广东省佛山市南海区2026年中考数学模拟检测题

**基本信息** 立足中考模拟，融合文化传承与现实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面考查初中数学抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、运算、图形性质、概率|3题以“二十四节气”文化遗产考对称图形，7题结合电视塔六棱柱考截面形状，体现数学眼光| |填空题|5/15|立方根、全等、位似、矩形折叠|15题折叠动态问题，考查空间观念与分类讨论，发展数学思维| |解答题|8/75|计算、作图、函数应用、概率实验、几何综合|22题正方形折叠操作探究，23题函数与几何综合，突出创新应用与模型意识，适配中考命题趋势|

广东省佛山市南海区2025~2026学年度中考数学模拟检测题 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在实数0，，，中，最小的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小”的规则即可求解． 【详解】解：∵ 所有负数都小于0， ∴ 0不是最小的， ， ∵，， ∴，即， 因此四个数中最小的是． 2.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则，以及合并同类项的运算法则，逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，A错误，故不符合题意； ∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ ，B错误，故不符合题意； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，C正确，故符合题意； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，D错误，故不符合题意， 故选：C． 3.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 4.如图，一个均匀的转盘被等分成个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式，指针落在阴影区域的概率等于阴影部分扇形数与总扇形数的比值即可得到所求概率． 【详解】解：∵已知转盘被等分为个相同的扇形，其中阴影区域占份， ∴． 5.如图，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又， ∴. ∴. 6.已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 7.如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】考查了截一个几何体； 截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形． 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形， 所以边数最多的截面形状是八边形． 故选：C． 8.如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】因为，根据菱形的性质可知，而，由M、N分别是的中点，根据中位线的性质即可求得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴． 9.对于一元二次方程，若，则该方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，掌握一元二次方程是解题的关键． 根据判别式，结合条件，推导的符号，从而判断根的情况． 【详解】， ， 将代入判别式， 得：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 10.如图1，在四边形中，，平分，，（为常数），记长为，长为，关于的函数图象如图2所示，最高点的纵坐标为，当时，四边形的面积为（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，过点作于点，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 过点作于点， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴四边形的面积为； 综上，四边形的面积为或． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根的定义求出、的值，进而求出的值，再求其立方根即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 12.如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 点的坐标为，点的坐标为， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称， ∵点的坐标为， ∴则． 故答案为：． 13.如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 【答案】 【详解】解：由和是以点为位似中心的位似图形，可知：， ∵为的中点， ∴， ∴与的面积比是． 14.在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． 15.如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，在中， ，，，得，由勾股定理得，然后求出，再分当时，当时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∵点为的中点， ∴， 由折叠性质得，，， ∴当为直角三角形时，有以下两种情况： 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作于点，如图所示， 同上理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.计算：． 【答案】3 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，再加减运算即可求解． 【详解】解： ． 17.已知：点在的平分线上． (1)尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（保留作图痕迹，写出简要的文字说明）； (2)已知，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点O为圆心，为半径画弧，交于点C，作线段的垂直平分线，交、于点D、B，连接、即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，根据直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，得出，最后根据菱形的面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，菱形为所作． 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ，， 在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 即：菱形的面积为． 18.某商场购进一批成本为100元的商品，若按每件130元的价格销售，每星期能卖出120件，根据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就少卖3件．设每件商品的售价上涨x元，每星期卖出这种商品的利润为y元． (1)当每件商品的售价上涨10元时，求每星期的销售利润； (2)试求y与x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)当这种商品售价定为多少时，才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？ 【答案】(1)3600元 (2) (3)商品售价定为135元时，每星期的利润最大，最大为3675元 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用： （1）根据“每件商品的售价每上涨1元销售，则每星期就少卖3件”，即可求解； （2）根据销售利润销售量（售价进价)，列出y与x的函数关系式，即可； （3）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元） 答：每件商品的售价上涨10元时，每星期的销售利润为3600元． （2）解：由题知； （3）解：∵， ∴当时，y有最大值，最大值为（元） ∴（元） 答：商品售价定为135元时，每星期的利润最大，最大为3675元． 19.实验项目：估计盒子内白球的数量 实验工具：在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共50个． 实验过程：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程． 实验数据：下表是试验中的统计数据 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 b 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 a 0.605 0.599 0.602 (1)数据整理：表中 ， ； (2)统计计算：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 ；（精确到0.1） (3)实验结论：根据实验结果，估算盒子内白球的数量． 【答案】(1)0.604；484 (2)0.6 (3)30 【分析】（1）根据频率进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率求数量即可. 【详解】（1）解：；； （2）解：由表格可知，若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为； （3）解：（个）； 答：估算盒子内白球的数量有30个. 20.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，，我们称3，12，16这三个数为“智慧数”． (1)试判断21是否为“智慧数”，并说明理由； (2)假设存在两个连续的偶数分别记为和（其中取正整数），请证明由这两个连续偶数所构造出的“智慧数”是4的倍数． 【答案】(1)21是“智慧数”，理由见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合“智慧数”的定义，且，则21是“智慧数”． （2）理解题意，得，结合取正整数，得是正整数，即可作答． 【详解】（1）解：21是“智慧数”，理由如下： 依题意，， ∴21是“智慧数”； （2）解：依题意，设由这两个连续偶数所构造出的“智慧数”为 则 ∵取正整数 ∴是正整数， ∴是4的倍数． 21.如图，在中，，以、为边作平行四边形，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明：连接并延长，交于点，连接， ， 垂直平分 为平行四边形 是圆的半径， 为圆的切线 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，根据，得出垂直平分，根据平行四边形的形状可得，即可得证； （2）连接，根据圆周角定理可得，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接， 为平行四边形 22.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．      (1)㩧作猜想 操作一：对折正方形纸片、使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：继续沿折叠，使点D落在正方形内部点G处，把纸片展平，连接、； 根据以上操作：在图2中写出一个与相等的角______． (2)探究证明 ①如图3，延长与边交于点，连接，则与的大小关系是______；线段、、之间的数量关系是______； ②判断点在上的位置、并说明理由． (3)拓展延伸 如图4，若正方形的边长为，直接写出点到线段的距离． 【答案】(1) (2)；；在上靠近点的三等分点处 (3)点到线段的距离为 【分析】（1）由折叠的性质可得，故； （2）①由得：，，从而证得； ②设，，在中，通过勾股定理得到：，解方程得，，即，，从而解决问题； （3）如图：过点作的垂线段，垂足为，则，通过相似三角形的对应边成比例即可求出点到线段的距离． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， 故； 故答案为：； （2）①四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，即，，， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：； ②设，， 由折叠性质得：， ，，， 在中， ， ， 解得：，即，， 在上靠近点的三等分点处； （3）如图：过点作的垂线段，垂足为，则，   ， ， ， ， ， ， ， ． 点到线段的距离为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 23.如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) (3)点P的坐标为和 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）作于H，轴交于点G，易证，设，则，可表示出，进而求出的函数解析式，进而即可求解； （3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A， ∴， ∴， ∴， ∵直线与y轴交于点B， ∴B点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且， ∴可设二次函数， 把代入得，， ∴二次函数的表达式：； （2）解：作于H，轴交于点G， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 又∵，， ∴， ∵， 当时，最大，此时，， ∴； （3）解：（I）当点B为直角顶点时，过B作交x轴于点，则，如图1， ∴， ∴，得， ∴； （II）当点D为直角顶点时，作，如图2， 将与联立， 得 解得（舍去）或， 将代入得，， ∴D点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，则， 故点坐标为； （Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，如图3， 设， 则由，得， ∴， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为和． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质等知识，关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市南海区2025~2026学年度中考数学模拟检测题 （科目：数学 时间：120分 满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在实数0，，，中，最小的是（    ） A．0 B． C． D． 2.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4.如图，一个均匀的转盘被等分成个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是（ ） A． B． C． D． 5.如图，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6.已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7.如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 8.如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 9.对于一元二次方程，若，则该方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 10.如图1，在四边形中，，平分，，（为常数），记长为，长为，关于的函数图象如图2所示，最高点的纵坐标为，当时，四边形的面积为（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 12.如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是___________． 13.如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 14.在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 15.如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______． 三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分. 16.计算：． 17.已知：点在的平分线上． (1)尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（保留作图痕迹，写出简要的文字说明）； (2)已知，求菱形的面积． 18.某商场购进一批成本为100元的商品，若按每件130元的价格销售，每星期能卖出120件，根据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就少卖3件．设每件商品的售价上涨x元，每星期卖出这种商品的利润为y元． (1)当每件商品的售价上涨10元时，求每星期的销售利润； (2)试求y与x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)当这种商品售价定为多少时，才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？ 19.实验项目：估计盒子内白球的数量 实验工具：在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共50个． 实验过程：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程． 实验数据：下表是试验中的统计数据 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 b 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 a 0.605 0.599 0.602 (1)数据整理：表中 ， ； (2)统计计算：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为 ；（精确到0.1） (3)实验结论：根据实验结果，估算盒子内白球的数量． 20.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，，，我们称3，12，16这三个数为“智慧数”． (1)试判断21是否为“智慧数”，并说明理由； (2)假设存在两个连续的偶数分别记为和（其中取正整数），请证明由这两个连续偶数所构造出的“智慧数”是4的倍数． 21.如图，在中，，以、为边作平行四边形，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，且，求图中阴影部分面积． 22.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．      (1)㩧作猜想 操作一：对折正方形纸片、使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：继续沿折叠，使点D落在正方形内部点G处，把纸片展平，连接、； 根据以上操作：在图2中写出一个与相等的角______． (2)探究证明 ①如图3，延长与边交于点，连接，则与的大小关系是______；线段、、之间的数量关系是______； ②判断点在上的位置、并说明理由． (3)拓展延伸 如图4，若正方形的边长为，直接写出点到线段的距离． 23.如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $