专项训练02 二次函数中含字母参数问题（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦二次函数含参数问题，以性质为基、平移与方程关系为翼，通过分类讨论与数形结合构建系统性解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3个核心知识点|性质应用（对称轴/顶点/增减性）、平移“上加下减，左加右减”原则、方程关系（判别式与交点）|从基础性质到平移变换，再到与方程的关联，形成“概念-变换-应用”递进链条| |题型突破|12道典型题|参数分类讨论、函数图象综合判断、系数符号推理、综合应用（最值/平移）|从单一性质辨析到多函数综合，再到含参综合问题，覆盖中考高频考法，培养几何直观与逻辑推理|

专项训练02 二次函数中含字母参数问题 【知识点1 二次函数的图象及性质】 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【知识点2 二次函数的平移】 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 【知识点3 二次函数与一元二次方程的关系】 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【题型1 二次函数中含参数的图像和性质】 1．在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（    ） A．若，抛物线的对称轴为直线 B．若且，则的取值范围为或 C．若，则抛物线的开口向下 D．若，点在该拋物线上，且，则有 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： 若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解； 若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：当时，点， 把点代入得：， 解得：， ∴该函数解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意； 令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意； 若， 把点代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于对称轴的距离， ∴．选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 2．已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可． 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴； 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意； 故选：D． 3．二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧； ④当时，点，是曲线上两点，若，，则． 其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为，即可判断①，将代入并计算即可判断②，计算抛物线的对称轴并根据即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 该函数图象过定点，故①正确； 当时，， ， 函数图象与轴无交点，故②正确； 抛物线的对称轴为：， ， ， 当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误； ， ， ，， ，在对称轴左侧，，在对称轴右侧， ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，， 当时，， 此时，， ， ， ，故④错误， 故选：B． 【题型2 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题】 4．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 5．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点， ，，，， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 在抛物线中，当时，， 反比例函数经过第一、三象限， 故选：A． 6．若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质．观察抛物线的图象可得，，从而得到一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限，即可求解． 【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限， ∴一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是 故选：C 【题型3 二次函数图象与各项系数符号问题】 7．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 【答案】②③④⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴交点的关系等知识． 根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知时，，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ，则， ∴，所以⑤正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴是直线，且过点， 抛物线过点， 时，， ，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最小值， （为任意实数）， 则，所以③正确； 方程的两根为，，且， 抛物线与直线有两个交点，， 由图象可知，所以④正确． 故答案为：②③④⑤． 8．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点， 对称轴为直线， 则， ，即，故②不正确； 抛物线开口向上， ∴， ， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点， 又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，， 当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则， 即，故⑤不正确； 若，且， ∴， ， 整理得， ∵， ∴， ∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥． 故答案为：①③⑥． 9．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号） 【答案】③④⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤； 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故答案为：③④⑤． 【题型4 二次函数中含参数的综合问题】 10．已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质． （1）将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线，得出在对称轴的左侧，则当时，y最小为，得出，解得．再根据，则，得到，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数y=x2-4ax+1=(x-2a)2-4a2+1， ∴顶点坐标为． （2）解：∵1＞0， ∴抛物线开口向上． ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧， ∴当时，y最小为， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 此时二次函数的解析式为． 11．已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值； (3)若，是图象上不同的两点，当时，求m的值． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）有得到表达式，然后求出当时，二次函数有最小值3，求出当时，，然后根据题意得到当时，，然后代入求解即可； （3）根据题意得到，然后得到点和点关于对称轴对称，即可得到． 【详解】（1）∵二次函数 ∴对称轴为直线； （2）若， ∴二次函数 ∴当时，二次函数有最小值3 ∴当时， ∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9， ∴当时， ∴ 解得（舍去）或； （3）∵若，是图象上不同的两点，当时， ∴ 由（1）得，该二次函数图象的对称轴为直线 ∴点和点关于对称轴对称 ∴． 12．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）抛物线的解析式为或；（ⅱ）3 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移问题，一次函数图象上的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）设抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的顶点坐标为，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数可推出点在抛物线上将代入，得，解方程即可得到答案； （ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为，由（ⅰ）得，则可得到，，进而得到，根据，，得到，则，再由抛物线的顶点的纵坐标为，可得当时，取最大值，最大值为． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：（ⅰ）设抛物线的顶点的横坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为，且点在抛物线上 ∴将代入，得， 整理，得， 解得，， 抛物线的解析式为或；                    （ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为， 由（ⅰ）得， ，在抛物线上， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线的顶点的纵坐标为， 当时，取最大值，最大值为． 一、单选题 1．如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 2．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．若，、、三点在对称轴的同一侧 C．当，存在 D．当，总有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，涉及对称轴、开口方向及函数值比较．掌握二次函数图象性质是解题的关键． 根据对称轴公式求得对称轴判断A错误；根据二次函数单调性判断B错误，C正确，D错误． 【详解】A．抛物线为，故对称轴为，故A错误； B．抛物线开口向下（），对称轴为．左侧（）函数递增，右侧（）函数递减．若，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如，在左侧，、在右侧，此时最大，最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误； C． 当时，存在．例如：，取，，，计算得，，，满足，故C正确； D． 当时，并非总有．例如：，取，，，计算得，，，此时，不符合题意，故D错误． 综上，正确答案为C． 二、填空题 5．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 6．如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线． （1）a的值为 ． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴的计算公式，抛物线的平移的知识， 掌握抛物线对称轴的计算公式是解答本题的关键． (1)将二次函数解析式化为一般式，再根据对称轴公式计算即可； (2)代入，得到抛物线解析式，结合解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 【详解】（1）． 函数图象的对称轴为直线， ， ． （2）由（1）知，， 二次函数的解析式为， 抛物线向下平移3个单位长度后经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的解析式为． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且），是轴上一点，将点向右平移4个单位长度得到点． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）当时，将该抛物线向上平移个单位长度后与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用对称轴的公式代入数值进行计算，即可作答． （2）先整理得该抛物线的函数表达式为，则当，即当时，该抛物线与线段没有交点．再运用数形结合思想得当时，该抛物线与线段没有交点，据此进行作答即可． 【详解】解：（1）由题意，得抛物线的对称轴为直线． 故答案为：2； （2）如图， 当时， 该抛物线的函数表达式为， 则抛物线的顶点坐标为， 当，即当时，该抛物线与线段没有交点， ∵是y轴上一点，将点A向右平移 4个单位长度得到点B， ∴， ∴把代入， 得， 解得， 当时，该抛物线与线段没有交点． 综上，当或时，该抛物线与线段没有交点． 故答案为：或． 8．已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是二次函数性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，根据对称轴公式计算判断①；根据二次函数性质计算当和时的函数值进而判断②；根据二次函数性质判断增减性及函数值大小即可判断③④；根据二次函数性质判断最值进而判断⑤． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，故①正确； 当时，；当时，， 则抛物线L必过点和点，故②正确； 抛物线L的对称轴为直线， 则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误； 当时，已知，是抛物线上的两点， 点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2， ，故④正确； 当时，；当时，， 抛物线L的对称轴为直线，， 不等式恒成立，故⑤错误； 故答案为：①②④． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． (1)当时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，求的取值范围． (3)若，且当时，有最小值，求的值． 【答案】(1)该函数图象的顶点坐标 (2) (3)的值是或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； （2）根据点坐标，表示出，代入到，得到结果； （3）根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． 【详解】（1）解：， ∴在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； （2）解：∵，在二次函数的图象上 ∴，， ， ∴ ， （3）解：， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 10．已知二次函数（a是常数且）． (1)若， ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； ②已知该函数图象经过和两点，求的值． (2)若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 【答案】(1)①，；② (2)或8 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）①将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标； ②先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点和关于该函数的对称轴对称，由此即可得； （2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：①当时，，即， 将二次函数的解析式化成顶点式为， 则该函数图象的顶点坐标为． ②二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象经过和两点， ∴点和关于该函数的对称轴对称， ∴， ∴． （2）解：∵函数图象经过点， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴，其对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 则分以下两种情况： 由①当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或8． 一、单选题 1．如图，抛物线的顶点坐标为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．抛物线向下平移个单位后，一定经过 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征、顶点坐标公式以及平移性质是解题的关键．根据抛物线的图象特征、顶点坐标公式以及抛物线平移的性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故A正确． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故B正确． ∵抛物线的顶点横坐标为， ∴，故C错误． 抛物线向下平移个单位后，解析式为． 当时，． 由可得， ∴， ∴抛物线向下平移个单位后一定经过，故D正确． 故选：C． 2．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 3．关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 4．已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 二、填空题 5．当时，函数的最大值是8，则 ． 【答案】或 【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可． 【解答】解：函数的对称轴为直线， ①当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得； ②当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得， 故答案为：或． 6．如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可知， ∵该二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． ∵， ∴，故②正确； 当时，y取得最小值， ∴，即，故③正确； 当时，， ∴顶点坐标为， 根据题意得， 即将位于x轴下方的图像向上翻折， ∴翻折后的顶点坐标为， ∵若关于x的方程恰有三个解， ∴即函数与恰有三个解， 即恰好经过向上翻折后的图像的顶点， ∴， ∵， 代入得到，则， 故④正确； 综上可知正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 7．已知二次函数（b，c是常数）． （1）若该抛物线的顶点坐标是，则 ． （2）若当时，y的最大值为－1，当时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性； （1）根据顶点坐标求出解析式，即可得到b和c的值，然后代入计算解题； （2）由题可得对称轴为直线，然后根据最值得到时，；抛物线顶点的纵坐标是3，然后求出的值解题即可． 【详解】解：（1）由题意得该二次函数的表达式为， ∴，，∴． 故答案为： （2）由题意，得抛物线的对称轴是直线． ∵当时，y的最大值为－1，当时，y的最大值为3，， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，又抛物线的开口向下， ∴当时，，∴； 当时，y的最大值为3，即抛物线顶点的纵坐标是3， ∴，∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的对称轴为直线． 故答案为： 8．抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ． （2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设，，由函数图象可得，当时，在的上方，则，据此求解即可． 【详解】解：（1）把代入中，得，解得． 故答案为：1． （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立，解得，， 抛物线与直线的交点坐标为，． 设，，由函数图象可得，当时，在的上方， 当时，， 当时，PQ的最大值是． 故答案为：． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)填空： （用含a的代数式表示）； (2)当时，y随x的增大而减小． ①求a的取值范围； ②求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2); 【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解方程组求出b的值。 （2）①根据抛物线的对称轴在轴的右侧确定的范围；②根据自变量端点的函数值，及函数随的增大而减小即可求解． 【详解】解：（1）抛物线经过点 ，代入方程得： ， 再代入点 得， 整理，得， 故答案为：． （2）①抛物线的对称轴为，代入，得：， ，当时，y随x的增大而减小， ，即， 解得，， ②由（1）知，， 当时，， 当时， 当时，y随x的增大而减小， ． 10．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵函数图象经过点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线 设函数图象经过点，． ∴点在对称轴左侧， ∵对于任意的，都有成立， ∴存在如下情况： 如图1，当时， 则关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图2，当时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 11．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 12．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点． (1)若点E的坐标为，求抛物线的解析式； (2)设的顶点为，若，求点的坐标； (3)当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的值为或 【分析】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【详解】（1）解： 与y轴交点的坐标为，，解得． 的解析式为； （2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ，当时， 的顶点的坐标为，点， 过点作轴于点，连接． ，，， ， ，即． 解得． 点的坐标为； （3）的解析式为， 当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： I．当时，，且当时，函数最大值为；函数的最小值为．，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，的值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练02二次函数中含字母参数问题 知识复盘卡 【知识点1二次函数的图象及性质】 解析式 二次函数=2+bx+c(a,b,c是常数，时0) b 对称轴 x--2a b 4ac-b2 顶点 (-2a’ 4a) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 b 4ac-b2 b 4ac-b2 最值 当 2a时，y最小值= 4a 当 2a时，y最大值= 4a 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 b 0 当<-2a时，y随x的增大而减小： 当K-2a时，y随x的增大而增 增减性 b b 当x>-2a时，y随x的增大而增大 大；当2a时，y随x的增大而 减小 【知识点2二次函数的平移】 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后 的解析式：二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式. 1/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向右h>0) w2形 向右h>0) 【或左h<o】 向上60【或下<0)】平移个单位 【或左(h<0)】 平移h个单位 平移h1个单位 a肉上0I或下】平移个单位a网 【知识点3二次函数与一元二次方程的关系】 1)二次函数y=x+bx+c(a呋0)，当y-O时，就变成了一元二次方程ax+bx+c-0(a0). 2)m2+bx+c=0(a时0)的解是抛物线y=+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标. 3)(1)b24ac>0台方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； (2)b24c=0台方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点： (3)bP4c<0台方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点. 培优拓展训练 ★入巩固提升练 【题型1二次函数中含参数的图像和性质】 1.在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2-(a+2)x+2经过点A-2,),B(m,P).则下列说法错误的是 () A.若，=0，抛物线的对称轴为直线x=一2 B.若t=0且p<0,则m的取值范围为m<-2或m>1 C.若t<0,则抛物线的开口向下 D.若t<0,点C(n,q)在该抛物线上，m<n且5m+5n<-13,则有p>9 2.己知二次函数y=mr2-4mx+2+m(m≠0)，下列结论正确的是() A.当m=-1时，函数图象的顶点坐标为(2，-3) B.当x>2时，y的值随x的增大而增大 C.当m=1,y≤3时，x的取值范围是0<x<4 D.当-1≤x≤4时，y的最大值为8，则m=1或m=-2 3.二次医数=+(2m-小+2mm对》.有下列结论： 2/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①该函数图象过定点(-1,2)： ②当m=1时，函数图象与x轴无交点： ③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧： 3 ④当1<m<2时，点P(,y),Q(x,)是曲线上两点，若-3<x<-2,2<<0则y>为2 其中，正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2：一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题】 4.已知二次函数y=a2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y=ax+b2-4ac与反比例函数 4a+2b+c 在同一平面直角坐标系中的图象大致是() 平小小人 5二次函数y=am+br+e的图象如图所示，则一次函数y=bcr+F-4ac与反比例函数y=0-+ 在同 一直角坐标系内的图象大致为() 6.若二次函数y=ar'+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数y=二在同一平面直角坐标系的图象可能是() 【题型3二次函数图象与各项系数符号问题】 7.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=-1,且过点（-3,0)，有以下结论： ①abc>0:②4a+2b+c>0;③a-b+c≤m(am+b)+c(m为任意实数)；④若方程a(x+3)(1-x)=-1 的两根为×1，x2,且x<x2,则-3<<x2<1,⑤5a>b,其中说法正确的有 8.如图，抛物线y=ar2+br+C(a≠0)与x轴交于点(-l,0)和点(3,0)，以下结论正确的是一 (填写 序号) ①abc>0;②2a-b=0;③3a+c=0;④当y>0时，-1<x<3;⑤m为任意实数，则am2+bm>a+b, ⑥若ar+bx=ax+br,且x≠为，则x+x=2. 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.二次函数y=ar2+br+C(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0)，对称轴为直线x=2,抛物线与 y轴交点在A(0,1)和B(0,2)之间（不与A、B重合），下列结论：①abc>0;②9a+c>3b:③4a+b=0: 2<a<- ④当y>0时，-1<x<5；⑤a的取值范围为 5其中正确结论有」 (填序号) 【题型4二次函数中含参数的综合问题】 10.已知二次函数y=x2-4ax+1. (1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）· (2)当-2≤x≤2a-2时，二次函数的最小值为-11，求此时二次函数的解析式. 11.已知二次函数y=ax2-2ar+4,其中a≠0. (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若a=1,当-1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值： 3)若A(p-1,3),B(9-3,m)是图象上不同的两点，当p+g=6时，求m的值. 12.已知抛物线L:y=ar2+2ax-3经过点A(2,5). (1)求抛物线的顶点坐标： (2)平移抛物线L,使其顶点在直线y=-2x+6上，得到抛物线2. (ⅰ)若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L上，求抛物线乙2的解析式： 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 (i)若点M(6-6,m),Nt-3,n)在抛物线L,上，当1>2时，都有m≥n,求抛物线L,顶点纵坐标的最大 值. ★能力培优练 一、单选题 1.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法正确的是() A.b+2a=0 B.abe>0 C.2b<4a+c D.a+b+c<0 2.已知二次函数y=ar+br+c(a,b,c为常数，且a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值如下表： 0 24 0 15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.图象的开口向上 B.图象不经过第四象限 C.当x>0时，y的值随x的值增大而增大D.图像的对称轴是直线x=-1 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+br的图象可能是() 今 4.抛物线y=ar2-4axr-l(a<0)图象上有三点A(x,),B(x),C(:).其中1<x<t+1, t+1<x2<t+2,t+2<x<t+3,以下说法正确的是() 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.抛物线的对称轴是直线x=-2 B.若y<<2,A、B、C三点在对称轴的同一侧 1 C.当21<1，存在y<⅓< 1 D.当2<1<l,总有片<为<为 二、填空题 5.二次函数y=ax+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过第 象限. 6.如图，二次函数y=(x-l(x-a(a为常数)的图象的对称轴为直线x=2. y个 (1)a的值为 (2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的解析式为 7.在平面直角坐标系中，己知抛物线y=-m2+4mr-1(m是常数且m>0)，A(0,4)是y轴上一点，将 点A向右平移4个单位长度得到点B. (1)该抛物线的对称轴为直线x=一： (2)当m=1时，将该抛物线向上平移k(k>0)个单位长度后与线段AB没有交点，则k的取值范围是_ 8.己知抛物线L:y=ax2-2ax+2(a≠0)下列结论：①抛物线L的对称轴为直线x=1:②抛物线L必过点 (0,2)和点(2,2)：③当x>1时，y的值随x值的增大而增大；④当a<0时，已知A(-2,),B(3,)是抛 物线上的两点，则y<2;⑤当a>0时，对于任意的实数m,不等式-a+2≥am2-2am+2恒成立.其中 7/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论正确的有 (填序号)· 三、解答题 9.在平面直角坐标系中，（-3，m）,(,n)在二次函数y=x2-2bx+c的图象上. (1)当m=n=0时，求该函数图象的顶点坐标. (2)若m≤n,求b的取值范围， (3)若m+n=8,且当-2≤x≤2时，y有最小值-4，求b的值. 10.己知二次函数y=ar2-4r+a2-1(a是常数且a>0). (1)若a=2, ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标： ②已知该函数图象经过(4，n)和(m,n)两点，求m的值， (2)若该函数图象经过点(0,0)，当-1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t,求t的值. ★创新拓展练 一、单选题 1.如图，抛物线y=r+br+c(a≠0)的顶点坐标为(-1,3)，下列说法错误的是() A.a<0 B.b2-4ac>0 b C.2a =-1 D.抛物线向下平移。个单位后，一定经过(-2,0) 2.已知二次函数y=x2-br+1在-1≤x≤2时最小值为-3，则b的值为() A.4 B.4或-5 C.-5 D.±4或-5 3.关于x的二次函数y=ar2-2ax+c,下列说法错误的是() A.函数图象的对称轴是直线x=1 8/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 C.函数图象一定经过点(0，c) D.当C=0时，函数图象与x轴一定有两个交点 4.已知二次函数y=ar2+br+c的图象如图，则一次函数y=cx+ab的大致图象可能是() 二、填空题 5.当-3≤x≤1时，函数y=ar2-4ar+2(a≠0)的最大值是8，则a= 6.如图，二次函数y=ax+br+c图像的对称轴是直线x=-1,下列结论：①abc<0;②3a+c>0;③ am2+b(m+l)≥a(m为常数)：④若关于x的方程ar2+br+c-k=0恰有三个解，则a-c=k,其中正确 的是一（填序号） x=-1 1 7.已知二次函数y=-x2+2br+C(b,c是常数) (1)若该抛物线的顶点坐标是（-2,5)，则bc=一。 (2)若当x≤0时，y的最大值为一1，当x>0时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为直线 8.抛物线y=r-4x经过原点，且与x轴的正半轴交于点A,顶点C的坐标为(2,4). (1)a的值为 9/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若P为抛物线上一动点，其横坐标为t,作PQ1x轴，且点Q在一次函数y=x-4的图象上.当 1<t<4时，P0的最大值是 三、解答题 9.在平面直角坐标系x0中，抛物线y=ar2+bx+c(a>0)经过点A(0,4),B(2,6). (1)填空：b=(用含a的代数式表示)： (2)当-2<x<0时，y随x的增大而减小. ①求a的取值范围； ②求函数值y的取值范围 10.在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常数). ()若函数图象经过点(2,3)，求函数图象的顶点坐标. (2)若函数图象经过点(-1，p)(1,9),求证：p9≤12. 3)已知函数图象经过点(-3，乃)(m-1,),（m,).若对于任意的3≤n≤5，都有y>>h成立，直接 写出m的取值范围. 11.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(m,0),B(n,0)且m≠n. (1)当m=-4,且n=2时， ①求b,c的值； ②当t≤x≤2时，二次函数y=x2+br+c的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若m=4n,求2b+c的最小值. l2.定义：把抛物线y=ar2+br+c(其中ab≠0)与抛物线y=br2+ax+c称为“关联抛物线”，例如， 抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1.已知抛物线C:y=4ax+ar+4a-3(a>0)的 “关联抛物线”为C2,C与y轴交于点E. (1)若点E的坐标为(0，-1)，求抛物线C的解析式： (2)设C,的顶点为F,若OE=EF,求点E的坐标： (3)当a-4≤x≤a-2时，C2的最大值与最小值的差为2a,求a的值. 10110