2.3一元二次不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习作业，聚焦一元二次不等式，分层覆盖基础求解、参数综合及实际应用，梯度合理，强化数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|不含参数不等式求解|直接考查解集计算（如1-3题），夯实概念理解| |综合应用|含参数/恒成立/根分布问题|结合充要条件与分类讨论（如3-19题），提升逻辑推理| |实际建模|二次函数图像与应用|联系几何（如41题）、经济场景（如44题），培养应用意识|

2.3一元二次不等式 知识点一 解不含参数的一元二次不等式 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点二 解含参数的一元二次不等式 4．若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 5．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点三 根据含参数的一元二次不等式解确定参数范围 9．已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 13．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 知识点四 一元二次方程根的分布 14．已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 17．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 19．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点五 实数上的恒成立问题 20．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 21．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 22．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 24．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 25．当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 知识点六 区间上的恒成立问题 26．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 27．“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 28．使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 29．若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 30．若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 知识点七 存在性问题 31．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 32．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点八 二次函数的图像分析与判断 37．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 38．如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于9，则下列中符合要求的是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 39．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 40．已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点九 一元二次不等式的应用 41．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 44．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D C C D A B D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C A D D B A D B D D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 C C D C D B C C D A 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 D C A B A D D D B B 题号 41 42 43 44 答案 C A A B 1．C 【详解】，， ，解得． 2．A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 3．B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 4．D 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 5．C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 6．C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 7．D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 8．A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 9．B 【分析】先化简集合，再分析，利用的性质，得或，要使，需保证补上未覆盖的部分且无遗漏，因此关键是让唯一的“漏洞点”落在内，即，解得． 【详解】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 10．D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 11．C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 12．A 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 13．D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 14．D 【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则， 解得：，所以的取值范围是. 15．B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 16．A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 17．D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 18．B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 19．D 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 20．D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 21．C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 22．C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 23．D 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 24．C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 25．D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 26．B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 27．C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 28．C 【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可. 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 29．D 【分析】设，对、分类讨论的符号后可得的符号，从而得，最后结合基本不等式可求的最大值. 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 30．A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 31．D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 32．C 【分析】把问题转化成“小于或等于的最大值”，再利用配方法求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 要存在，使得不等式成立，则小于或等于的最大值， 因为，当时，取“”， 所以， 故选：C. 33．A 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 34．B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 35．A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 36．D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 37．D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 38．D 【分析】根据题意，结合二次函数的性质找到最大值和最小值差刚好等于9的值，即可求出. 【详解】由题可知，函数开口向上，对称轴为， 对称轴在区间内，故函数最小值为， 又函数沿直线翻折，且最大值与最小值之差不大于， 即，仅符合条件. 故选：D 39．B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 40．B 【分析】先分析的取值情况，再根据一次函数与二次函数的性质列出不等式求解. 【详解】当时，当时，，不合题意； 当时，， 当时，当时，；当时，， 若对于，都有或成立， 只需在时恒成立， 若，即时，满足题意； 若，即时，只要即可， 解得，则． 综上可知， 故选：B． 41．C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 42．A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 43．A 【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 44．B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $