【详解】（1）解：把代入， 即， 解得， 则反比例函数的解析式是， 把代入得， 的值为160，的值为160； （2）解：把代入解析式， 解得：， 汽车通过该路段最少需要． 15．（23-24九年级上·天津南开·阶段练习）如图，是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)常数的取值范围是 ；图象的另一支在第 象限；在每个象限内随的增大而 ； (2)在该函数图象上取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为 ； (3)若点在反比例函数的图象上，求：的值以及反比例函数解析式． 【答案】(1)，三，减小 (2) (3)， 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质． （1）根据图象在第一象限，得到，求出的取值范围即可，根据反比例函数的图象和性质，得到另一支在第三象限，以及增减性即可； （2）根据反比例函数的增减性，以及点所在的象限，进行判断即可； （3）待定系数法进行求解即可． 本题属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 【详解】（1）解： 由题意，得：，解得：， ∴反比例函数的图象另一支在第三象限，在每个象限内随的增大而减小； 故答案为：，三，减小； （2）∵反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小； 又， ∴； 即：； （3）∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$