江苏扬州市2025-2026学年高一第二学期期末调研数学试卷

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求) 1．（ ） A． B． C． D． 2．若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（ ） A．平均数为3，方差为5 B．平均数为4，方差为11 C．平均数为4，方差为12 D．平均数为3，方差为12 3．已知，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（ ） A． B． C． D． 8．已知正五边形内接于半径为2的圆，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列关于统计量的说法正确的有（ ） A．一组数据的众数唯一 B．一组数据的平均数唯一 C．一组数据的60百分位数唯一 D．一组数据的方差越大，数据波动越小 10．已知，，，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B． C．，，使得 D．的最大值为 11．如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（ ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．若为线段上的一动点，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知事件A、B独立，且，则_______． 13．在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为_______． 14．在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知，，，，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 16．（本小题满分15分）如图，正方体中，． （1）若点为棱的中点，求证：平面平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由（在答题卡(2)作图）． 17．（本小题满分15分） 某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）： 使用次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 频率 0.1 a 0.3 b c （1）求条形图中的频数m，n； （2）从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率； （3）若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差． 18．（本小题满分17分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求的值； （2）已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且． ①若，求角的大小； ②求面积的最大值． 19．（本小题满分17分） 如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 高一数学参考答案 1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．D 9．BC 10．ABD 11．AB 12．0.16 13． 14． 15．解：（1），，且， ，即，整理得，所以； （2），，解得，， 因为，，， ． 16．解：（1）连接，，． 正方体四边形为正方形，平面 且，平面， 平面 ，平面， 设正方体的棱长为2，则，，，所以，， ， （方法一），平面， 平面 平面平面平面 （方法二）即二面角的大小为，所以平面平面 （2）过点作交于，则为平面与正方体上表面的交线． 正方体平面平面，且 ∴四边形为平行四边形 平面平面，平面平面， ， 17．解：（1）由題意，总人数为50， 0次频数： 2次频数：；3次频数：；4次及以上频数：3； 所以1次频数：； （2）用分层抽样法抽取5人中，使用自行车1次的居民2人，记为，，使用2次的居民3人，记为，，．记“2人使用次数不同”为事件，样本点表示“抽取的两人为，”，余类推，则样本空间：， ， 所以，； （3）记30名男性样本为，平均数为，方差为；记20名女性样本为，平均数为，方差为：所有样本的总平均数为，方差为，样本容量为50． （次）， （次） 18．解：（1）由正弦定理得，可得，则 ，即，由正弦定理得，； （2）由（1）得，，，可得，可得，，不妨设，，在中，由余弦定理可得，，即，在中，同理，求得，在中，，则； （3）在中，不妨设，，，，得到，可得，即，同理在中，，所以，则，，而，，，当且仅当取得等 号，则最大值为． 19．解：（1）延长交于，连接． ，， ， ∵点为等边的重心，为的中点 ，平面， 平面，即平面 （2）∵正中，，， ， ，， ， ； （3）作与，连接． 平面，平面，， ，平面，，平面， ，，， ， 与所成角的正弦值为，且， ，， 过点作.于，所以与所成角的正弦值为． ，，即． 学科网（北京）股份有限公司 $